Im Uebrigen verweise ich auf die im früheren Nachtrag gemachten Bemerkungen. 5. b) Die Theorie der Totalreflexion. Vorläufiges zur Orientirung. Neben der Totalreflexion der isotropen Medien, welche ich in meinem Buche einmal als selbständige Erscheinung p. 167-183 und sodann als einen der Metallreflexion untergeordneten Grenzfall p. 232-240 ziemlich erschöpfend behandelt habe, findet man daselbst neun Seiten (p. 364-373), welche sich mit der Totalreflexion an Krystallen beschäftigen, Diesen letzteren Entwickelungen sind dann später noch zwei weitere Abhandlungen gefolgt. 1) Ich habe in denselben das Gesetz des Grenzwinkels und der Neigung der Grenzlinie (bei deren Beobachtung im Kohlrausch'schen Totalreflectometer) zum ersten Mal entwickelt und auch die Polarisations- und Intensitätsverhältnisse des gespiegelten und streifend gebrochenen Lichtes in den Kreis der Betrachtung hineingezogen. Letztere insbesondere konnten unter Anlehnung an den Begriff der Strahlwelle für das ganze Intervall zwischen der Incidenz des Grenzwinkels und der streifenden Incidenz verfolgt werden. Da bisher der Normalbegriff, welcher allerdings hier mehr als anderswo entbehrlich ist, noch nicht allseitig in die Untersuchung aufgenommen werden konnte, so soll jetzt dieses Versäumniss nachgeholt werden. Auch sollen die früher ad hoc gebrauchten speciellen Formeln durch die allgemeinen Gleichungen (IV) ersetzt werden. Ich beschränke mich indess der Einfachheit wegen wieder auf einaxige Krystalle. Nach den von mir festgestellten Gesetzen ist eine Totalreflexion als abstracter Grenzfall nur möglich in ideell durchsichtigen Medien, d. h. in Medien, für welche die Reibungsconstante mindestens unendlich klein ist, und zwar muss der in das Innere des Krystalles gebrochene Strahl der Trennungsfläche beider aneinander grenzender Medien parallel sein. Der Brechungswinkel der zugehörigen Normalen ist dagegen gleichgültig. So haben wir die Bedingungen: (15) q = 0, cos r ̧ = cos r 0. 1) Ketteler, Wied. Ann. 28. p. 230 u. 520. 1886. Nun gelten in durchsichtigen wie absorbirenden Krystallen die mittels passender Figur1) leicht ableitbaren allgemeinen Beziehungen: und aus letzterer wird mittels Eliminirung von cos r.: In diesen Gleichungen bedeutet den Winkel zwischen Strahl und Normale, den Flächenwinkel zwischen Hauptschnitt (Ebene von Strahl und Normale) und Brechungsebene der Normalen (Ebene von Normale und Loth oder Einfallsebene), endlich den Flächenwinkel zwischen Brechungsebene der Normalen und Brechungsebene des Strahles (Ebene von Strahl und Loth). Fortan sollen die beiden Einfallswinkel i, und i, von welchen der erstere in der Ebene von Loth und Strahl, der letztere in der Ebene von Loth und Normale liegt, durch besondere Bezeichnung unterschieden werden. Zu dem Ende möge gesetzt werden: Der Zusammenhang von i und e ergiebt sich unter Beachtung der Beziehung: durch Multiplication der ersten der Gleichungen (16), bez. der Gleichung (16b) mit v. v, bez. v.. Dieselben gehen dadurch und mag es dahingestellt bleiben, ob letztere Beziehungen etwa für absorbirende Medien einer allgemeinen Verwendung fähig sind. 1) Vgl. z. B. die Figur im letztcitirten Aufsatz. In alle diese Gleichungen führen wir jetzt, dem speciellen Vorgang bei der Totalreflexion entsprechend, die Bedingung ein: (15b) vs COS rs v ̧(u ̧u' + w ̧w') = 0, μs = = sofern nämlich die X- und Z-Axe des Coordinatensystems in die Ebene des benutzten Hauptschnittes hineinfallen möge, wodurch dann v = = 0 wird. Aus den Gleichungen (16) erhält