und welches von F und G in dem Verhältnifs von 15:2 absteht. In der Figur sind diese Farben durch die punktirte Linie, welche sie verbindet, angedeutet. Es fällt also diefs Indigo noch innerhalb der Farbengränzen, zwischen denen die Complementarfarben des Gelb nach Helmholtz liegen. Man sieht also, dafs die angeführte Beobachtung von Helmholtz mit dem Resultat der Newton'schen Versuche im Wesentlichen übereinstimmt. Für die übrigen Farben leugnet nun allerdings Hr. Helmholtz die Möglichkeit, aus ihnen durch Vermischung zweier Farben Weiss zu erhalten. Aber prüfen wir irgend eine seiner Versuchsreihen, z. B. die über die Mischung des Roth mit den übrigen Farben, so ergiebt sich daraus jedesmal die Complementarfarbe leicht. Nach ihm giebt nämlich Roth mit Orange, Gelb, Grün die mittleren Farbentöne, welche in dieser Reihe, also nach unserer Bezeichnung vom Roth aus nach der positiven Seite liegen. So z. B. giebt nach ihm Roth mit Grün vermischt ein fahles Gelb, welches bei vorwaltendem Roth durch Orange in Roth, bei vorwaltendem Grün durch Gelbgrün in Grün übergeht. Ebenso giebt Roth mit Violett, Indigblau, Himmelblau die in dieser Reihe dazwischen liegenden Farbentöne, welche also nach unserer Bezeichnung vom Roth aus nach der negativen Seite liegen. Namentlich giebt nach ihm Roth mit Himmelblau vermischt ein weifsliches Violett, welches bei überwiegendem Roth in Rosaroth und Carminroth übergeht. Es mufs also nach dem oben erwiesenen Satze die Complementarfarbe des Roth zwischen Grün und Himmelblau liegen, also irgend ein Farbenton des Blaugrünen seyn. Nun sagt zwar Helmholtz, dass bei der Mischung des Roth mit den grünblauen Tönen eine fleischfarbene Mischung hervorgeht; allein, wie diese Fleischfarbe bei überwiegendem Blaugrün in dieses übergeht, wie es doch der Fall seyn mufs, wird nicht gesagt. Es bleibt hier also eine Lücke. Ueberdiefs ist Fleischfarbe nichts anderes, als ein mit vielem Weifs gemischtes Roth, und es ist kein anderer Uebergang desselben in das Blaugrüne denkbar, als der dafs sich das Roth immer mehr ab

3.1

schwächt, bis es unter dem beigemischten Weifs verschwindet, und dann aus diesem Weifs (oder Grau) nach und nach das Blaugrün hervortritt; kurz, es findet hier der normale Uebergang durch farbloses Licht hindurch statt. Dasselbe gilt für die übrigen Versuchsreihen. Die aus ihnen abgeleitete. Tafel der Complementarfarben würde folgende

seyn:

Gelb, Gelbgrün, Grün, Grünblau, Himmelblau, Indigo, Indigo, Violett, Purpur, Roth, Orange, Gelb, wo die zusammengehörigen Complementarfarben unterein

ander stehen.

Ich habe bisher versucht, mit möglichst wenigen Voraussetzungen auszureichen. Ich werde jetzt, um den Hauptsatz der Farbenmischung abzuleiten, noch zu den bisherigen beiden Voraussetzungen eine dritte hinzufügen, nämlich die:

>> dafs zwei Farben, deren jede constanten Farbenton, constante Farbenintensität und constante Intensität des beigemischten Weifs hat, auch constante Farbenmischung geben, gleich viel aus welchen homogenen Farben jene zusammengesetzt seyen.«<

Auch diese Voraussetzung scheint durch die bisherigen Beobachtungen hinreichend gerechtfertigt zu seyn. Denn dafs die farbigen Pulver vermischt andere Resultate geben, als wenn man, statt sie selbst zu vermischen, das von ihnen ausgehende Licht vermischt, kann keinen Einwand abgeben, zumal da der Grund dieser Abweichung durch Helmholtz aufgedeckt ist.

