so entspricht den beiden Blättern der - Ebene ein Blatt der 3-Ebene. Den Kreisen der - Ebene entsprechen wieder Kreise der -Ebene. Durch die Gleichung 3 = ei(+in) wird erreicht, dass der Geraden n const. ein unendlich oft wiederholter

=

Umlauf des Kreises in der -Ebene entspricht.

Die Abbildung gilt aber nicht für das äussere, sondern nur für das innere Gebiet der Kreise und Lemniscaten, die nicht über ein bestimmtes Gebiet hinausgehen. Es entspricht nämlich das Blatt der Z-Ebene und das der 3-Ebene demselben Doppelblatt der w-Ebene mit dem Verzweigungspunkt Aber der zweite Verzweigungspunkt liegt für 3 bei W = a1, für Z bei w = ∞. Also sind die Blätter der w-Ebene

1.

ausserhalb des Kreises w = a1 nicht mehr für z und Z identisch und es kann demnach auch nicht Z auf 3 hierdurch abgebildet werden.

Wir begrenzen somit das abzubildende Gebiet auf das Innere des Kreises der w-Ebene, dessen Radius a2 ist, und wählen für die Abbildung des äusseren Gebietes die Beziehungen

Kreisen der w-Ebene entsprechen Kreise der 3-Ebene. Der innere Verzweigungspunkt liegt für Z bei w = 1, für 3 bei w= 0, also sind die Blätter innen nicht identisch.

Dagegen liegt der äussere Verzweigungspunkt für beide bei w∞. Im Folgenden soll sich immer der Index 2 auf den inneren, 1 auf den äusseren Raum beziehen. Wir haben. dann zu setzen

Z2 = 02+T2 i = ei(d+ni),

a2 - 1

1 - 2 i (10 + ni) = (X + X2 2) /

Hieraus ergiebt sich folgende Gleichung

( X 2 + Y 2)2 = (σ2 + 7})2 + 2 (a* − 1) (σ} − z?) + (a* − 1)2 '

(o1⁄2 −

Ferner

σ1 + T1 i = √ a1 e2i(& + ni) + 1 = √ a* (X + Y1 i)2 + 1

1

gehen beide Gleichungen über in

(σ2 + t2)2 — 2 (σ2 — t2) + 1 — a1 = 0,

die Gleichung der Lemniscate, der Grenzcurve beider Abbildungen. Da X+Xi = ei(+n) ist, so folgt X2+ Y2=e-2n, und für die Grenze e-2h 1/a2, also a = eh.

Wir verschieben nun in der σ7-Ebene das Coordinatensystem in der o-Axe um die Winkel e-1. Wir haben dann

Das innere Gebiet der Lemniscate liegt zwischen den Werthen n oo und n h.

Wir entwickeln nun

=

Für den äusseren Raum haben wir zu setzen

n(x1+y1 i) = log [√eth + 2i2n + 1 − e−1]

= +e¬2ið+2n e- l iv const. +in+log {√1+e-2ið + 2 n − 4 h − e− 1 − ið + n − 2 h}

= const. +in+te-2i0+2 n − 4 h... + e −3iv−1+3n−6h...

· 2 i v + 2 n − 2 h − 4 h

und n = h > 0.

=

const. i.

η.

= const. + log (eið – n)

1

Da für h auch 1 constant wird, sind hiermit alle Grenzbedingungen ausser der Druckgleichung erfüllt. Diese wird in derselben Weise wie vorher mit Vernachlässigung von Grössen von der Ordnung e-3h erfüllt und ergiebt, wenn wir zur Abkürzung e-2h = α, e−21 = ẞ setzen, die beiden Gleichungen

Wenn die Wellenhöhe für verschiedene Wellenformen dieselbe sein soll, so muss

Die benutzten Reihenentwickelungen divergiren für h≤0. Sie werden aber schon für kleine Werthe von h unbrauchbar, weil die vernachlässigten Glieder den ersten an Grösse nahe kommen.

Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. 56.

8

Wird die Einschnürung der Lemniscate so gross, dass der Radiusvector die Curve zweimal schneidet, so schneidet auch an den entsprechenden Stellen der Welle die x-Coordinate die Wellenlinie zweimal. Die Form der Welle ist dann eine überhängende, die nothwendig im labilen Gleichgewicht ist und zum Branden führen muss, während die Wellenhöhe endlich bleibt.

Für negative Werthe von h besteht die Lemniscate aus zwei gesonderten, symmetrisch liegenden und geschlossenen Zweigen. Auch dann kann die Curve noch zur Darstellung von Wellen benutzt werden, wenn als innerer Raum der von einem Zweige umschlossene betrachtet und der äussere mit Hinzunahme des vom zweiten Zweige begrenzten Stückes abgebildet wird. So lange die beiden Zweige getrennt sind, erhält man dann regelmässige Wellen, sobald sie aber in einander übergehen, entstehen Discontinuitäten, die in Wirklichkeit als Brandung auftreten.

5.

Die beiden betrachteten Abbildungen können wir für die Untersuchung der Einflüsse, die die Gestalt der Wellen bestimmen, so verwerthen, dass wir entweder Poder Q in beiden als gleich vorschreiben und ausserdem die Höhe der Wellen festsetzen. Dann erhalten wir oder P in beiden verschieden und wir haben, da die sonstigen Bedingungen dieselben sind, die sich ergebende Verschiedenheit der Wellenform der Verschiedenheit der Werthe des allein oder des allein zuzuschreiben.

Wenn die Wellenlänge gegeben ist, so werden Unterschiede im Werthe des P nur durch die Verschiedenheit der Geschwindigkeit bedingt, mit der die Luft den Wellen vorauseilt, währenddann nur von der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen abhängt.

Einige Wellenformen, die einen solchen Unterschied erkennen lassen, sind in den folgenden Figuren gezeichnet. a α1 und a sind die horizontalen Strömungen, wenn als obere Flüssigkeit Luft, als untere Wasser angenommen wird. Dann ist s1 = 1, §2

= 1, 82 = 773,4, λ = 1 m gesetzt.

1

1

a unda sind dieselben Geschwindigkeiten, wenn die beiden Flüssigkeiten Luft von der Temperatur 10° und 0° sind. Hier ist $2/$1 283/273, λ = 100 m angenommen.

-

2

Zwei Wellen bei gleicher relativer Geschwindigkeit und verschiedener Wellengeschwindigkeit sind in Fig. 1 gezeichnet. Die zugehörenden Werthe sind nebeneinandergestellt.

a1 = 15,39 m/sec a=1,060 m/sec a1 = 15,39 m/sec a=1,060 m/sec a1,194 m/sec a=2,246 m/sec a=1,015 m/sec a 1,909 m/sec

2

Die Curve 3 (Fig. 2) gehört zu zwei verschiedenen Werthsystemen mit gleicher Wellengeschwindigkeit, aber verschiedener relativer Geschwindigkeit. Sie ist mit der Curve 1 (Fig. 1) identisch, passt aber auch zum Werthsystem 3, da die Unterschiede hier zu klein sind, um durch die Zeichnung noch deutlich hervorzutreten. 4 hat die relative Geschwindigkeit Null und grosse Wellengeschwindigkeit; wir haben hier eine verhältnissmässig grosse Verschiedenheit in der Form, wie denn auch diese Welle die grösste Einbuchtung von allen hier betrachteten zeigt. Die Curve 3a zeigt eine zu 3 gehörende Stromlinie der Luft.