absolutes Dielektrikum. Es werden die Energien und die Koeffizienten B und B berechnet. Weiter wird auf die Abweichung unserer Lösung von derjenigen von J. J. Thomson hingewiesen. Außerdem wird noch einmal die Einführung der Hankelschen Funktion bez. der Bedingung (6), § 1 als erforderlich gezeigt.

In 8 wird die Berechnung für eine im Verhältnis zum Drahtdurchmesser große Wellenlänge ausgeführt, und zwar für einen Draht aus Kupfer. Dabei zeigt sicht, daß die Konstanten des Materials des Drahtes praktisch herausspringen, d. h. der Draht verhält sich in bezug auf Reflexion wie ein absoluter Leiter. Da er aber doch keiner ist, so muß er Energie absorbieren, obwohl sehr wenig. Diese Energie wird berechnet. und es zeigt sich, daß das Verhältnis der absorbierten Energien bei den Fällen 1 und 2 sehr groß ist. Außerdem wird auf die Schirmwirkung hingewiesen und das am Schlusse des § 8 ausgesprochene Resultat ist auch sehr charakteristisch.

Wie leicht aus § 8 zu ersehen ist, berechnet sich die Wellenlänge, im Drahte für Fall 1 zu:

welche Reihe sehr schnell abfällt und so lange gilt, bis man

noch x'r groß annehmen kann.

Der Abstand d von der Oberfläche, auf welchen sich die Amplitude um den eten Teil vermindert hat, ist:

522 W. v. Ignatowsky. Reflexion elektromagnetischer Wellen etc.

und bei unseren Zahlenwerten:

d = 0,023 mm.

Einer Verminderung um den a ten Teil entspricht ein Ab

z. B. ist bei a = 100; d= 0,11 mm (0,434 Für r0 folgt aus § 3:

(6)

Demnach folgt aus (3), falls wir uns mit dem ersten Gliede begnügen:

d. h. dies Verhältnis wird eine verschwindend kleine Größe sein.

St. Petersburg, Juli 1905.

(Eingegangen 25. Juli 1905.)

Anmerkung. Ich möchte zu der Arbeit von W. Seitz (Ann. d. Phys. 16. p. 747. 1905), welche mir leider erst nach Absendung des Manuskripts in die Hände gekommen ist und welche dasselbe Thema behandelt, folgendes bemerken.

Auf p. 751 (XII) gebraucht Seitz für den Außenraum als Lösung die Funktion:

Kn (p) P (p).

Laut meiner Arbeit müßte auch hier, d. h. bei reellem p, die von mir gebrauchte modifizierte Hankelsche Funktion:

benutzt werden.

in
2

Qn (P) = Jn (p) - Kn (p).

Es folgt daraus mit anderen Worten, daß die Lösung von W. Seitz der Bedingung (6), § 1 meiner Arbeit widerspricht. Außerdem muß in den Klammern in (XII) und (XIII) vor der Eulerschen Konstante statt ein stehen. (Vgl. Anmerkung zu § 2 meiner Arbeit.) St. Petersburg, September 1905.

5. Die Fortpflanzung der Strahlung in dispergierenden und absorbierenden Medien; von M. Laue.1)

Einleitung.

Beim Fortschreiten in einem Medium, welches Dispersion. oder selektive Absorption oder beides zugleich aufweist, erleidet eine Lichtwelle stets Änderungen ihrer Form; denn die einzige Differentialgleichung, welche ein Fortschreiten ohne Deformation zuläßt, die Wellengleichung

gilt für solche Körper nicht; sie ergibt ja weder Dispersion noch Absorption. An dem Beispiel eines die Elektrizität leitenden Mediums, für das die elektromagnetische Lichttheorie in ihrer ältesten Gestalt auf die sogenannte Telegraphengleichung

führt, haben die Herren Poincaré2), Picard3) und Voigt") diese Änderung näher untersucht; der letztere Autor hat auch darauf hingewiesen, daß sie sich im Spektrum des Lichtes bemerkbar machen muß. Der Zweck der folgenden Untersuchung soll sein, den Schluß von der Änderung der Schwingungsform auf die Änderung des Spektrums ohne Beschränkung auf eine bestimmte Differentialgleichung rechnerisch durchzuführen.

Das Verfahren, welches wir anwenden wollen, beginnt damit, daß wir die gegebene Schwingung im Ausgangspunkt

1) Der vorliegende Aufsatz führt ein Thema weiter aus, welches schon in zwei Arbeiten desselben Titels in den Göttinger Nachrichten (1904. p. 480 und 1905. p. 117) behandelt wurde.