Es sey nun a eine homogene Farbe, und a' diejenige homogene Farbe, welche mit a gemischt Weifs giebt. Der Anschaulichkeit wegen denke man sich a und a' dargestellt durch 2 gleich lange aber entgegengesetzt gerichtete Strecken (Fig. 17, Taf. I.), die von Einem Punkte ausgehen. Es sey ferner b eine Farbe, welche mit a gemischt eben so viel Weifs liefert, wie mit a' gemischt; und um diese gleiche Beziehung von b zu ɑ und zu a' auszudrücken, sey b durch eine gegen a und a' senkrechte Strecke dargestellt. Fer

ner sey die Intensität der Farbe b so gewählt, dafs, wenn b' die Farbe ist, die mit b Weifs giebt, die Intensität des durch diese Mischung entstandenen Lichtes gleich der Intensität des durch die Mischung von a und a' entstandenen Lichtes sey. Diefs sey bildlich dadurch dargestellt, dafs man die Strecke, welche die Farbe b ausdrückt, gleich lang macht mit a und a', während die Complementarfarbe von b, durch die mit b gleich lange aber entgegengesetzt gerichtete Strecke b' dargestellt sey. Wir wollen annehmen, dass von den beiden Farben b und b' die Farbe b diejenige sey, welche von a aus nach der positiven Uebergangsseite liegt. Es leuchtet ein, dafs wenn die Farbe a gegeben ist, dann a', b, b' durch Beobachtung zu finden sind. Ist z. B. a Gelb, so ist a' Indigo; auf dem positiven Uebergange von a zu a' liegen die verschiedenen Töne des Grünen und Blauen; das Grüngelb wird mit Gelb (a) vermischt eine sehr geringe, mit Indigo (a') vermischt eine sehr bedeutende Beimischung des Weifs geben. Schreitet man vom Grüngelb nach der positiven Seite zu fort, so wird bei der Vermischung mit Gelb die Beimischung des Weiss nach und nach zunehmen, bei der Vermischung mit Indigo abnehmen. Es wird also auf dem Uebergange ein Farbenton liegen, welcher mit dem Gelb vermischt, ebenso viel Weiss liefert, wie mit Indigo vermischt. Es sey diess etwa Grün, so wird b Grün und b' Purpur seyn. Es leuchtet nun ein, dafs man durch Vermischung von je zweien dieser vier Farben alle Farbentöne erhalten mufs. Es seyen diese Farbentöne für alle Intensitätsverhältnisse der zu mischenden homogenen Farben a und b, b und a', a' und b', b' und a durch Beobachtungen gefunden. Wir nehmen an, es seyen die Intensitäten der beiden zu mischenden Farben durch die Längen der zugehörigen Strecken dargestellt, so dafs, wenn die eine Farbe z. B. den Farbenton a hat, und die Intensität derselben sich zu der von a wie m zu 1 verhält, dann jene Farbe durch eine Strecke dargestellt sey, welche mit a gleiche Richtung, aber die m-fache Länge hat. Nachdem man so die beiden zu mischenden Farben

geometrisch dargestellt hat, construire man aus diesen Strecken die geometrische Summe, d. h. die Diagonale des Parallelogramms, welches die beiden Strecken zu Seiten hat'), und setze fest, dafs diese Summe oder Diagonale die Farbe der Mischung darstellen soll, nämlich ihre Richtung den Farbenton und ihre Länge die Intensität der Farbe.

