(16) und (17) k2 4 = = Π λ Π ille -2h ( (e−24 — qe 24)2 + 1 ( q3 e8h — 3e−8h + 2q2) )· Die potentielle Energie ist Die durch Gleichung (10) definirte Grösse D, der Unterschied zwischen ebener Oberfläche und Wogenbildung, ist, wenn wir noch geth: = & setzen Da weder noch negativ werden dürfen, so kann ɛ nicht in die Nähe des Werthes 1 gelangen, während & glatten Oberfläche entspricht, wobei q = q1 = 92 und 1/b1 42/bg =nx const, werden. Ist & klein, wo wird D negativ, ist & gross gegen 1, so wird der Zähler positiv, der Nenner negativ, sodass sich keine mit (15) verträglichen Werthe von & finden lassen, die D positiv machen. Auch hier fällt der Unterschied zwischen den Energien wogender Flüssigkeiten und ebener Oberfläche in erster Annäherung fort und erst bei Berücksichtigung der zweiten Glieder bekommt D einen von Null verschiedenen Werth. 7. Gleichgewicht der Wellen. Aus den gewonnenen Werthen für die Energie der Wellen können wir ersehen, dass der Energievorrath ganz niedriger Wellen gleich dem bei ebener Grenzfläche ist, wenn man nur die erste Annäherung berücksichtigt, dass aber die weiteren Glieder zeigen, dass der Energievorrath der Wellen einen etwas grösseren Werth besitzt. Hieraus ist zu schliessen, dass die ebene Grenze der. Zustand stabilen Gleichgewichtes ist, wenn beide Flüssigkeiten strömen, gegenüber ruhenden Wellen. Dies Verhältniss kann sich aber umkehren, wenn wir fortschreitende Wellen betrachten. Nehmen wir an, das Tiefwasser sei in Ruhe. Dann haben wir in den Gleichungen (4) a=0 zu setzen. Es sei nun D der Unterschied der Energie bei ebener Grenzfläche von dem bei ruhenden Wellen, D' der Unterschied bei ruhendem Tiefwasser, so erhalten wir aus (4), indem wir einmal a О, аз 0 setzen: (19) = dann a27 аз = D war nun in den von uns betrachteten Fällen eine negative Grösse, die von den Gliedern zweiter Ordnung gebildet wurde. Wenn wir nun die Wellenhöhe sehr klein annehmen, so können wir die Grösse D ebenfalls beliebig klein gegenüber den Gliedern erster Ordnung machen. Die in r und r2 enthaltenen Glieder erster Ordnung können dann bewirken, dass D' einen positiven Werth erhält. Wie unsere Rechnungen zeigten ist für ganz niedrige Wellen, bei Vernachlässigung von Grössen zweiter Ordnung r1 = r2 und die Gleichungen (7), (11), (15) ergeben alle die eine Gleichung: gλ(89-81) (20) s1 a22 + s2 a2 1 1 2 2 π D' kann einen negativen Werth erhalten, wenn a, gross gegen Und zwar muss mindestens: ag wird. Mindestens in dieser Stärke muss der Wind über eine ebene Wasserfläche hinfahren, wenn er augenblicklich Wellen von annähernd 1m Länge erregen soll. Für schwächeren Wind nimmt die Länge der Wellen, die er erregen kann, sehr schnell ab, weil die Quadrate der Geschwindigkeiten maassgebend sind. Ein Wind von der Stärke 3,475 m/sec würde nur Wellen von nahe 1 cm erregen können. Diese den Zustand des stabilsten Gleichgewichtes bildenden Wellen sind indessen von sehr geringer Höhe. Das folgende Beispiel zeigt, wie bei einer Wellenhöhe von ungefähr (2/7) 0,07 bereits wieder grösserer Energievorrath der fortschreitenden Wellen eintritt, weil die Glieder zweiter Ordnung den Werth der Energie erhöhen. Es ist nach den Formeln des § 6: D = 0,08694 m3/sec2 D'- D = 0,0001 337 m3/sec2. D' hat bereits wieder erheblichen negativen Werth. Also nur Wellen von ganz geringer Höhe kann ein vollkommen gleichmässiger Wind erregen, die dann, einmal in Bewegung, durch Interferenz mit anderen Systemen Wellen von grösserer Höhe und Fortpflanzungsgeschwindigkeit bilden können, wie dies von Helmholtz ausführlich auseinandergesetzt ist. 8. Wellen unter Wind auf flachem Wasser. Wenn wir in der Abbildung des § 6 für +iq, setzen: so ist für h, y1 = 0. Nach (12) wird für In dieser Entfernung L von der Niveauebene strömt die obere Flüssigkeit horizontal. Ihre Geschwindigkeit ist aber nb1 = a, ist die mittlere Geschwindigkeit der horizontalen Strömung. (In meiner letzten Arbeit ist ein anderer Werth dieser Geschwindigkeit mit a, bezeichnet.) Wenn wir die Ausdrücke für L, bilden und integriren über eine ganze Wellenlänge, so fallen die periodischen Glieder fort und wir erhalten dasselbe Ergebniss wie oben. Aus der Druckgleichung ergeben sich die Gleichungen, wenn die Näherung ebenso weit getrieben wird wie früher Unter Benutzung der Entwickelungen des § 6 folgt ferner: со Die potentielle Energie und log c, haben dieselben Werthe wie oben. Deshalb ergiebt sich (24) D= -8h e 23 g (S2 — 81) - 21 28ε + 58 ɛ2 + 16 ɛ3 + 12 ɛ5 – 37 εa 16 πε 1 + & Für kleine Werthe von & ist D negativ; & darf nicht grösser als 1 werden, weil sonst die horizontale Strömungslinie die Wellenlinie schneidet. Für Werthe von ɛ, die näher an der Einheit liegen, ist D auch negativ, wie man sieht, wenn man 1- & setzt und noch die quadratischen Glieder berücksichtigt. Es folgt Man überzeugt sich so, dass D stets negativ bleibt. ε Negative Werthe von & sind ebenfalls ausgeschlossen. Labile Zustände der Strömungen bei ebener Grenzfläche gegenüber der Wogenbildung können auch hier erst bei Berücksichtigung fortschreitender Wellen entsprechend Gleichung (19) eintreten. Da wir die Höhe der Wellen beliebig klein annehmen können, so brauchen wir auch hier nur die erste Näherung zu berücksichtigen. Wir erhalten dann den Minimalwerth von a,, der Wellen vorgeschriebener Länge erzeugen kann aus der Wie wir oben gesehen haben, können wir die obere und die untere Flüssigkeit vertauschen, wenn wir P und vertauschen. Wir haben dann die Grösse auf das Wasser, auf die Luft zu beziehen. In unserem Falle erhalten wir dann eine Wassermasse, die in endlicher Entfernung von den Wellen durch festen Boden horizontal begrenzt wird, während die Luftmasse sich ins Unendliche ausdehnt. Dann ist a, die |