§ 3. Die Umkehrbarkeit der Spiegelung und Brechung an der Grenze von zwei verschiedenen nicht absorbierenden Körpern.

S1

Nehmen wir an, daß auf das bei A (Fig. 2) gelegene Flächenstück f der ebenen Grenze eines für Strahlung der be trachteten Wellenlänge durchsichtigen Körpers gegen das Vakuum ein hinreichend homogenes, in oder senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes Strahlenbündel aus dem letzteren kommend auffällt. Dann gehen von f zwei Strahlenbündel aus; das reflektierte schreitet in das Vakuum hinein fort, das gebrochene dringt in den genannten Körper ein. Da nun aber selbst der durchsichtigste ponderabele Stoff die Strahlung auf längeren Strecken durch Absorption und Zerstreuung erheblich schwächt, wollen wir das letztere sogleich wieder in das Vakuum austreten lassen. Dies gelingt ohne nochmalige Zerlegung, wenn wir die Lage der zweiten Grenzfläche so wählen, daß das Strahlenbündel sie unter dem Polarisationswinkel und senkrecht zur Einfallsebene polarisiert erreicht; dies soll in Fig. 2 bei B Die Substanz bildet dann ein Prisma, doch liegt der Strahlengang im allgemeinen nicht, wie in der Figur angenommen ist, in einer Ebene.

S2

Fig. 2.

der Fall sein.

Das reflektierte Strahlenbündel lassen wir nun auf einen vollkommen spiegelnden Kugelspiegel S, auftreffen, welcher einen Punkt der Fläche f zum Mittelpunkt hat; sein Radius sei R, seine Brennweite ; bekanntlich ist

Es entwirft ein Bild von der Fläche f, dessen Lage und Form wir untersuchen wollen.

Beziehen wir die Koordinaten x, y, z und x', y', z' eines Punktes und seines Bildes auf ein Achsenkreuz, dessen x-Achse mit der Richtung des Strahlenbündels nach der Spiegelung an S zusammenfällt, und dessen Anfang im Brennpunkt des Spiegels liegt, so lauten die Gesetze der geometrischen Optik

Für den Punkt A ist x = x', da er offenbar in sich selbst abgebildet wird; also x = x' = q. Für die seitliche und die Tiefenvergrößerung, die das ihn umgebende Flächenstück f bei der Abbildung erfährt, gilt demnach

Ein Punkt C von f wird in denjenigen Punkt C' der Ebene von f abgebildet, welcher zu ihm in bezug auf A symmetrisch liegt

(Fig. 3). Das Bild von fliegt in derselben Ebene wie ƒ und unterscheidet sich von ihm nur durch eine Drehung vom Betrage 7 um den Punkt 4. Wir fragen nun nach der optischen Weglänge W von C über einen Punkt des Spiegels S1 nach C'.

y

S1

y

dx C'

Fig. 3.

Zunächst ist unmittelbar einzusehen, daß W für alle Punkte von S, denselben Betrag hat. Führen wir sodann in der Ebene von f ein Koordinatensystem §, n ein, dessen Anfang in A liegt, so folgt aus der Reziprozität zwischen Objekt- und Bildpunkt, daß W sich bei Vertauschung von C und C', d. h. wenn man die Vorzeichen von § und umkehrt, nicht ändert. Es gilt demnach in erster Näherung die Reihenentwickelung:

W = W1 + 1 (a §2 + b n2 + c § n).

0 R

Nun ist eine Länge; die einzigen ihm an Dimension gleichen unter seinen Bestimmungsstücken sind §, n und R. Die Koeffizienten a, b, c sind aber von § und 7, daher auch von R unabhängig. Das Verhältnis der Differenz W - W。 zur Wellenlänge λ,

0

läßt sich also durch Vergrößerung von R so klein machen, als inan nur will, so groß die Dimensionen von f auch gegen λ sein mögen. Eine gegen die Wellenlänge kleine Strecke darf in der Optik stets gleich Null gesetzt werden. Wir werden daher W als längs der ganzen Fläche f konstant betrachten.

Auch das bei A gebrochene, bei B das Prisma verlassende

Strahlenbündel soll nun auf einen absolut reflektierenden Hohl. spiegel S auftreffen. Im Gegensatz zu S, darf dieser aber nicht Kugelform haben, da durch die Brechung bei B das Strahlenbündel astigmatisch geworden ist; er muß vielmehr so beschaffen sein, daß er jede Brennlinie des letzteren in sich selbst abbildet. Dann kehrt das von ihm zurückgeworfene Strahlenbündel nach B zurück, tritt dort wiederum ohne Spiegelung in das Prisma ein, wird gleichzeitig homozentrisch und entwirft bei A ein Bild von f. Da die Gesetze der Ab. bildung unabhängig von der Art sind, wie wir sie verwirklichen, so gilt für die Abbildung durch S2 alles, was wir für die durch S, bewirkte gesagt haben. Wählen wir als den in sich selbst abgebildeten Punkt wiederum 4, so fallen die beiden Bilder von f genau zusammen und die beiden Strahlenbündel interferieren bei ihrer Rückkehr in jedem Punkt der Bildfläche mit ein- und demselben Phasenunterschied.

Bei A entstehen durch abermalige Spiegelung und Brechung im allgemeinen zwei neue Strahlenbündel, von denen das eine in die Prismensubstanz eindringt. In ihm superponieren sich zwei Strahlenbündel von gleicher Intensität; denn jedes von ihnen ist durch eine Reflexion und eine Brechung bei A geschwächt. Wählen wir aber die optischen Weglängen von A nach S und S2 einander gleich, so ist ihr Phasenunterschied gleich ; denn einen Phasensprung von diesem Betrage hat das eine bei der Reflexion in A erfahren. Sie heben sich also auf. Die ganze Energie des einfallenden Strahlenbündels muß sich demnach in dem zweiten, von A aus in das Vakuum hinein fortschreitenden Strahlenbündel finden. Dies besitzt daher außer derselben Brennfläche f, der gleichen Öffnung und dem gleichen Einfalls winkel wie das einfallende auch die gleiche spezifische Intensität. Die erste Reflexion und Brechung bei ist damit vollkommen rückgängig gemacht.

