gen Spannungen, welche jede einzelne der elektromotorischen Kräfte unabhängig von den anderen hervorbringen würde. Und ebenso sind die mit drei rechtwinklichen Axen parallelen Componenten der Stromintensität gleich der Summe der entsprechenden Componenten, welche den einzelnen Kräften zugehören.

Der Beweis ergiebt sich sehr leicht aus den drei Bedingungen, welche Kirchhof') für die Stromvertheilung in Systemen körperlicher Leiter als nothwendig und ausreichend erwiesen hat. Wir nehmen an, dafs das System aus Stücken von verschiedenem Material zusammengesetzt sey, und bezeichnen innerhalb eines solchen Stückes die elektrische Spannung in dem Punkte, dessen Coordinaten x, y, z sind mit u, die nach innen gerichtete Normale eines Punktes der Oberfläche oder der Berührungsfläche mit einem andern Stücke des Systems mit n, die Leitungsfähigkeit mit k, und dieselben Gröfsen für ein anstofsendes Stück von anderem Material mit u ̧, n, k,, so sind die drei Bedingungen für das dynamische Gleichgewicht der Elek

2) für jeden Punkt der Berührungsfläche zweier Stücke von verschiedenem Material:

Darin liegt gleichzeitig, dass an der freien Oberfläche, jenseits welcher wir k1o setzen müssen,

3) für jeden Punkt einer Fläche in welcher eine elektromotorische Kraft ihren Sitz hat:

u—u'=U

wo U die constante Spannungsdifferenz bezeichnet.

1) Pogg. Ann. Bd. 75, S. 189.

Denken wir uns nun die elektromotorischen Kräfte in zwei Gruppen A und B gesondert, und nennen die Spannungen, welche unter dem Einflusse der gleichzeitigen Wirkung der Kräfte aus der Gruppe A und derer aus B eintreten, wie bisher u, die von den Kräften A allein hervorgerufenen v, die von den Kräften B allein hervorgerufenen w, so behauptet unser Princip, dass

u =v+w.

Ich will zunächst nachweisen, dafs die Function (v+w) statt u in die obigen drei Bedingungsgleichungen gesetzt, dieselben identisch macht.

Da v und wo die elektrischen Spannungen seyn sollen, welche bei der Durchströmung des Systems unter dem Einflusse der betreffenden elektrischen Kräfte aus der Gruppe A oder B eintreten, so mufs ein jedes von ihnen einzeln genommen die drei obigen Bedingungen erfüllen. Wir haben also für jeden Punkt im Innern

für jeden Punkt der Trennungsfläche zweier Stücke von verschiedenem Widerstande

für jeden Punkt einer elektromotorischen Fläche, dessen Kräfte der Gruppe A angehören

oder für jeden, dessen Kräfte der Gruppe B angehören

Berücksichtigt man nun, dafs wenn u=v+w ist,

so erhält man sogleich durch Addition der Gleichungen la und 11⁄2 die Gleichung 1, durch Addition von 2. und 2 die Gleichung 2, durch Addition von 3. und 3 oder 4a und 4 die Gleichung 3. Somit sind alle Bedingungen der Stromvertheilung erfüllt, wenn wir u=v+w setzen, und da Kirchhof nachgewiesen hat, dafs nur eine Function existiren kann, welche alle diese Bedingungen erfüllt, so folgt, dafs u=v+w diese Function sey.

Wie wir nun die Gesammtzahl der vorhandenen elektromotorischen Kräfte in zwei beliebige Gruppen A und B zerlegt haben, so können wir auch wieder A in zwei kleinere Gruppen C und D theilen, B in E und F. Durch die Kräfte der Gruppe C allein möge die Spannung q hervorgebracht werden, durch D oder E oder F beziehlich die Spannungen r oder s oder t. Wir haben dann entsprechend dem vorigen Falle

v=q+r

w=s+t

u=v+w=q+r+s+t.

So können wir die Theilung der Kräfte offenbar beliebig weit fortsetzen.

