allen Fällen der Bewegung freier materieller Punkte unter dem Einfluss ihrer anziehenden und abstossenden Kräfte, deren Intensitäten nur von der Entfernung abhängig sind, ist der Verlust an Quantität der Spannkraft stets gleich dem Gewinn an lebendiger Kraft, und der Gewinn der ersteren dem Verlust der letzteren. Es ist also stets die Summe der vorhandenen lebendigen und Spannkräfte constant. In dieser allgemeinsten Form können wir unser Gesetz als das Princip von der Erhaltung der Kraft bezeichnen.

In der gegebenen Ableitung des Gesetzes ändert sich nichts, wenn ein Theil der Punkte, welche wir mit dem durchlaufenden Buchstaben d bezeichnen wollen, fest gedacht wird, so dass 0; es ist dann die Form des Gesetzes:

constant =

[ab drab] + [pad drav] = —
= − = [{ myd (q})].

(5)

Es bleibt noch übrig zu bemerken, in welchem Verhältniss das Princip von der Erhaltung der Kraft zu dem allgemeinsten Gesetze der Statik, dem sogenannten Princip der virtuellen Geschwindigkeiten steht. Dieses folgt nämlich unmittelbar aus unseren Gleichungen 3 und 5. Soll Gleichgewicht stattfinden bei einer bestimmten Lagerung der Punkte ma, d. h. soll für den Fall, dass diese Punkte ruhen, also 18 = 0, dieser Zustand der Ruhe auch bestehen bleiben, also alle dqa = 0, so folgt aus der Gleichung 3:

oder wenn auch Kräfte von Punkten my ausserhalb des Systems einwirken, aus Gleichung 5:

[ab drab]+[as drab] = 0.

(7)

In diesen Gleichungen sind unter dr Aenderungen der Entfernung zu verstehen, welche bei beliebigen, durch die anderweitigen Bedingungen des Systems zugelassenen, kleinen Verschiebungen der Punkte ma eintreten. Wir haben in den früheren Deduktionen gesehen, dass eine Vermehrung der lebendigen Kraft, also auch ein Uebergang aus Ruhe in Bewegung, nur durch einen Verbrauch von Spannkraft erzeugt werden kann; die letzten Gleichungen sagen dem entsprechend aus, dass unter solchen Bedingungen, wo durch keine einzige

der möglichen Bewegungsrichtungen in dem ersten Augenblicke Spannkraft verbraucht wird, das System, wenn es einmal in Ruhe ist, auch in Ruhe bleiben muss.

Dass aus den hingestellten Gleichungen sämmtliche Gesetze der Statik hergeleitet werden können, ist bekannt. Die für die Natur der wirkenden Kräfte wichtigste Folgerung ist diese: Denken wir uns statt der beliebigen kleinen Verschiebungen der Punkte m solche gesetzt, wie sie stattfinden könnten, wenn das System in sich fest verbunden wäre, so dass in Gleichung 7 alle drab = 0, so folgt einzeln:

Dann müssen also sowohl die äusseren, wie die inneren Kräfte für sich der Gleichgewichtsbedingung genügen. Wird demnach 19 ein beliebiges System von Naturkörpern durch äussere Kräfte in eine bestimmte Gleichgewichtslage gebracht, so wird das Gleichgewicht nicht aufgehoben, 1) wenn wir die einzelnen Punkte des Systems in ihrer jetzigen Lage unter sich fest verbunden denken, und 2) wenn wir dann die Kräfte wegnehmen, welche dieselben gegen einander ausüben. Daraus folgt nun aber weiter: Werden die Kräfte, welche zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, durch zwei an dieselben angebrachte äussere Kräfte in Gleichgewicht gesetzt, so müssen sich diese auch das Gleichgewicht halten, wenn

Kräfte der Punkte gegeneinander eine feste Verbindung derselben substituirt wird. Kräfte, welche zwei Punkte einer festen geraden Linie angreifen, halten sich aber nur im Gleichgewicht, wenn sie in dieser Linie selbst liegen, gleich und entgegengesetzt gerichtet sind. Es folgt also auch für die Kräfte der Punkte selbst, welche den äusseren gleich und entgegengesetzt sind, dass dieselben in der Richtung der verbindenden Linie liegen, also anziehende oder abstossende sein. müssen.

Wir können die aufgestellten Sätze folgendermaassen zusammenfassen:

1) So oft Naturkörper vermöge anziehender oder abstossender Kräfte, welche von der Zeit und Geschwindigkeit

unabhängig sind, auf einander einwirken, muss die Summe. ihrer lebendigen und Spannkräfte eine constante sein; das Maximum der zu gewinnenden Arbeitsgrösse also ein bestimmtes, endliches.

2) Kommen dagegen in den Naturkörpern auch Kräfte vor, welche von der Zeit und Geschwindigkeit abhängen, oder nach anderen Richtungen wirken als der Verbindungslinie je zweier wirksamer materieller Punkte, also z. B. rotirende, so würden Zusammenstellungen solcher Körper möglich sein, in 20 denen entweder in das Unendliche Kraft verloren geht, oder gewonnen wird.')

3) Beim Gleichgewicht eines Körpersystems unter der Wirkung von Centralkräften müssen sich die inneren und die äusseren Kräfte für sich im Gleichgewicht halten, sobald wir die Körper des Systems unter sich unverrückbar verbunden denken, und nur das ganze System gegen ausser ihm liegende Körper beweglich. Ein festes System solcher Körper wird deshalb nie durch die Wirkung seiner inneren Kräfte in Bewegung gesetzt werden können, sondern nur durch Einwirkung äusserer Kräfte. Gäbe es dagegen andere als Centralkräfte, so würden sich feste Verbindungen von Naturkörpern herstellen lassen, welche sich von selbst bewegten, ohne einer Beziehung zu anderen Körpern zu bedürfen.

