G (4n+1) = F(4n+1), G(4n+2) = F (4n+2) 3 G (8n+3) = 4F (8n+3), G (8n+7) = 2 F (8n+7) Alsdann ergeben die a. a. O. mit II, III, V, VI bezeichneten Formeln den Werth der Summe ± ± erstreckt über alle Zahlen h = 0, 1, 2, ..., deren Quadrat kleiner als die positive Zahl n ist, gleich ↓ 3† (n−1) {† (n) + 8 ¥ (n)} oder (1+)Þ(n), je nachdem ʼn ungrade oder das Doppelte einer ungraden Zahl ist. Aber der Werth der Summe 0, ±1, ±2,..., deren Quadrat kleiner als n ist, geht aus den a. a. O. aufgestellten Formeln nur für den Fall hervor, wo n = 3 mod. 4 ist, und zwar ist dieser Werth dann, wie sich durch Combination der Formeln IV, V, und VI ergiebt, gleich ↓ ( − 1 ) + (n − 3 ) {§ (n) — ¥ (n)} · Es ist mir nun gelungen, die Lücke, welche sich hier zeigt, auszufüllen, und den Werth jener Summe auch für die Fälle n = 1 und n 2 mod 4 zu ermitteln. Bezeichnet man mit m eine positive ungrade Zahl, so hat man gemäss den Formeln II und III meines oben citirten Aufsatzes = 0,± 1, 2, aus wo die Summationen über alle Zahlen h zudehnen sind, wofür die Argumente der Function F positiv sind. Multiplicirt man diese Gleichungen mit qm und summirt alsdann über alle positiven ungraden Zahlen m, so erhält man vermöge der Formel 39. pag. 106 von Jacobi's Fundamenta nova theoriae Functionum Ellipticarum: und hieraus, wie ich bereits im Monatsberichte vom Mai 1862 pag. 309 angegeben habe, alsdann die Formeln 6, 7, 8, 9 pag. 184 von Jacobi's Fundamenta und aus der Vergleichung der Coefficienten der einzelnen Potenzen von q folgt für jede positive ganze Zahl n, welche 1 oder 2 mod 4 ist, die Relation: 0, ± 1, 2, zu ... Die Summe links ist hier auf alle Zahlen h = erstrecken, für welche h2 <n ist, rechts dagegen nur auf alle diejenigen positiven oder negativen Zahlen m, welche durch 4 dividirt den Rest 1 lassen, und wofür n = mist; dabei ist die = Zahl m sovielmal zu nehmen, als es zugehörige Werthe von l giebt, d. h. also nur einmal, wenn 10 ist, aber zweimal, sobald von Null verschieden ist. Bezeichnet man die zahlentheoretische Function von n, welche auf der rechten Seite der Gleichung (A) steht, mit (n), so findet sich der Werth der Summe 2(n) oder (—1)+(n−3) (Þ(n) — ¥ (n)) ausgedrückt, je nachdem n durch 4 dividirt die Reste 1, 2 oder den Rest 3 lässt, und es ist auch überhaupt, wenn w irgend eine achte Wurzel der Einheit bedeutet, die Summe Σ w12 F (n − h2) (h = 0, ±1, ±2, ...; h2 <n) h durch die arithmetischen Functionen (n), (n), ¥ (n) darstellbar. Der zahlentheoretische Character der Function (n) unter scheidet sich zwar wesentlich von dem der Functionen (n), Y(n), aber es ist doch auch eine gewisse Analogie zwischen diesen beiden Arten von Functionen zu bemerken. Da nämlich ist, so kommt, wenn man die erste Gleichung mit ΣN(4n+1)q′′+ni+n} = ΣN (4n+2) q′′+n} (n, n, = 0, 1, 2, ...), und beide Doppelsummen sind mit Hilfe der Formel (13) p. 104 der Fundamenta durch ≥ (4n+2 — g3) = ΣN (4n+2 — u3) = 2 (−1)1 4 (2n+1 — 2 h3) Σ *(−1)*(2n+1–2h) (90, 2, 4, ...; u = ±1, ±3, ±5,...; h = 0, ±1, ±2, ...) und es folgt die Recursionsformel 3 ≥ Q ( 4 n + 2 − 4 h2 ) = 2 ≥ ( − 1 )1 Þ (4n + 2 — 4h3), N in welcher sich offenbar eine gewisse Analogie zwischen den Functionen und zu erkennen giebt. 