0 gegen 1; dabei braucht die Auslage nicht klein zu sein. Die Bewegung beginne wieder aus der Ruhe heraus. Dann liefert unsere Gleichung (2) - oder auch (1) durch Reihenentwickelung und Beschränkung auf die ersten Glieder den. Ausdruck Erst wenn die kleinen Größen dritter Ordnung von § merklich sind, werden die Verschiebungen der Umkehrpunkte gegen die Gleichgewichtslage hin merklich. Um zu finden, in welchem Verhältnis zwei aufeinander folgende Exkursionen zueinander stehen, führen wir den absoluten Betrag a, der linksseitigen ,,reduzierten" Exkursion §-a und a1 den der rechtsseitigen §1 =+a, ein und bilden & a1/a,, eine Größe, die nahe gleich 1 sein muß. Gleichung (6) liefert für die Be& stimmungsgleichung = ɛ = (G) Die Schwingungen nähern sich mit abnehmenden Exkursionen ungedämpften Schwingungen, wogegen die lineare Widerstandsformel zu einem konstanten Dämpfungsverhältnis selbst bei den kleinsten Schwingungen führt. Man könnte noch daran denken, in der Größe der Schwingungsdauern bei beiden Widerstandsarten eine wesentliche Verschiedenheit zu finden. Das ist aber nicht der Fall. Die Zeit für die Zurücklegung des reduzierten Weges % + a1, also die halbe Schwingungsdauer, ergibt sich aus Gleichung (6) für 1 zu sie ist, wie bei der linearen Formel, etwas größer als im Vakuum, selbst wenn der Unterschied der Exkursionen unmerklich ist. Es mögen nun für kleine Schwingungsbewegungen die Kriterien zusammengestellt werden. Annalen der Physik. IV. Folge. 23. 13 Linearer Widerstand. (A) Aperiodizität möglich. (B) Lagen der Umkehrpunkte von Kraft abhängig. Quadratischer Widerstand. Aperiodizität unmöglich. Lagen der Umkehrpunkte von der (D) Bei Variation nur der Intensität der Einzelkraft ist T/T, das Verhältnis entsprechender Schwingungszeiten, vom Widerstand des Mediums Die Grundgleichung (II) liefert uns direkt die Größe des tangentialgerichteten Widerstandes; wir brauchen sie nur mit w zu multiplizieren, vgl. Gleichung (I). Wir erhalten nach Ausführung einer partiellen Integration Da nun aber d L/ds identisch ist mit m dv/dt, so erhalten wir aus Gleichung (I) auch folgende, merkwürdige Beziehung gültig bis zur nächsten Nullstelle der Lebendigen Kraft. Die Tangentialbeschleunigung des Körpers (m) setzt sich also im allgemeinen aus zwei Teilen additiv zusammen: Die eine ist eine mit der Länge des zurückgelegten Weges infolge des Widerstandes beständig abnehmende Beschleunigung; sie ist von der treibenden Kraft unabhängig. Die andere ist von dem Verhältnis der Kraft zu dem Hemmungsfaktor abhängig, aber nur sofern dies Verhältnis längs der Bahn variiert. Diese Aussagen gelten, wie klein auch der Widerstand des Mediums sein mag. Der Übergang zu w = 0 ist in der Gleichung stetig; der Wortlaut wird aber dann ein anderer, und zwar der bekannte. Einige einfache Fälle mögen als Erläuterung erwähnt werden. 1. Ein starrer Körper von verschwindend kleinem Gewichte bewege sich unter dem Einfluß des Auftriebes (K) vertikal in einem Medium, dessen Dichte längs der Vertikalen beliebig in stetiger Weise variiere, doch so, daß sie in unmittelbarer Umgebung des Körpers als kaum veränderlich angesehen werden darf (Blase in einer Flüssigkeit; Luftballon). 2. Ein starrer, schwerer Körper bewege sich unter dem Einfluß der konstanten Schwerkraft (K) in vertikaler Richtung in einem Medium konstanter Dichte mit verschwindend kleinem Auftriebe (vertikaler Wurf; vertikaler Fall). 