III. Die Anwendung des Princips in den mechanischen Theoremen.

Wir gehen jetzt zu den speciellen Anwendungen des Gesetzes von der Constanz der Kraft über. Zuerst haben wir diejenigen Fälle kurz zu erwähnen, in denen das Princip von der Erhaltung der lebendigen Kraft bisher schon benutzt und

anerkannt ist.

1) Alle Bewegungen, welche unter dem Einflusse der allgemeinen Gravitationskraft vor sich gehen, also die der himmlischen und der schweren irdischen Körper. Bei jenen spricht sich das Gesetz aus in der Zunahme ihrer

1) S. Zusatz 4.

Geschwindigkeit, sobald sie sich in ihrer Bahn dem Central21 körper nähern, in der Unveränderlichkeit ihrer grossen Bahnaxen, ihrer Umlaufs- und Rotationszeit; bei diesen in dem bekannten Gesetze, dass die Endgeschwindigkeit des Falles nur von der Fallhöhe, nicht von der Richtung und Form der durchlaufenen Bahn abhängt, und das diese Geschwindigkeit, wenn sie nicht durch Reibung oder unelastischen Stoss vernichtet wird, gerade hinreicht, die gefallenen Körper wieder zu derselben Höhe emporzutreiben, aus der sie herabgefallen sind. Dass die Fallhöhe eines bestimmten Gewichtes als Maass der Arbeitsgrössen unserer Maschinen benutzt wird, ist schon erwähnt worden.

2) Die Uebertragung der Bewegungen durch die incompressibeln festen und flüssigen Körper, sobald nicht Reibung oder Stoss unelastischer Stoffe stattfindet. Unser allgemeines Princip wird für diese Fälle gewöhnlich als die Regel ausgesprochen, dass eine durch mechanische Potenzen fortgepflanzte und abgeänderte Bewegung stets in demselben Verhältniss an Kraftintensität abnimmt, als sie an Geschwindigkeit zunimmt. Denken wir uns also durch eine Maschine, in welcher durch irgend einen Vorgang gleichmässig Arbeitskraft erzeugt wird, das Gewicht m mit der Geschwindigkeit c gehoben, so wird durch eine andere mechanische Einrichtung das Gewicht nm gehoben werden können, aber nur mit der Geschwindigkeit c/n, so dass in beiden Fällen die Quantität der von der Maschine in der Zeiteinheit erzeugten Spannkraft durch mgc darzustellen ist, wo g die Intensität der Schwerkraft darstellt.

3) Die Bewegungen vollkommen elastischer fester und flüssiger Körper. Als Bedingung der voll22 kommenen Elasticität müssen wir nur der gewöhnlich hingestellten, dass der in seiner Form oder seinem Volumen veränderte Körper dieselben vollständig wiedererlange, auch noch hinzufügen, dass in seinem Innern keine Reibung der Theilchen stattfinde. Bei den Gesetzen dieser Bewegungen ist unser Princip am frühesten erkannt, und am häufigsten benutzt worden. Als die gewöhnlichsten Fälle der Anwendung bei den festen Körpern sind zu erwähnen der elastische Stoss, dessen

Gesetze sich leicht aus unserem Princip und dem von der Erhaltung des Schwerpunktes herleiten lassen, und die mannigfaltigen elastischen Vibrationen, welche fortdauern auch ohne neuen Anstoss, bis sie durch die Reibung im Innern und die Abgabe der Bewegung an äussere Medien vernichtet sind. Bei den flüssigen Körpern, sowohl tropfbaren (offenbar auch elastisch, nur mit sehr hohem Elasticitätsmodulus und mit einer Gleichgewichtslage der Theilchen versehen) als auch gasigen (mit niedrigem Elasticitätsmodulus und ohne Gleichgewichtslage) setzen sich im Allgemeinen alle Bewegungen bei ihrer Ausbreitung in Wellenform um. Dazu gehören die Wellen der Oberfläche tropfbarer Flüssigkeiten, die Bewegung des Schalls, und wahrscheinlich die des Lichts und der strahlenden Wärme.

Die lebendige Kraft eines einzelnen Theilchens 4m in einem von einem Wellenzuge durchzogenen Medium ist offenbar zu bestimmen durch die Geschwindigkeit, welche dasselbe in der Gleichgewichtslage hat. Die allgemeine Wellengleichung bestimmt die Geschwindigkeit u bekanntlich, wenn a2 die Intensität, die Wellenlänge, a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, die Abscisse und t die Zeit ist, folgendermaassen:

Für die Gleichgewichtslage ist ua, folglich die lebendige 23 Kraft des Theilchens 4m während der Wellenbewegung § ▲ma2, proportional der Intensität. Breiten sich Wellen von einem Centrum kugelförmig aus, so setzen sie immer grössere Massen in Bewegung, folglich muss die Intensität abnehmen, wenn die lebendige Kraft dieselbe bleiben soll, Da nun die von der Welle umfassten Massen zunehmen wie die Quadrate der Entfernung, so folgt das bekannte Gesetz, dass die Intensitäten im umgekehrten Verhältnisse abnehmen 1).

1) Hier wäre zu erwähnen, dass bei fortschreitenden ebenen Wellen die Quantität der Spannkraft des comprimirten oder verschobenen elastischen Medium einen zweiten, eben so grossen Theil der Energie bildet, wie die lebendige Kraft (1881).