der gebrochenen Wellebene nicht möglich, da ihr der Strahl nicht zu folgen vermag, wohl aber ist eine Aenderung der Geschwindigkeit möglich. Für den Grenzwinkel selbst lässt sich in Berücksichtigung von Gleichung (23) schreiben: und diese Ausdrücke werden ihre Gültigkeit bewahren, wenn e von e bis 90° wächst. Da in denselben nur reelle Grössen vorkommen, so fehlt jede Ursache zu etwaiger Extinction. Wenden wir uns nunmehr zu den Strahlwellen, so tritt zwar a) für das Intervall zwischen senkrechter Incidenz und Grenzwinkel, diesen eingeschlossen, der Quotient q/cos r, in Gleichung III in unbestimmter Form auf, indess nur scheinbar, sofern sich aus der dritten der Gleichungen (25) wegen x = 0 der bestimmte Werth q/cosrs O ergiebt. Demgemäss erhält man (v? - 1 = p.D.): (29) = Für dieses Intervall haben die Schwingungscomponenten der (Aethertheilchen der) Strahlwellen, wofern sie zunächst auf ein Coordinatensystem bezogen werden, dessen Z-Axe mit dem Loth, und dessen X-Axe mit der Strahlrichtung zusammenfällt, die Form: Den Werth des Grenzwinkels, für welchen der Strahl seinen grösstmöglichen Brechungswinkel 90° erreicht, liefert die dritte der Gleichungen (17), nämlich: v, cos r = √v2 - n2 sin2 i = 0. b) Für das Intervall zwischen Grenzwinkel und streifender Incidenz ist wieder nur mehr eine Aenderung der Geschwindigkeit möglich. Und so werden denn die für den Grenzwinkel geltenden Schwingungsausdrücke ihre Gültigkeit bewahren, wenn i von bis 90° anwächst. Es muss also vorstehende Gleichung für das ganze Intervall erfüllt bleiben, d. h. das bis dahin feste Brechungsverhältniss v, wird nunmehr vom Einfallswinkel abhängig, entsprechend dem Gesetze: Von besonderem Interesse ist nun für dieses zweite Intervall der Zusammenhang zwischen den einander entsprechenden Einfallswinkeln und e. Denselben liefert die Combinirung der Gleichungen (22) und (31); man findet so: Und wenn jetzt die Strahlwellen auf dasselbe Coordinatensystem bezogen werden wie oben die Normalwellen, so bekommen dieselben wegen x = x' cosy die definitive Form: (30b) = t T = A2 cos 27 (+ x no sin e Diese Ausdrücke repräsentiren einen Schwingungszustand parallel einer auf Einfallsebene und Trennungsfläche senkrechten Ebene, welcher mit der Geschwindigkeit ∞, für welche 1/wn, sin e, in der Richtung der X-Axe fortwandert. Ein zweites System von Ebenen, die auf Normale und Trennungsfläche senkrecht stehen, gibt der oben behandelte Ausdruck (28b) für §n. Da sich nun beide Schaaren von Ebenen (längs der Trennungsfläche) in lauter Geraden schneiden, so reduciren sich also hier die sonst zweidimensionalen gebrochenen Wellebenen auf diese Schnittlinien selber. = (1/v) cos 9. Im Uebrigen stehen Strahl- und Normalgeschwindigkeit in dem festen Verhältnisse 1/ vn Sofern nun die entsprechenden Brechungsindices mit zunehmender Incidenz in gleichem Verhältnisse wachsen, so wird die Huygens'sche Construction auch innerhalb des ganzen zweiten Intervalles für jeden Einfallswinkel e bestehen bleiben, aber vom Grenzwinkel ab schrumpft das bis dahin constante Huygens'sche Ellipsoid, sich selber parallel bleibend, soweit zusammen, bis schliesslich für e = 90° der Radius vector ∞, den Extremwerth erhält; 1/∞, n, cosy. = no Setzt man schliesslich in allen bisherigen Formeln y = 0, so geht man damit zu demjenigen Specialfall über, für welchen der Hauptschnitt des Krystalles mit der Einfallsebene zusammenfällt. 