wellen herrschenden Gesetzen liegt ein wesentliches Ziel dieser Arbeiten, sondern auch in der Anwendung auf die dynamischen Vorgänge der Atmosphäre. Nach der Helmholtz'schen Theorie müssen an der Grenze verschieden erwärmter Luftschichten Wellen entstehen, sobald die Strömungen eine gewisse Grösse erreicht haben und die Wellenberge werden dann oft als Wolkenbildungen sichtbar.

Man kann nun bei sehr niedrigen Wellen eine Beziehung zwischen den Dichtigkeiten der beiden Luftschichten, den Strömungsgeschwindigkeiten in grosser Entfernung von den Wogen und der Wellenlänge ableiten, so dass eine dieser Grössen aus den anderen berechnet werden kann.

Bei höheren Wellen treten bei verschiedener Grösse der Strömungsgeschwindigkeiten merkliche Unterschiede in der Form ein, sodass es nicht aussichtslos erscheint, aus der Beobachtung der Wellenformen auf die Werthe der Strömungen zu schliessen. Sind die Luftwogen nicht zu weit von der Erdoberfläche entfernt, so müssen bei grossen Werthen der Wellenlänge auch in der Nähe des Bodens noch die Einflusse der Wellenbildung merklich werden und Aenderungen des Luftdruckes bedingen. Auch diese Verhältnisse werden sich durch die Analyse vollständig übersehen lassen.

1.

Die Voraussetzungen der Theorie sind folgende: Es sind zwei Flüssigkeiten von verschiedener Dichte über einander gelagert, beide strömen im unendlichen mit constanten Geschwindigkeiten horizontal. Die Flüssigkeiten sind reibungslos und ohne Wirbel. Die horizontale Strömung der oberen Flüssigkeit bezeichnen wir mit a1, die der unteren mit -az. Nehmen wir beide entgegengesetzt gerichtet an, so können wir dem ganzen System eine Geschwindigkeit a, beilegen; hierdurch bringen wir die tiefen Schichten des unteren Mediums zur Ruhe, während die absolute Geschwindigkeit des oberen Mediums a, ag, die der Wellen a, ist. Das Coordinatensystem ist mit den Wellen als fest verbunden und ausserdem sind alle Bewegungen parallel der Ebene der xy zu denken.

+

Für die Wellenformen ist das Hinzufügen dieser gemeinsamen Geschwindigkeit a, von keinem Einfluss, wohl aber für

die Energie des Systems. Die Gestalt der Wellen hängt nur von den Werthen der Geschwindigkeiten a und Az ab. Die Bewegungen des Systems sind im übrigen in Bezug auf das Coordinatensystem stationär.

Ausser der Bedingung, dass die Flüssigkeiten im Unendlichen horizontal strömen, ist noch die zu erfüllen, dass die Trennungslinie Strömungslinie für beide Flüssigkeiten ist. Diese Forderung muss mathematisch genau erfüllt werden, weil selbst ein geringes Uebereinandergreifen der angrenzenden Stromlinien beider Flüssigkeiten physikalisch die Bedeutung des Hineinpressens der einen in die andere haben würde, wodurch unendliche Druckkräfte entstehen müssten.

Die Bedingung der Gleichheit des Druckes an beiden Seiten der Oberfläche soll dagegen nach dem Vorgange von Helmholtz durch die Herstellung convergenter Reihen erfüllt werden, in denen die Coefficienten der ersten Glieder zum Verschwinden gebracht werden. Es werden demnach alle Grössen als Functionen zweier Variabeln ausgedrückt, von denen die eine in der Oberfläche constant ist. Die verticale Coordinate bezeichnen wir mit z, die horizontale mit y, die Beschleunigung durch die Schwere mit g, das Geschwindigkeitspotential mit, mit die Function, die einer Constanten gleichgesetzt die Strömungslinien angiebt und die wir als Strömungsfunction bezeichnen wollen.

x,

Der Index 1 bezieht sich immer auf die obere, 2 auf die untere Flüssigkeit.

