Kräfte angewendet, um die Theile des Systems, oder ihnen äquivalente Massen auf gewisse Höhen zu heben, so folgt aus dem, was wir eben gezeigt haben, dass auch die so dargestellten Arbeitsgrössen unter den genannten Bedingungen gleich sein müssen. Dieses Princip gilt aber nicht für alle möglichen Arten von Kräften; es wird in der Mechanik gewöhnlich angeknüpft an das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten, und dies kann nur für materielle Puncte mit anziehenden und abstossenden Kräften bewiesen werden. Wir wollen hier zunächst zeigen, dass das Princip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte ganz allein da gilt, wo die wirkenden Kräfte sich auflösen lassen in Kräfte materieller Puncte, welche in der Richtung der Verbindungslinie wirken, und deren Intensität nur von der Entfernung abhängt; in der Mechanik sind solche Kräfte gewöhnlich Centralkräfte genannt worden. Es folgt daraus wiederum auch rückwärts, dass bei allen Wirkungen von Naturkörpern aufeinander, wo das besprochene Princip ganz allgemein auch auf alle kleinsten Theilchen dieser Körper angewendet werden kann, als einfachste Grundkräfte solche Centralkräfte anzunehmen seien.

Betrachten wir zunächst einen materiellen Punct von der Masse m, der sich bewegt unter dem Einfluss der Kräfte von mehreren zu einem festen System A verbundenen Körpern, so zeigt uns die Mechanik die Mittel an, für jeden einzelnen Zeitpunct die Lage und Geschwindigkeit dieses Punctes bestimmen zu können. Wir würden also die Zeit t als die Urvariable betrachten, und von ihr abhängen lassen die Ordinaten x, y, z von、m in Beziehung auf ein gegen das System A festbestimmtes Coordinatensystem, seine Tangentialgeschwindigkeit q, die den Axen parallelen Compo

Unser Princip fordert nun, dass imq2, also auch q2, stets dasselbe sei, wenn m dieselbe Lage gegen A hat, also nicht allein als Function der Urvariablen t, sondern auch als blosse Function der Coordinaten x, y, z hingestellt werden könne, d. h. dass

Da qu2+v2+w2, = u2 + v2 + w2, so ist d(q2) = 2udu+2vdv+2wdw.

gestellten Werthen gesetzt, eben so für und wo die ana

logen Werthe, so erhalten wir

dy,

Da die Gleichungen 1 und 2 für jedes beliebige dr, dz zusammen stattfinden müssen, so folgt, dass auch

Ist aber g2 blosse Function von x, y, z, so folgt hieraus,

%,

dass auch X, Y und Z, d. h. Richtung und Grösse der wirkenden Kraft nur Functionen der Lage von m gegen A sei.

Denken wir uns nun auch statt des Systems A einen einzelnen materiellen Punct a, so folgt aus dem oben be

wiesenen, dass die Richtung und Grösse der Kraft, welche von a auf meinwirkt, nur bestimmt werde durch die relative Lage von m gegen a. Da nun die Lage von m durch seine Beziehung zu dem einzelnen Punct a nur noch der Entfernung ma nach bestimmt ist, so würde in diesem Falle das Gesetz dahin zu modificiren sein, dass Richtung und Grösse der Kraft Functionen dieser Entfernungr sein müssen. Denken wir uns die Coordinaten auf irgend ein beliebiges Axensystem bezogen, dessen Anfangspunct in a liegt, so muss hiernach

md (q) = 2Xdx+2Ydy+2Zdz = 0

=0

3)

Dieser Werth in Gleichung 3 gesetzt, giebt

Ꮖ

2

(x — 12) dx + (Y — 1Z) dy = 0

für jedes beliebige dr und dy, also auch einzeln

d. h. die Resultante muss nach dem Anfangspuncte der Coordinaten, nach dem wirkenden Puncte a, gerichtet sein.

Es müssen folglich in Systemen, welche ganz allgemein dem Gesetz von der Erhaltung der lebendigen Kraft Folge leisten, die einfachen Kräfte der materiellen Puncte Centralkräfte sein.

II.

Das Princip von der Erhaltung der Kraft.

Wir wollen dem besprochenen Gesetze für die Fälle, wo Centralkräfte wirken, nun noch einen allgemeineren Ausdruck geben.

Ist ዋ die Intensität der Kraft, welche in der Richtung von r wirkt, wenn sie anzieht, als positiv, wenn sie abstösst, als negativ gesetzt, also

Oder wenn und R, q und r zusammengehörige Tangentialgeschwindigkeiten und Entfernungen vorstellen,

Betrachten wir diese Gleichung näher, so finden wir auf der linken Seite den Unterschied der lebendigen Kräfte, welche m bei zwei verschiedenen Entfernungen hat. Um

Ꭱ

die Bedeutung der Grösse Sødr zu finden, denken wir

uns die Intensitäten von 9, welche zu verschiedenen Puncten der Verbindungslinie von m und a gehören, durch rechtwinklig aufgesetzte Ordinaten dargestellt, so würde die genannte Grösse den Flächeninhalt bezeichnen, den die Curve

zwischen den zu R und r gehörigen Ordinaten mit der Abscissenaxe einschliesst. Wie man sich nun diesen Flächenraum als die Summe aller der unendlich vielen in ihm liegenden Abscissen vorstellen kann, so ist jene Grösse der Inbegriff aller Kraftintensitäten, welche in den zwischen R und liegenden Entfernungen wirken. Nennen wir nun die Kräfte, welche den Punct m zu bewegen streben, so lange sie eben noch nicht Bewegung bewirkt haben, Spannkräfte, im Gegensatz zu dem, was die Mechanik leben

R.

dige Kraft nennt, so würden wir die Grösse dr als

die Summe der Spannkräfte zwischen den Entfernungen R und r bezeichnen können, und das obige Gesetz würde auszusprechen sein: Die Zunahme der lebendigen Kraft eines Massenpunctes bei seiner Bewegung unter dem Einfluss einer Centralkraft ist gleich der Summe der zu der betreffenden Aenderung seiner Entfernung gehörigen Spannkräfte.

Denken wir uns zwei Puncte unter der Wirkung einer anziehenden Kraft stehend, in einer bestimmten Entfernung R, so werden sie durch Wirkung der Kraft selbst nach den kleineren Entfernungen r hingetrieben, und dabei wird ihre Geschwindigkeit, ihre lebendige Kraft, zunehmen; sollen sie aber nach grösseren Entfernungen r gelangen, so muss ihre lebendige Kraft abnehmen, und endlich ganz verbraucht werden; wir können deshalb bei anziehenden Kräften die Summe der Spannkräfte für die Entfernungen zwischen

r =0 und r = R, ["pdr, als die noch vorhandenen, die

aber zwischen r = R und r∞ als die verbrauchten bezeichnen; die ersteren können unmittelbar, die letzteren erst