Werte besitzen, sind nach Maßgabe der spektralen Reinheit der Schwingungen schmal; doch brauchen wir diese Voraussetzung erst später einzuführen. Bei der Superposition beider Wellen werden alle Energiegrößen proportional zu dem Mittelwerte (f + g)2 = f2 + g2 + 2 fg, der für eine mit der Dauer der kürzesten optischen Messungen vergleichbare Zeit τ zu bilden ist. Wir berechnen fg, indem wir die von Hrn. Planck1) gegebene Ableitung des Wertes von f2 ein wenig verallgemeinern. dv dv' F, G, cos (2 л v t − ¶,) cos (2 π v't — Yv') t + cos (2 x (v' + v) t − (Y' » + Pv))} · Führen wir die Integration nach der Zeit aus, so folgt hieraus: + sin π (vv) T · cos (7 (v′ + 1) (2 t + x) − (Vv +Pv))} · Soll ein von der Zeit unabhängiger Mittelwert fg existieren, was erfahrungsgemäß der Fall ist, so muß die zweite, v' + v enthaltende Hälfte dieses Integrals verschwindend klein sein; denn da v gegen die Lichtperiode 1/v sehr groß ist, ist (v + v′) τ eine große Zahl, der in Rede stehende Teil also sicher Funktion von T. Das gleiche gilt für die erste Hälfte in den Bereichen des Integrationsintervalls, in welchen nicht v′ – v klein gegen v und ist; auch diese Bereiche dürfen nicht in Betracht kommen. Führen wir 1) M. Planck, Ann. d. Phys. 1. p. 69. 1900 oder M. Planck, Theorie der Wärmestrahlung p. 190. J. A. Barth, Leipzig 1906. als neue Integrationsvariable ein, so können wir dies dahin ausdrücken, daß nur ein schmaler Streifen in der Umgebung der Gerade μ0 für die Integration in Betracht kommen darf. Da in ihm = Alle diese Annahmen sind in der Hypothese der natürlichen Strahlung enthalten. Schließen sich die Spektralbereiche der Schwingungen f 9, d. h. die Integrationsintervalle in den Gleichungen (1) gegenseitig aus, so folgte hieraus und wenn v und voneinander verschieden sind. Ebenso ist fg=0 bei inkohärenten Schwingungen, auch wenn sie dem gleichen Spektralbereich angehören. Die Differenz der Phasen, schwankt dann ebenso schnell und unregelmäßig hin und her, wie jede dieser Phasenfunktionen selbst, so daß sich die in unregelmäßigster Weise bald positiven, bald negativen Werte der in (2) zu integrierenden Funktion bei der Integration gegenseitig aufheben. Anders aber, wenn es sich um vollständig kohärente, homogene Wellen von gleicher Schwingungszahl handelt. Da die betrachteten Gangunterschiede nach Voraussetzung so klein sind, daß die Inhomogenität ohne Einfluß ist, besteht zwischen ihnen eine Beziehung wo a als Konstante betrachtet werden darf. Ebenso ist, wenn o eine andere Konstante ist, G, mit F, durch eine Relation (3a) G1 = 0 F, verbunden; denn wäre noch innerhalb so schmaler Inte grationsbereiche, wie sie in (1) homogener Strahlung entsprechen, veränderlich, so könnte man im Widerspruch zur Erfahrung aus der Geschichte der Strahlenbündel nicht auf ihre relative Stärke schließen; man müßte vielmehr noch die Funktionen F, und G, selbst kennen. Definiert man nun die Funktion f*(t) dahin, daß sie aus f(t) hervorgeht, wenn man in (1) statt der Kosinusfunktion den Sinus setzt, also: (4) f* (t) = √ dv F, sin (2 x vt — 4v), so lassen sich die Gleichungen (3) und (3a) zusammenfassen in die Beziehung Hier wechselt die zu integrierende Funktion mit u ihr Zeichen. Der Integrationsbereich ist aber zur Geraden μ=0 symmetrisch. Also ist Bevor wir (7) anwenden, leiten wir noch einige Rechnungsregeln ab. Der Übergang von f zu f* setzt p,+/2 an die Stelle von ; die Wiederholung dieser Operation an f* macht daraus,+, so daß in (1) alle Kosinusfunktionen ihr Zeichen wechseln; daraus folgt f(t) + g(t) = k(t) = С dv K, cos (2 x v t − x,), so bestimmen sich nach (1) K, und x, aus der komplexen (7b) ist. (8) dv K, sin (2 x v t − x,) = f dv F, sin (2 x v t — q,) + S dv G, sin (2 x v t − Y', ), (f + g)* = f* + g* Aus (6) und (7) folgt unmittelbar fg = o cos a f2, Der gleichzeitige Übergang von f zu f* und von g zu g*, welcher sowohl 7, als p, um π/2 vergrößert, läßt aber die Phasendifferenz f*g = - f g*. Aus (5) und (9) können wir daher schließen: (12) In den Gleichungen (8), (9) und (12) waren f und g als vollkommen kohärent gedacht. Jetzt soll sich aber dem zu f vollständig kohärenten Anteil (13) = 9f= of cos a + f* sin a) ang die dazu vollkommen inkohärente Schwingung gf gemäß der Gleichung (14) überlagern, so daß (15) wird. Dann sind fund g nur noch partiell kohärent. Trotzdem bleiben die Gleichungen (8), (9) und (12) in Kraft, weil man nach (13) in ihnen überall g, an die Stelle von g setzen kann. Wir machen jetzt von den folgenden Gleichungen Gebrauch: (16) 2 fg2 = 02 cos2 a f22 cos2af2.g (vgl. (8)), = Dies Verhältnis der Intensität des zu f kohärenten Anteiles an g zur Gesamtintensität nennen wir die Kohärenz ifg• Die Reihenfolge der Indizes ist gleichgültig, denn eine Vertauschung von fund g läßt nach (17) die linke Seite von (18) unberührt, so daß der Reziprozitätssatz besteht. Auch macht es nichts aus, wenn man ƒ durch eine lineare Kombination af + ßf* ersetzt; nach (7), (10), (11) und (12) ist nämlich (af + ßf*)g2 = a2fg2 + 2 aßfg.f* g + ß2 f* g2, 2 (a f + ßf*) g*2 = ß2 f g2 - 2 aß fg. f*g + a2 f*g3, (αf + ßf*)3 = (α2 + p2) f2, so daß man dabei den alten Wert wiederfindet. Hierin drückt sich die Unabhängigkeit der Kohärenz von der Intensität und der Phasendifferenz aus. Experimentell kann man sie ermitteln, indem man bei in dem angegebenen Sinn kleinen Gangunterschieden die Helligkeit an zwei Stellen eines Interferenzstreifens mißt, die um 1/4 Streifenbreite voneinander abstehen. Ist ihr Betrag an der einen Stelle 41 = (f+g)2 = f2 + g2 + 2 fg, so ist er an der anderen (vgl. (11)) I1⁄2 = (f ± 9*)2 = f2 + g2 ± 2 ƒ g*, |