Es werden nun xiy und +ip als eindeutige Functionen von in dargestellt; n = h ist die Gleichung der Oberfläche. Den hydrodynamischen Gleichungen ist hierdurch genügt und es muss noch an der Oberfläche y constant sein und dort, wo die constante horizontale Strömung stattfinden soll, müssen und a constant sein. Die Druckgleichung lautet:

In der Trennungslinie ist = const., nh, also:

Der Zusammenhang zwischen den Variabeln xiy und in wird durch eine dritte Variable + Ti vermittelt, die durch die Gleichung:

en(x+iy) = 0 + ti

definirt ist. Die Beziehung zwischen σ+ti und + ni ist im allgemeinen nicht durch eine ganze rationale Function darstellbar. Um die Druckgleichung zu erfüllen, muss diese Beziehung auch durch eine Reihenentwickelung dargestellt werden. Diese Reihe convergirt immer stärker als die Reihe:

n (x + iy) = log (σ + ti) = log (1 + u) + F (9 + ni)

F(9+ni) + u —‡u2+}u3+

wo F eine lineare Function von + ni ist.

Für die Genauigkeit der Rechnung gibt die Convergenz

der logarithmischen Reihe den Ausschlag.

Im allgemeinen lässt sich nx auf die Form bringen:

nx = const.+ n + A1 e¬"cos & +

(1)

e

27 cos 29+ ..."

2

h hat immer einen positiven Werth. Die B sind daher stets erheblich kleiner als die A. Wird also das Glied mit cos 3 vernachlässigt, so entscheidet die Grösse der Glieder:

cos 3 hi cos hi cos 2hi'

B2 e31) + (A2 e−1 — B1 e1) (А2 e−2 — B2 e2)

3

im Vergleich zur Einheit über die Genauigkeit der Rechnung. Die Constante n bestimmt die Wellenlänge, und zwar ist im allgemeinen n = 27, für die Functionen aber, bei denen die Coefficienten der Reihenentwickelung nur gerade Indices enthalten, ist die Periode л daher n = ñ |λ.

Für den Raum der unteren Flüssigkeit ist n<h, deshalb convergirt die Reihe (2) immer. Für x = -∞o wird:

Im Unendlichen strömt die Flüssigkeit mit der constanten Geschwindigkeit a2.

Wir setzen nun:

Die im Werthe von x vorkommende Constante kann noch

zu Chinzugenommen werden und kommt daher bei der Erfüllung der Druckgleichung nicht in Betracht.

Wenn g positiv gerechnet wird, wirkt die Schwere in der Richtung der negativen a, dann muss bei stabilem Gleichgewicht s2>s1 sein. Wir können aber auch die obere Flüssig

für g

keit als die dichtere annehmen, wenn gleichzeitig - g gesetzt wird. Beziehen wir dann wieder den Index 2 auf die dichtere Flüssigkeit, so haben wir die Indices zu vertauschen und erhalten dann eine Vertauschung von P und D.

Die seitliche Begrenzung des betrachteten Raumes wird durch zwei in der Entfernung einer Wellenlänge senkrecht laufende Linien der zy-Ebene bestimmt. Wegen der Periodicität der Wellenbewegung müssen die Geschwindigkeiten an diesen Linien dieselben Werthe annehmen. Es wird also verlangt, dass:

sind. Diese Gleichungen ersetzen die sonst nöthigen Grenzbedingungen, dass entweder oder dy/dx an diesen Grenzlinien vorgeschriebene Werthe besitzen. Die Gleichungen sind erfüllt, wenn , dy/dn, dx/ön, dy on periodisch nach der Wellenlänge sind. Wenn die Wellenform gegeben ist, so ist die Bewegung hierdurch vollständig bestimmt; wenn aber die horizontalen Strömungen allein vorgeschrieben sind, so können mehrere Wellenformen auftreten, von denen aber eine die grösste Stabilität besitzt. Hierbei muss aber immer die Eindeutigkeit aller Functionen vorausgesetzt werden.

2. Die Energie der Wellen.

Helmholtz hat in seiner Abhandlung über die Energie der Wellen nachgewiesen, dass der Zustand des Gleichgewichtes stationärer Wogen mit der Bedingung verknüpft ist, dass die Gesammtenergie des Systems bei vorgeschriebenen Werthen der Horizontalströmung einen Grenzwerth annimmt. Diese Bedingung, die mit der physikalischen Forderung, dass der Druck auf beiden Seiten der Trennungsfläche gleichen Werth besitzt, identisch ist, ergiebt stabiles Gleichgewicht, wenn die Energie ein absolutes Minimum erreicht.

Die Werthe der lebendigen Kräfte der oberen und unteren Flüssigkeit sind