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der Differentialquotient der Spannung, nach beliebiger Richtung genommen, auf beiden Seiten gleich.

Wo sich Leiter von ungleicher elektromotorischer Kraft und ungleichem Leitungsvermögen berühren, müssen dagegen sowohl die ganze Function als ihr Differentialquotient auf beiden Seiten der Fläche verschiedene Werthe haben, was sich erreichen läfst, wenn an die entgegengesetzten Seiten der Fläche Schichten von entgegengesetzten Elektricitäten und ungleicher Dichtigkeit angelagert werden.

Ich werde im Folgenden unter einer elektrischen Doppelschicht stets nur solche zwei Schichten verstehen, welche an den entgegengesetzten Seiten einer Fläche in unendlich kleiner Entfernung vor ihr liegen, und deren eine ebenso viel positive Elektricität enthält, als die andere negative.

In durchströmten zusammengesezten Leitersystemen sind also alle Gränzflächen zwischen Theilen von verschiedenem Widerstande und alle zwischen ihnen und dem äusseren nicht leitenden Raume mit einer einfachen Schicht Elektricität, aufserdem alle elektromotorischen Flächen mit einer Doppelschicht belegt. Hat man die Aufgabe zu lösen, die Stromvertheilung zu finden, wenn die elektromotorischen Kräfte P gegeben sind, so giebt die Gleichung

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sogleich das Moment m der Doppelschichten, welche den elektromotorischen Flächen entsprechen, und die Aufgabe reducirt sich darauf, zu diesen Doppelschichten die einfachen zu finden, so dafs die Potentialfunctionen von ihnen allen zusammengenommen den Bedingungsgleichungen Kirchhof's genügen.

Betrifft die Aufgabe Verbindungen von linearen körperlichen Leitern, so kann man für die Aufsuchung der Potentialfunctionen die Einströmungspunkte der Elektricität in den körperlichen Leiter als einfache elektrische Massenpunkte betrachten; man erhält bei dieser Substitution rings um sie her dieselbe Gestalt der Potentialfunction, wie sie Smaasen in seiner Untersuchung über die Stromvertheilung im Raume gefunden hat. Es sey A die elektrische

Masse eines solchen Punktes, r seine Entfernung von dem Punkte, dessen Potentialfunction zu bestimmen ist, V der Theil der Potentialfunction, welcher von anderen entfernten Massen eben daselbst hervorgebracht wird, so ist die ganze Potentialfunction

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Ist nun do ein Element einer beliebigen Oberfläche, welche den Punkt A, aufser ihm aber keinen andern elektrischen Massenpunkt einschliefst, und n die nach innen gekehrte Normale von do, so ist nach einem Satze von Gaufs')

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wo das Integral über die ganze Fläche auszudehnen ist. Bezeichnen wir die Leitungsfähigkeit des körperlichen Leiters mit k, so ist die gegen do normale Stromcomponente gleich

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folglich die ganze durch die geschlossene Oberfläche von innen nach aufsen strömende Elektricität

+ 4 ΠΑΚ.

Da diese Elektricitätsmenge der aus dem linearen Leiter einströmenden gleich seyn mufs, bezeichnet sie zugleich die Stromintensität in dem letzteren. Dadurch bestimmt sich die Grösse der hypothetischen elektrischen Masse A.

Durch diese Umformung der Aufgaben über Stromvertheilung erlangt man den grofsen Vortheil, ihre Lösungen auf die Betrachtung von Functionen zu reduciren, welche schon mannigfach bearbeitet und in Reihen entwickelt sind, nämlich auf die Potentialfunctionen elektrischer Körper und Flächen. Ebenso kann man auch wiederum rückwärts aus jedem Theorem über Stromvertheilung entspre1) L. c. §. 6.

chende und zum Theil neue Theoreme über die Potentialfunctionen der Elektricität und des Magnetismus herleiten, doch würde uns das hier zu weit von unserem Wege abführen.