2) H. Poincaré, Compt. rend. 117. p. 1027. 1893.

3) E. Picard, Compt. rend. 118. p. 16. 1894.

4) W. Voigt, Wied. Ann. 68. p. 598. 1899 und Ann. d. Phys. 4. p. 203. 1901.

durch ein Fourier sches Integral als Übereinanderlagerung reiner Sinusschwingungen darstellen. Da das Experiment lehrt, daß für alle optischen Erscheinungen das Superpositionsprinzip gilt, müssen wir annehmen, daß alle Differentialgleichungen, welche in der Optik eine Rolle zu spielen berufen sind, linear sein werden; dann aber läßt sich zu ihrer Lösung die Methode der Summation der Partikularlösungen anwenden, also jede der Sinusschwingungen, in welche wir die Anfangserregung aufgelöst haben, so behandeln, wie wenn sie allein vorhanden. wäre. Durch Summation über alle Sinusschwingungen erhalten wir die gesuchte Lösung. Machen wir über die Abhängigkeit des Brechungsindex n, und des Absorptionskoeffizienten x, von der Schwingungszahl keine speziellen Annahmen, so bleibt uns noch immer die Möglichkeit offen, auf eine bestimmte Klasse von Körpern, d. h. auf eine bestimmte Differentialgleichung zu spezialisieren. Einer Voraussetzung allgemeiner Art bedürfen wir freilich: n, und x, sollen langsam veränderliche Funktionen von v sein; die Erläuterung dieses Begriffes. wird zeigen, daß diese Einschränkung keinen für die Physik in Betracht kommenden Fall ausschließt.

Der Hauptvorteil des anzuwendenden Verfahrens liegt aber darin, daß wir mit Hilfe der von Hrn. Planck1) angegebenen Formeln von dem Integral, welches die Schwingungsform darstellt, unmittelbar zu einer Integraldarstellung für die Intensität der Schwingung als Funktion der Zeit und für ihre Verteilung über das Spektrum gelangen. Wir übernehmen, um den Anschluß an diese Formeln zu erleichtern, auch die von Hrn. Planck eingeführten Bezeichnungen. Aber insofern verändern wir die Gleichungen, als wir an die Stelle der dort. auftretenden trigonometrischen Funktionen die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument setzen; dadurch wird das Rechnen mit ihnen wesentlich kürzer und übersichtlicher; durch Fortlassen des imaginären Teiles erhält man sie in ihrer ursprünglichen Gestalt wieder. Außerdem fügen wir die das Wesen der Sache nicht beeinflussenden Faktoren hinzu, welche bei einer Kugelwelle die Abnahme der Amplitude und

1) M. Planck, Ann. d. Phys. 1. p. 69. 1900. Das Zeichen 1. c. in den folgenden Anmerkungen verweist stets auf diese Arbeit.

Intensität mit wachsender Entfernung von der Lichtquelle angeben.

Im letzten Abschnitt, im § 7, werden wir noch auf das Verhalten der Strahlung bei der Reflexion und Brechung an der Grenze dispergierender und absorbierender Medien, sowie bei der spektroskopischen Zerlegung eingehen. Die drei Probleme sind einander so ähnlich, daß sich die bei der Untersuchung über die Fortpflanzung erhaltenen Resultate fast mühelos übertragen lassen.

§ 1. Die Fortpflanzung einer Kugelwelle.

Wir legen eine linear polarisierte Kugelwelle der Betrachtung zugrunde. Ihre elektrische Feldstärke im Punkt P geben wir durch das der Formel (5) der zitierten Arbeit1) entsprechende Integral

r soll der Abstand des Punktes P von der Lichtquelle sein. Setzt man hier

ein, so geht (1) in die Fouriersche Integraldarstellung über. Hat die Welle nun in einem Medium vom Brechungsindex n, und Absorptionskoeffizienten x, 2) die Strecke x zurückgelegt, so ist ihre elektrische Feldstärke an diesem Orte gegeben durch die Gleichung:

2) Die Gleichungen werden einfacher, wenn wir im Gegensatz zu der sonst viel gebrauchten Definition die Bedeutung von x, dahin festsetzen, daß die Amplitude der Sinusschwingung pro Längeneinheit auf das e-fache sinkt.

Annalen der Physik. IV. Folge. 18.

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