Zweiter Teil.

Die Entropie von zwei partiell kohärenten Strahlenbündeln. § 4. Das Maß der Interferenzfähigkeit.

Es mögen zwei monochromatische, in den geometrischen Bestimmungsstücken, d. h. in der Größe der Brennfläche und des Öffnungswinkels, sowie in der Neigung gegen die Normale

der Brennfläche, übereinstimmende Strahlenbündel unbekannten Ursprungs gegeben sein. Wir sollen die Frage nach ihrer Interferenzfähigkeit beantworten. Nun ist diese im allgemeinen gerade so, wie die Intensitäten, langsam veränderlich; um die Vorstellung ein wenig zu vereinfachen, wollen wir den beiden Strahlenbündeln die geringste Länge zuschreiben, welche sie haben können, wenn sie in der Thermodynamik überhaupt noch eine selbständige Rolle spielen sollen. Sie müssen dann immer noch so lang sein, daß sie ihre Brennfläche während der kürzesten möglichen Dauer einer optischen Energiemessung beleuchten. Dann hat ihre Kohärenz ebenso wie die Intensitäten einen einzigen, bestimmten Wert.

Um sie zu ermitteln, müssen wir sie, da ihr Ursprung uns nach Voraussetzung unbekannt ist, durch Spiegelungen an vollkommenen Spiegeln so leiten, daß sie sich einmal kreuzen. Aber mangels jeden Urteils über ihren Gangunterschied dürfen wir keineswegs sogleich beim ersten Mal erwarten, die etwa vorhandene Interferenzfähigkeit zu entdecken. Vielmehr wird der Gangunterschied im allgemeinen oberhalb der Grenze liegen, bei welcher infolge der Inhomogenität der Strahlung die Interferenzfähigkeit selbst vollkommen kohärenter Strahlen aufhört. Wir müssen deshalb den Versuch oft wiederholen, indem wir den Gangunterschied jedesmal um einen unterhalb dieser Grenze liegenden Betrag verändern. Dabei muß dann einmal die Kohärenz zutage treten, wenn sie überhaupt vorhanden ist. Freilich wäre die Zahl der notwendigen Wiederholungen meist außerordentlich groß; denn selbst bei den feinsten Spektrallinien liegt die genannte Grenze des Gangunterschiedes unterhalb von 102 cm, während die Länge unserer Strahlenbündel sehr viel größer ist. Immerhin ist die Zahl der möglichen Wiederholungen eine ganz bestimmte, endliche, so daß mir gegen die prinzipielle Möglichkeit des Verfahrens nichts einzuwenden zu sein scheint.

Dem sich zunächst vielleicht erhebenden Einwurf, daß man die fraglichen Interferenzen wie die Strahlung überhaupt nur wahrnehmen könnte, wenn man sie absorbieren läßt, ist entgegenzuhalten, daß wir im Druck auf vollkommene Spiegel eine von Absorption unabhängige Wirkung der Strahlung auf die Materie kennen.

Haben wir dann das Vorhandensein von Kohärenz nachgewiesen, so müssen wir zur Feststellung ihres Maßes den Gangunterschied innerhalb engerer Grenzen variieren, bis wir die größte mögliche Deutlichkeit der Interferenzen erreichen; dann, wissen wir, ist der Gangunterschied so klein, daß die Inhomogenität der Strahlung keine Rolle mehr spielt. Solche Gangunterschiede wollen wir im folgenden allein in Betracht ziehen.

Der praktisch einzig in Betracht kommende Fall ist natürlich der, daß man Ursprung und Geschichte beider Strahlenbündel kennt; dann läßt sich, wie wir an mehreren Beispielen sehen werden, ihre Kohärenz leicht berechnen. Es mußte nur erst einmal festgestellt werden, daß sie, wie die Intensitäten, eine der Messung wenigstens prinzipiell stets zugängliche Größe ist. Anderenfalls dürfte sie in den Formeln der Thermodynamik nicht auftreten.

Statt von Strahlenbündeln, die aus vielen Wellen bestehen, sprechen wir in diesem Paragraphen nur von einzelnen Wellen; der Übergang zu Strahlenbündeln erfolgt dann so, daß wir zwischen je zwei einander entsprechenden Wellen beider Strahlenbündel dieselben Kohärenzverhältnisse voraussetzen. Dies ist gerechtfertigt; denn erlitten bei den Änderungen, denen das Strahlenbündel unterworfen wird, nicht alle ihm angehörenden Wellen das gleiche Schicksal, so müßten wir das Strahlenbündel in mehrere Teile zerlegt denken, für welche dies zutrifft.

Diese Wellen setzen wir nun als physikalisch homogen, die Funktionen f(t) und g(t), welche die in ihnen stattfindenden Schwingungen darstellen, also als nahezu periodisch voraus. Nun ist es in der Optik zwar üblich geworden, in solchen Fällen mit einzelnen Sinusfunktionen zu rechnen; doch läßt sich dann der Unterschied zwischen kohärenten und inkohärenten Wellen nur nachträglich und etwas gewaltsam einführen. Wir ziehen deswegen die exaktere Darstellung durch Fouriersche Integrale vor:

(1)

f (t) = f dv F, cos (2 x vt — qv),

| g (t) = f dv G, cos (2 x vt — y,).

Die Integrationsbereiche, in welchen F, und G, merkliche