3. Ein starrer Körper bewege sich horizontal in einem Medium konstanter Dichte unter dem Einfluß einer konstanten, oder gar keiner Horizontalkraft (K), die er in Richtung der Bahn erleidet oder entwickelt (Bewegung eines Schiffes, eines Fahrzeuges). In diesen drei verschiedenen Fällen vollzieht sich die Bewegung des Körpers, wie klein w auch sein mag, nach demselben Gesetze Die Beschleunigung ist unabhängig von der treibenden Kraft; letztere könnte auch fehlen, ohne daß dadurch die Bewegungsform eine andere würde. Aber die Konstante C = (L。 — Þo)e− 2, die Vorzeichen und Intensität der Beschleunigung bestimmt, hat in den verschiedenen Fällen verschiedene Vorzeichen und Werte. Für w=0 hat man m (d2s/dt2) = K。, wie es sein soll. Verdrängungswiderstand in einem schwerflüssigen Medium. = Angenommen, der Verdrängungswiderstand in einem schwerflüssigen Medium sei im Zustand der Bewegung, wie klein sie auch sei, darstellbar durch die Formel -rw L, wo die gegebene positive Größe r ebenso wie w im allgemeinen von s abhängig gedacht werden muß. Dieser allgemeinere Fall läßt sich nach derselben Methode wie der besondere (r 0) behandeln, wenn wir voraussetzen, daß K in jedem Punkte der Bahn dem absoluten Betrage nach größer als r ist; denn im anderen Falle könnte es vorkommen, daß der Widerstand r rechnerisch eine Bewegung erzeugte, was ja seinem Wesen nach unmöglich ist. Wir können dann r rechnerisch zu der treibenden Kraft K schlagen, so daß in den bisher ent wickelten Beziehungen Kr an die Stelle von K zu setzen ist. Man sieht, daß von den allgemeinen Sätzen (A) bestehen bleibt. Vermutlich steht r in einem konstanten Verhältnis zu w. Dann erhalten wir für den tangentialen Widerstand entsprechend Gleichung (III) den Ausdruck Ω (IIIa) -r-wL-K—r—w C'e-2 + we-2 und analog Gleichung (IV) Ω C'e- Ω Ω = — w C′ e− 2 + we− 2 С e+2 d ds ds (K/w) ds (K/w) ds. Gleichung (IV a) unterscheidet sich also von Gleichung (IV) nur durch eine andere Konstante C. Unter den gemachten Voraussetzungen über K und r würden sich demnach die oben angeführten drei Beispiele auch in einem schwerflüssigen Medium nach der gleichen Bewegungsform (9) abspielen. Es sind Versuche in Vorbereitung, die die Brauchbarkeit der entwickelten Meßmethoden erproben sollen. Giessen, Physik. Inst. der Univ., am 22. März 1907. (Eingegangen 24. März 1907.) 12. Über die Möglichkeit einer neuen Prüfung des Relativitätsprinzips; von A. Einstein. In einer letztes Jahr erschienenen wichtigen Arbeit1) hat Hr. J. Stark dargetan, daß die bewegten positiven Ionen der Kanalstrahlen Linienspektra emittieren, indem er den DopplerEffekt nachwies und messend verfolgte. Er stellte auch Untersuchungen an in der Absicht, einen Effekt zweiter Ordnung (proportional (v/V)2) nachzuweisen und zu messen; die nicht speziell für diesen Zweck eingerichtete Versuchsanordnung genügte jedoch nicht zur Erlangung eines sicheren Resultates. Ich will im nachfolgenden kurz zeigen, daß das Relativitätsprinzip in Verbindung mit dem Prinzip der Konstanz der Geschwindigkeit des Lichtes jenen Effekt vorauszubestimmen gestattet. Wie ich in einer früheren Arbeit 2) gezeigt habe, geht aus jenen Prinzipien hervor, daß eine gleichförmig bewegte Uhr, vom ,,ruhenden" System aus beurteilt, langsamer läuft als von einem mitbewegten Beobachter aus beurteilt. Bezeichnet die Anzahl der Schläge der Uhr pro Zeiteinheit für den ruhenden, v, die entsprechende Anzahl für den mitbewegten Beobachter, so ist Das Strahlung von bestimmten Frequenzen aussendende und absorbierende Atomion der Kanalstrahlen ist nun als eine rasch bewegte Uhr aufzufassen, und es ist daher die soeben angegebene Beziehung auf dasselbe anwendbar. 1) J. Stark, Ann. d. Phys. 21. p. 401. 1906. |