1) schen den Functionen und zeigt für & = Eine formale Analogie zwisich aber auch darin, dass =(-1)(n+1) in den drei Fällen n = 1, 2, 3 mod. 4 resp. Σεξ (m-1) m = (n), (n), ¥ (n) દ wird, wenn man die Summation links auf alle positiven ungraden Zahlen m erstreckt, für welche n+ m2 ein vollständiges Quadrat ist, und dabei jede Zahl m, für welche n+ɛ m2 > 0 ist, zweimal nimmt. Da die Functionen (4n+1), (4n+ 2) als Entwickelungscoefficienten auftreten, wenn die Quadrate der Ausdrücke qân2+2n ≥ q2n2+n ≥ (−1)′′ q?n3, ≥ q£n2+ 2n ≥ (− 1)" q2n2 (n=0,±1,±2,...) nach Potenzen von q entwickelt werden, so erhält man mit Hilfe der Formeln (5) (6) pag. 103 der Fundamenta für die beiden und hieraus die für jede positive, nicht durch 4 theilbare Zahl n geltende Relation: 1) In der einfacheren Gestalt, welche der obigen Recursionsformel auf der nächstfolgenden Seite gegeben wird, tritt die Analogie zwischen den Functionen und noch deutlicher hervor. Ω — Q (n) = 2 (3 + (− 1)") ≥ (− 1)1 q (h) o (n — 8 h) (0 ≤ h<??), wenn, wie in meinem oben citirten Aufsatze in Borchardt's Journal, (n) der Betrag ist, um welchen die Anzahl der Divisoren von der Form 4k+ 1 die Anzahl derjenigen von der Form 4k· 1 übersteigt und (0) gesetzt wird, so dass überhaupt 49 (n) die Gesammtanzahl der Darstellungen von n als Summe zweier Quadrate bedeutet. = Da jeder Darstellung einer ungraden Zahl n als Summe zweier Quadrate n = = 12+ m2 eine Darstellung von 2n nämlich 2n = (1 + m)2 + (1 − m)2 entspricht, so lässt sich die Function (2n) unmittelbar auf (n) reduciren, und zwar wird Bemerkt man überdies, dass N (2n) und N (n) gleich Null sind, sobald n = 3 mod 4 ist, so lässt sich die oben aufgestellte Recursionsformel auf die einfachere Gestalt bringen: — ± ( − 1 )1 2 (m − 2 h3) = ≥ ( − 1 )1 Þ (m — 2 h2) (h=0, ±1, ±2, ...), h h wo links für m=1 mod 8 das obere, für m±3 mod 8 aber das untere Zeichen zu nehmen ist. Die Function (n), welche nunmehr nur für ungrade Zahlen n zu betrachten ist, kann auch in einfacher Weise durch die in der Zahl n enthaltenen complexen Primfactoren von der Form a + bi dargestellt werden. Ist nämlich n = r2 (a,+b, i)2, − 1 (a2+b2 i)^2 — 1 wor nur reelle Primzahlen von der Form 4k a1 + b1i, a2 + bi, ... lauter complexe Primzahlen in der primären Form bedeuten, d. h. lauter solche, für welche a 1 mod 4 ist,1) so wird 1) Der Ausdruck primär“ ist hier im Dirichletschen Sinne genommen (cf. Crelle's Journal Bd. 24. pag. 301). |