Ist diefs geschehen, so kann man von jetzt an den Farbenton, und die Farbenintensität jeder Mischung von Farben durch blofse Construction finden. Nämlich man braucht nur die Strecken, welche den Farbenton und die Farbenintensität der zu mischenden Farben darstellen, zu bestimmen, und diese dann geometrisch zu addiren, d. h. wie Kräfte zusammenzusetzen, so stellt die geometrische Summe (die Resultante jener Kräfte) den Farbenton und die Farbenintensität der Mischung dar. Es folgt diefs unmittelbar daraus, dafs die Ordnung, in welcher man geometrisch addirt (die Kräfte zusammensetzt), gleichgültig ist für das Resultat. In der That es seyen die durch die Strecken a, b, a', b' gemäss der obigen Bestimmung dargestellten Farben zu Grunde gelegt, und sey unter ca, wenn a positiv ist, eine Farbe verstanden, die den Farbenton a hat, und deren Farbenintensität sich zu der von a verhält wie a zu 1, und wenn a negativ ist, sey unter aa eine Farbe verstanden, die den Farbenton der Complementarfarbe a' besitzt, und deren Farbenintensität sich zu der von a' wiederum wie a zu verhalte. Dasselbe gelte in Bezug auf die zweite zu Grunde gelegte Farbe b und deren Complementarfarbe b'. Von den beiden Farben e und e,, deren Mischungsfarbe man sucht, sey die eine darstellbar durch die Mischung der Farben aa und b, die andere durch die Mischung der Farben a, a und Bb,, so ist (immer abgesehen vom beigemischten Weifs) die Mischung von c und ci darstellbar durch die Vermischung der vier Farben a a, b, α, α,

1) Der Begriff dieser geometrischen Summe ist von mir in meiner Ausdehnungslehre (Leipzig 1844) und von Möbius in seiner Mechanik des Himmels (Leipzig 1843) zuerst entwickelt.

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aa, ẞ, b. Aber aa giebt mit a, a vermischt (a+a ̧) a und b mit ß,b vermischt (ẞ+ß、) b. Also ist die Mischung von c und c, auch darstellbar durch die Mischung der beiden Farben (a+a,) a und (+B,) b. Da diese letzteren aber die zu Grunde gelegten Farbentöne a, b oder a', b' haben, so wird ihre Mischung dargestellt durch die geometrische Summe der Strecken, also durch die Strecke (a+a1)a+(3+,)b d. h. durch (a a+b)+(a, a+ß, b) d. h. durch die geometrische Summe zweier Strecken, welche einzeln genommen die zu vermischenden Farben darstellen.

Wir können diefs Gesetz, welches aus den drei zu Grunde gelegten Voraussetzungen mit Nothwendigkeit folgt, und welches zur Bestimmung der Farbenreihe nur eine einfache, aber vollständige Beobachtungsreihe erfordert, auch noch in anderer Weise ausdrücken. Nämlich wenn man um den Anfangspunkt der Strecken mit dem Radius a einen Kreis schlägt, und statt jeder Strecke den Punkt setzt, in welchem sie die Peripherie trifft, versehen mit einem Gewicht, welches der Länge jener Strecke proportional ist, so kann man die Mischfarbe aus 2 gegebenen Farben auf folgende Weise finden: Man stellt jede der zu mischenden Farben durch einen solchen schweren Punkt der Peripherie dar, so nämlich, dafs der zugehörige Radius den Farbenton anzeigt, und das zugehörige Gewicht die Farbenintensität ausdrückt, und bestimmt den Schwerpunkt. Dann zeigt die Strecke, welche vom Mittelpunkte nach diesem Schwerpunkt gezogen ist, den Farbenton an, und, nachdem sie mit der Summe der Gewichte multiplicirt ist, auch die Farbenintensität. Die Identität dieser Bestimmung mit der früheren ergiebt sich leicht aus folgender, in meiner Ausdehnungslehre erwiesenen Construction des Schwerpunktes: Den Schwerpunkt der Punkte A, B, C...., welche beziehlich mit den Gewichten a, ß, y,... versehen sind, findet man, indem man von einem beliebigen Punkte O die Strecken OA, OB, OC... zieht, diese beziehlich mit a, ẞ, 7,... multiplicirt d. h. ihre Länge, ohne ihre Richtung zu ändern, im Verhältnifs 1: a, 1: B, 1:7,... ändert, aus den so gePoggendorff's Annal. Bd. LXXXIX.

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