wo die dreifachen Integrale über den ganzen Raum S und die einfachen über seine ganze Oberfläche auszudehnen sind.

Nun sey die Function U die Potentialfunction einer Masse, die theils mit der veränderlichen Dichtigkeit μ im Innern von S, theils aufserhalb verbreitet ist, dann ist nach einem bekannten Satze von Gaufs und Green

Und ebenso sey V die Potentialfunction einer Masse, die mit der veränderlichen Dichtigkeit v theils in S, theils aufserhalb verbreitet ist, so dafs

Die Gleichung (1) verwandelt sich dann in folgende ')

Suara dw-4л Sv v Udx dy dz =

dn

U

Svdo-47fffu V da dy ds (2)

V dw π

dn

Um mit Hülfe dieser Gleichung das oben ausgesprochene Theorem zu beweisen, unterscheiden wir folgende Fälle: 1) wenn der Leiter S in allen seinen Theilen dieselbe Leitungsfähigkeit k besitzt.

Wir machen in diesem Falle das U der Gleichung (2) gleich der Potentialfunction der Elektricität, welche entsteht, wenn das Flächenelement a elektromotorisch wirkt, V gleich der anderen, welche entsteht, wenn b wirksam ist. Dann ist u überall gleich Null aufser in der elektrischen Doppelschicht des Flächenelements a, und überall gleich Null, aufser in der Doppelschicht von b. Bezeichnen wir mit U, und V. den Werth dieser Functionen in den betreffenden Orten b und a, den Abstand der elektri

a

1) Aus dieser Gleichung folgt als ein besonderer Fall die No. (3) in der angeführten Stelle von Green, welche entsteht, wenn ein endlicher Theil der Masse in einen Punkt vereinigt wird, in welchem dann auch die Differentialcoefficienten, ebenso wie die Dichtigkeit der Masse unendlich

werden.

schen Schichten von den Flächenelementen mit c, und die Normale auf a nach Seite der positiven Belegung positiv gerechnet mit a, ebenso die auf b mit ß, so ist der Werth von U innerhalb der positiv elektrischen Belegung von b gleich

der Werth von V innerhalb der positiven Belegung von a

Ist die Dichtigkeit der positiv elektrischen Belegung auf a wie auf b gleich +A, die der negativen gleich — A, und bezeichnen wir in den folgenden Gleichungen mit a und b die Grösse der Flächenelemente, so reduciren sich die dreifachen Integrale der Gleichung (2) respectiv auf

Die einfachen Integrale jener Gleichung werden gleich Null, weil nach Kirchhof's zweiter Bedingung für die Stromvertheilung an der freien Oberfläche die Werthe von

dv

d U

dn

und überall gleich Null seyn müssen. Die Gleichung (2)

dn

Diese beiden Gröfsen sind aber die durch a und bin der Zeiteinheit fliefsenden Elektricitätsmengen, deren Gleichheit bewiesen werden sollte.

2) Wenn der Leiter aus zwei Theilen S, und S besteht, deren einer die Leitungsfähigkeit k,, der andere k„ hat, und beide Flächenelemente a und b in S, liegen.

U und V behalten ihre Bedeutung wie im vorigen Falle für das Leiterstück S,, die entsprechenden Potentialfunctionen in S bezeichnen wir mit u und v. Wie im vorigen Falle reduciren sich die dreifachen Integrale der Gleichung (2) innerhalb S, auf

Innerhalb S, welches gar keine elektromotorischen Kräfte, also auch keine elektrischen Massen enthält, werden sie gleich Null. Die einfachen Integrale jener Gleichung werden aber nicht mehr gleich Null, da an dem Theile der Gränzoberflächen, wo sich S, und S berühren, die Gröfsen dv und nicht mehr gleich Null werden, wie

dU dV du

dn' dn, dn,

dn

an der freien Oberfläche der Fall ist. Zwischen diesen Gröfsen bestehen aber in sämmtlichen Punkten der Gränzfläche folgende Beziehungen

wobei die Integrale über die ganze Gränzfläche, oder, was

damit einerlei ist, über die ganze Oberfläche der betreffen den Leiterstücke S, und S auszudehnen sind.

Die Gleichung (2) verwandelt sich demgemäfs für S, und S betreffend in

"

δωμ

dV

da (4)

Multiplicirt man die erstere dieser Gleichungen mit k, die zweite mit k, addirt sie und berücksichtigt dabei die Gleichungen (3), so erhält man wieder

kb

—k, ba
d U

d. h. die betreffend durch a und b fliefsenden Elektricitäts

mengen sind sich gleich, was zu beweisen war.

3) Wenn der Leiter aus zwei Stücken S, und S von verschiedener Leitungsfähigkeit k, und k, besteht, und das Flächenelement a in S, b in S liegt.

μ

In diesem Falle ist die Gröfse u der Gleichung (2) überall gleich Null aufser in der Belegung von a im Leiter S,, die Gröfse v überall gleich Null aufser in der Belegung von b im Leiter S. Von den dreifachen Integralen bleibt also im Leiter S, nur eins bestehen mit dem Werthe:

Die Gleichungen (3) des vorigen Falles bestehen auch in diesem unverändert.

Die Gleichung (2) für S, und S, reducirt sich betreffend auf:

Multiplicirt man die erstere dieser Gleichungen mit k,, die

zweite mit k, und addirt sie mit Berücksichtigung der Gleichungen (3), so erhält man

Die beiden letzteren Gröfsen sind wieder die durch b und a fliefsenden Elektricitätsmengen.

Man sieht leicht ein, dafs dieselbe Art des Beweises auf drei oder mehr Stücke von verschiedener Leitungsfähigkeit anzuwenden seyn würde, so dafs das oben hingestellte Theorem als allgemein gültig betrachtet werden kann.

Seine hauptsächlichste Anwendung erhält dieses Theorem bei solchen Aufgaben, wo das körperlich ausgedehnte Leitersystem mit einem Galvanometer in Verbindung gesetzt ist, in dessen linearer Leitung man die Stromstärke bestimmen will. Ist man nämlich im Stande zu bestimmen, in welcher Weise ein im Galvanometerdraht erregter Strom sich in dem körperlichen Leiter vertheilt, so kann man mit Hülfe unseres Satzes auch die Stärke des Galvanometerstromes bestimmen, welcher durch jede beliebige Vertheilung von elektromotorischen Kräften im körperlichen Leiter hervorgebracht wird, ohne dafs man nöthig hat, die Vertheilung der Ströme in dem letzteren zu kennen. Jedes einzelne Element a einer elektromotorischen Fläche läfst so viel Elektricität durch den Galvanometerdraht fliefsen, als durch es selbst fliefsen würde, wenn seine elektromotorische Kraft in diesem Drahte angebracht wäre. Summirt man die Wirkungen sämmtlicher elektromotorischen Flächenelemente, deren jede einzelne in der angegebenen Weise zu finden ist, so bekommt man den ganzen Strom im Gal

vanometer.

Das besprochene Theorem ergänzt die Anwendbarkeit des Princips von der elektromotorischen Oberfläche. Bei der Verbindung eines elektromotorisch wirksamen körperlichen, und eines linearen Leiters können wir uns die den ersteren durchkreisenden Ströme zusammengesetzt denken aus einem System A, wie es die elektromotorischen Kräfte vor Anlegung des Galvanometerdrahtes erregen, und aus