man sodann die einfache Verknüpfung von und : (23) nå sin i sin e cos y = v2 = v2 cos2 9. Endlich liefert die erste der Gleichungen (16): und daraus folgt in Rücksicht auf die zweite der Gleichungen (17) für den Grenzwinkel e das Gesetz: oder kürzer wegen der dritten der Gleichungen (17): Dem so besprochenen allgemeinen Falle 2) subsumiren sich die beiden folgenden Einzelfälle. (1.) Der Hauptschnitt (Ebene von Strahl und Normale) fällt mit der Einfallsebene zusammen und steht senkrecht auf der Trennungsfläche. Dann wird: 2) Die Abhängigkeit des Grenzwinkels von der Orientirung der optischen Axe eines einaxigen Krystalles zur Einfallsebene wird dargestellt durch die Gleichung: Darin bedeutet u den Winkel zwischen Axe und Loth, und z' den Flächenwinkel zwischen der Ebene von Axe und Loth und der Einfallsebene. Vgl. Ketteler, Wied. Ann. 28. p. 523. 1886. (2.) Der Hauptschnitt stehe senkrecht auf der Einfallsebene und falle zusammen mit der Trennungsebene. Dann ist: 6. Anwendung der Hauptgleichungen. Nach dieser vorgängigen Skizzirung der obwaltenden Verhältnisse sollen jetzt die allgemeinen Gleichungen (III) und (IV), auf sie angewandt werden. Besprechen wir indess zuvor die Lösung, wie sie durch die Coexistenz der vier Gleichungen (1) in der Form: (25) [ v? — x2 - 1 = pD,, v2 — x2 — 1 = pD„ vorgezeichnet ist. Subtrahirt man die beiden oberen, so entsteht in Berücksichtigung von Gleichung (18) die Bedingung: Bezüglich der beiden unteren bleibt die doppelte Möglichkeit, dass entweder q> 0 oder q = 0 ist. Für 90 lassen sich beide zusammenfassen in: 1) Auch für die besprochenen beiden Specialfälle ist eine Zeichnung, welche die bezügliche Huygens'sche Construction zur Anschauung bringt, nützlich und übersichtlich. Wenn z. B. im ersten Specialfall bei gegebener Lage der Huygens'schen Ellipse für einen Grenzwinkel + e' der Normalwinkel rn < 90° wird, erhält man für einen Grenzwinkel einen Normalwinkel rn > 90o. - é' = n Für 90 dagegen hat man die doppelte Lösung: es ist entweder erstens x = 0, oder es ist zweitens cos r ̧ COS 2 srs = sr 0. Diese letztere Doppellösung haben wir jetzt näher in's Auge zu fassen. Wir wollen uns indess bei dieser Untersuchung nicht bloss auf die Incidenz des Grenzwinkels beschränken, sondern den Einfallswinkel e continuirlich von 0° bis 90° ansteigen lassen. Es sind dann das Intervall von der senkrechten Incidenz bis zum Grenzwinkel und das Intervall vom Grenzwinkel bis zur streifenden Incidenz gesondert zu behandeln. 7. Allgemeiner Fall. Schliessen wir in den allgemeinen Fall den ersten Specialfall ein und verweilen zunächst bei den Normalwellen. = a) Für das Intervall zwischen senkrechter Incidenz und der Incidenz des Grenzwinkels hat cos r in Gleichung III einen endlichen Werth, während 9 0 ist. Beide Seiten lassen sich daher ohne Weiteres radiciren und durch (1 + pD„) dividiren. Es erhalten folglich D und v-1 = p D1 wegen n2 = n2 die für ein gegebenes u, v, w constanten Werthe: Für dieses Intervall haben die Schwingungscomponenten (unter Beschränkung auf die Aethertheilchen) die Form: sofern sie auf ein durch Trennungsfläche und Loth gelegtes Coordinatensystem bezogen werden, dessen Z-Axe mit dem Loth zusammenfällt, und dessen X-Axe in der Einfallsebene liegt. Den zugehörigen Werth des Grenzwinkels e' liefert Gleichung (24); für ihn tritt der ,,Strahl" in die Trennungsfläche ein. b) Für das Intervall zwischen der Incidenz des Grenzwinkels und der streifenden Incidenz ist eine weitere Drehung Ann. d. Phys. u. Chem. N. F. 56. 5 |