Auch braucht man die elektromotorische Kraft U irgend eines Punktes in einer elektromotorischen Fläche, nicht ganz in die eine oder andere Gruppe hineinzunehmen, sondern kann sie selbst in zwei Theile V und W theilen, so dafs

U=V+W

und V in die Gruppe A, W in die Gruppe B kommt. Die dritte Bedingungsgleichung wird dann an dieser Stelle

daraus folgt

uu1 = (v+w)—(v,+w1)=V+W=U wie es die Gleichung 3 verlangt.

Somit ist das Princip der Superposition für die elektrischen Spannungen vollständig erwiesen. Es darf natürlich nur bei constanten elektromotorischen Kräften angewendet werden. Hängen diese Kräfte dagegen von der Stromesdichtigkeit ab, so bekommt die dritte Bedingungsgleichung eine andere Form, welche die einfache Addition nicht mehr zulässt.

Ich bemerke noch, dafs es zuweilen vortheilhaft ist, zu den vorhandenen elektromotorischen Kräften eines leitenden Systems noch andere hinzuzudenken, und die vorhandenen Spannungen als die Differenz der den gesammten und der den hinzugesetzten Kräften zugehörigen Spannungen zu betrachten, ein Verfahren, welches nach dem bewiesenen Principe offenbar erlaubt ist.

Aus dem für die Spannungen bewiesenen Satze folgt sogleich der entsprechende für die Componenten der Stromintensität. Sind erstere u oder v oder w, so sind letztere nach der Axe der x beziehlich

II. Die folgenden Sätze beziehen sich auf den Fall, wo constante elektromotorische Kräfte von beliebiger Zahl und Vertheilung im Innern eines beliebig zusammengesetzten Leitersystems A wirksam sind, und an die Oberfläche von

A ein anderer Leiter B angelegt wird, in welchen ein Theil der A durchkreisenden Ströme abgeleitet wird. Wir können daher A den abgeleiteten und B den ableitenden Leiter nennen. Wir setzen zunächst voraus, dafs in B und an seinen Berührungsstellen mit A keine elektromotorischen Kräfte vorkommen. Es wird dadurch die allgemeine Brauchbarkeit der folgenden Sätze für beliebige Fälle der Anwendung nicht beschränkt, da man nach dem Principe der Superposition die Ströme, welche von den inneren Kräften des Leiters A in dem Systeme erregt werden, erst mit Anwendung der folgenden Theoreme gesondert bestimmen, und nachher die hinzufügen kann, welche Kräften im Innern von B oder an den Berührungsstellen von A und B, wenn dort solche vorkommen, angehören.

1) Ich lasse zunächst einen Satz folgen, welchen wir wohl passend das Princip von der elektromotorischen Oberfläche nennen können:

Für jeden Leiter A, in dessen Inneren elektromotorische Kräfte beliebig vertheilt sind, lässt sich eine bestimmte Vertheilung elektromotorischer Kräfte in seiner Oberfläche angeben, welche in jedem angelegten Leiter B dieselben abgeleiteten Ströme wie die inneren Kräfte von A, hervorbringen würde.

Diese Vertheilung wird folgendermassen gefunden. Man nehme den Leiter A isolirt, ohne Verbindung mit anderen Leitern, bestimme die elektrische Spannung, welche ein jeder Punkt seiner Oberfläche bei den durch seine inneren Kräfte erregten Strömen annimmt, und setze die gesuchte elektromotorische Kraft der Oberfläche in der Richtung von innen nach aufsen genommen gleich dieser elektrischen Spannung, indem man nach Ohms Weise die elektromotorischen Kräfte durch die zugehörigen Spannungsunterschiede gemessen denkt. Ich werde im Folgenden die Oberfläche des Leiters A, wenn sie in der angegebenen Weise elektromotorisch wirksam gedacht wird, die positiv wirksame Oberfläche nennen, negativ wirksam dagegen, wenn