8. Zweiter Specialfall. Da für denselben nach obiger Characterisirung neben q = 0 gleichzeitig: ist, so wird die Gleichung (III) für gewisse Einfallswinkel un anwendbar, und tritt hier vielmehr die zweite der im § 6 angedeuteten Lösungen ein, welche, wie sich zeigen wird, mit einem endlich grossen Extinctionsindex x verknüpft ist. Wir werden daher zur Untersuchung dieses Falles die Hauptgleichung (IV) heranziehen, und zwar unterscheiden wir bezüglich. derselben wieder ein doppeltes Intervall. Für das Intervall zwischen senkrechter Incidenz und der Incidenz des Grenzwinkels ist das Vorzeichen des Wurzelausdrucks positiv zu nehmen. Der erste Factor reducirt sich daher wegen q 0 auf (1 + pD), und so erhält man sowohl für Normal- wie für Strahlwellen die früheren constanten Werthe D und D ̧ der Gleichungen (27) und (29) als auch hier gültig zurück. Für das Intervall zwischen der Incidenz des Grenzwinkels und der streifenden Incidenz ist das Vorzeichen der Wurzel negativ zu nehmen. Die Gleichung geht dadurch über in: [2 n sini (1 + pD)] [(a + a') — (ẞ + ß') D] · Man ersieht daraus, dass die einer gegebenen Fortpflanzungsrichtung entsprechende Grösse D für dieses Intervall vom Einfallswinkel abhängig wird. Identificirt man letztere Gleichung mit Gleichung (11), so ergiebt sich die weitere Folgerung: (34) v2 = n2 ganz in Uebereinstimmung mit den Ausdrücken (10), aus denen man sie unmittelbar hätte ableiten können. Es variiren also für dieses Intervall Refractions- und Extinctionscoefficient gleichfalls mit dem Incidenzwinkel.1) 1) Es mag nützlich sein, anmerkungsweise anzuführen, dass der Gleichung (33) ausser der gleich zu besprechenden allgemeinen Lösung noch die beiden folgenden particulären Lösungen entsprechen. Entweder: 0 und: n sin2 i − (1 + pD). oder: α = a' - ' D = 0 und: n sin2 i = 0 . 0 Bis jetzt ist indess auf die der Strahl- bez. Normalrichtung zukommenden Einzelwerthe von a, d'; ß, ß'; i noch keine Rücksicht genommen. Bei der Einführung derselben gemäss Ausdrücken (12) und (13) beachte man, dass wegen des rechten Winkels zwischen Propagation und Extinction (Gleichung 15b auf p. 63) geschrieben werden kann: Beginnen wir diesmal mit den Strahlwellen, die ich schon früher 1. c. behandelt habe. Für diese soll indess Gleichung (33) nicht in Beziehung auf D,, sondern auf x=1+pD, aufgelöst werden. Man multiplicire dieselbe zu dem Ende mit p und setze abkürzungsweise: (36) 2 pD1 = n2 – 1, p D2 = n2 – 1, pc = N2 – 1, Alsdann erhält sie die Gestalt: x2 — (N'2 + 2n2 sin2 i) x + (n2 + n2) n2 sin2 i = 0. So kommt schliesslich: (37) 1 + pD ̧ = { (N'2 + 2n2 sin2 ¿) + √4(N2 + 2n2 sin2 i)2 — (n2 + n2) n2 sin2 i, und darin ist der Wurzelausdruck positiv. Nunmehr ergiebt die zweite der Gleichungen (34) den zugehörigen Werth des Extinctions coefficienten x,, und so repräsentiren denn die beiden folgenden Gleichungen: (38) v2 = n2 sin2 i, 2 = 4 + √1⁄2 (N'2 + 2n2 sin2 ¿)2 — (n2 + n2) n2 sin2 ¿ — — N'2 die auf die Strahlwellen bezügliche vollständige Lösung des Problems; sie liefern den Refractions- und Extinctions coefficienten für das ganze zweite Intervall. Um den Grenzwinkel selbst aus vorstehenden Ausdrücken zu berechnen, dazu genügt es, xs O zu setzen. Man erhält dann die Bedingungsgleichung: = i und e durch die frühere Beziehung (32) aus; nur ist darin wegen 90° der Flächenwinkel y hat man diesmal: (40) = 9 zu setzen. Sonach welcher Werth sich hier nicht bloss auf dem früheren Wege der Combination der Gleichungen (22) und (31), sondern auch mittels directer Benutzung der Gleichung (20) ergiebt. Die Gleichungen (34), (37), (38), (40) findet man bereits in meinem Buche entwickelt. Was nun andererseits die Normalwellen betrifft, so führe man die Bestimmungsstücke derselben nach Ausdrücken (13) in Gleichung (33) ein und setze dabei zur Abkürzung: Dann erhält letztere die in Beziehung auf x = 1 + pD2 auf xn Setzt man diesen Werth in die zweite der Gleichungen (34) ein, so liefert dieselbe den zu v2 gehörigen Extinctionsindex Für x=0 ergiebt sich als Bedingung des Grenzwinkels: (43) n n na sin2 é n} n Vergleicht man schliesslich für dieses zweite Intervall die zusammengehörigen Werthe von v, und n' so fand sich: welch letzteres Verhältniss ja in der That bestehen muss. |