In Verbindung mit diesen Betrachtungen eröffnet der Satz von der elektromotorischen Oberfläche uns einen neuen Weg zur Lösung der Aufgabe, die Stromvertheilung in einem begränzten Leiter A von constantem Widerstande zu finden. Statt der elektromotorischen Kräfte in A substituiren wir, nach den angegebenen Regeln, elektrische Massen, und nehmen dann an, dafs A mit einem ableitenden Leiter verbunden werde, und zwar sey B der unendliche äufsere Raum mit derselben leitenden Masse wie A gefüllt. Da nun das zusammengesetzte System A+B nirgend freie Oberflächen, oder Begränzungsflächen von Theilen verschiedenen Widerstandes darbietet, können die elektrischen Massen, von denen die Potentialfunction der es durchströmenden Elektricität abhängt, nur die inneren von A seyn. Daher ist die Spannung in dem zusammengesetzten Systeme A+B gleich der Potentialfunction der inneren Massen von A, und somit gegeben. Nun soll auch die elektromotorische Oberfläche von A allein in B dieselben Spannungen hervorbringen, wie die inneren Kräfte von A; es mufs also ihre elektrische Potentialfunction (wenn sie als Doppelschicht betrachtet wird) im äussern Raume B der der inneren Massen von A gleich seyn. Kennen wir die elektromotorische Oberfläche von A, SO kennen wir in diesem Falle also auch die Spannungen und Ströme, welche sie in dem System A+B hervorbringt. Nun sind aber nach dem Satze II. 2) die Ströme, welche in dem Leiter A ohne Ableitung kreisen, gleich der Differenz derjenigen, welche einmal die inneren Kräfte von A, dann die elektromotorische Oberfläche in dem abgeleiteten System A+B hervorbringen würden. Daher reducirt sich die Aufgabe, in dem Leiter von constantem Widerstande A die Vertheilung der Ströme zu finden auf die andere: diejenige elektrische Doppelschicht an seiner Oberfläche zu

finden, welche nach aufsen dieselbe Potentialfunction giebt, welche seine inneren elektrischen Massen geben. Diese Umformung der Aufgabe ist wesentlich verschieden von der, welche aus Kirchhof's Theoremen herfliefst. Nach der letzteren würden wir eine einfache elektrische Schicht zu suchen haben, welche an der Gränze des Körpers denselben Differentialquotienten der Potentialfunction, senkrecht gegen die Oberfläche genommen, gäbe wie die inneren elektrischen Massen. Jene Umformung leitete mich in der That in einigen Fällen zur vollständigen Lösung, wo ich diese aus Kirchhof's Theoremen nicht herzuleiten wufste. Als Beispiel will ich hier die Stromvertheilung in einer gleichmässig leitenden Kugel behandeln.

Wir wenden Polarcoordinaten an, die sich auf den Mittelpunkt der Kugel beziehen, und setzen

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bezeichnen den Radius der Kugel mit R, und setzen R =u und = =v. Alsdann findet bekanntlich folgende

R

a

Beziehung zwischen der Potentialfunction V. einer auf der Kugeloberfläche verbreiteten elektrischen Schicht für die Punkte des äufsern Raums genommen, und der andern V, für den innern Raum der Kugel statt:

i

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Um nun den allgemeinen Ausdruck für die inneren und äusseren Potentialfunctionen einer elektrischen Doppelschicht zu finden, nehmen wir an, auf einer Kugelfläche vom Radius R+AR befinde sich die eine als positiv betrachtete Schicht, und auf einer mit der ersten concentrischen vom Radius R-AR die negative. AR wird natürlich als eine verschwindend kleine Gröfse angesehen. Die äufsere Potential function der ersten Schicht ist dann

dVa

V+VAR, die der zweiten VAR; folglich

d

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AR

5) P=2dAR=2[F+£Fo] R2

Das Zeichen Fist hier für dF) gesetzt. du

Ist uns nun die Aufgabe gestellt, eine bestimmte Doppelschicht zu suchen, welche die gewissen in der Kugel verbreiteten elektromotorischen Kräften entsprechende elektromotorische Fläche darstellt, so setzen wir zunächst die diesen Kräften entsprechenden elektrischen Massen hin, und bestimmen deren Potentialfunction W. Aufserhalb der Kugel mufs seyn

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и

Bei der Integration ist zu bemerken, dass o eine Function von u ist, nämlich gleich. Die Constante C ist ganz beliebig. Nachdem man F) gefunden hat, ergiebt sich sogleich aus Gleichung 5 die Function P,, und endlich die elektrische Spannung S in der durchströmten Kugel

S=W-P; oder

ΔΙ

7) S=2[F(+F+&F]AR.

Somit ist das Problem ganz allgemein auf Quadraturen zurückgeführt.

Als besondern Fall will ich den behandeln, wo die Elektricität durch Punkte der Oberfläche in die Kugel einströmt. Der eine von der elektrischen Masse +A habe

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