nach einem äquivalenten Verlust an lebendiger Kraft in Wirksamkeit treten. Umgekehrt ist es bei abstossenden Kräften. Befinden sich die Puncte in der Entfernung R, so werden sie bei ihrer Entfernung lebendige Kraft gewinund als die vorhandenen Spannkräfte werden die zu bezeichnen sein zwischen r = R und r = ∞, als die verlorenen, die zwischen r = 0 und r = R.

Um nun unser Gesetz ganz allgemein durchzuführen, denken wir uns eine beliebige Anzahl materieller Puncte von den Massen m1, m1, m ̧ u. s. w. allgemein bezeichnet mit ma, deren Coordinaten da, ya, a; die den Axen parallelen Componenten der darauf wirkenden Kräfte seien Xa, Ya, Za, die nach den Axen zerlegten Geschwindigkeiten ua, va, wa, die Tangentialgeschwindigkeiten qa; die Entfernung zwischen ma und m, sei rab, die Centralkraft zwischen beiden ab. Es ist nun für einen einzelnen Punct m, analog der Gleichung 1.

zieht, welche entstehn, wenn man nach einander für den

Index a alle einzelnen Indices 1, 2, 3 etc. mit Ausnahme von n setzt.

Multipliciren wir die erste Gleichung mit da,

die zweite mit dyn

=

undt,

vndt, die dritte mit den = wndt, und

denken wir uns die drei dann entstehenden Gleichungen

für alle einzelnen Puncte m, aufgestellt, wie es hier für m geschehen ist, und alle addirt, so erhalten wir

Die Glieder der Reihe links werden erhalten, wenn man erst statt a alle einzelnen Indices 1, 2, 3 u. s. w. setzt, und bei jedem einzelnen auch für b alle grösseren und alle kleineren Werthe, als a schon hat. Die Summen zerfallen also in zwei Theile, in deren einem a stets grösser ist als b, im andern stets kleiner, und es ist klar, dass für jedes Glied des einen Theils

Machen wir diese Zusammenziehung in den Summen, addiren sie alle drei und setzen

2

Id [(Xa — xv)2+(Ya — Ys)2 + (≈a — ≈6)2] = ravdrab

so erhalten wir

oder

- Σ [4ab drab] = Σ[{m,d(qå)]

3)

Rab

- Σ["4as drab] = Σ[im, Qi] − E[¿m,qå]

rab

Fab

4)

wenn R und sowie r und q zusammengehörige Werthe bezeichnen.

Wir haben hier links wieder die Summe der verbrauchten Spannkräfte, rechts die der lebendigen Kräfte des ganzen Systems, und wir können das Gesetz jetzt so aussprechen: In allen Fällen der Bewegung freier materieller Puncte unter dem Einfluss ihrer anziehenden und abstossenden Kräfte, deren Intensitäten nur von der Entfernung abhängig sind, ist der Verlust an Quantität der Spannkraft stets gleich dem Gewinn an lebendiger Kraft, und der Gewinn der ersteren dem Verlust der letzteren. Es ist also stets die Summe der vorhandenen lebendigen und Spannkräfte constant. In dieser allgemeinsten Form können wir unser Gesetz als das Princip von der Erhaltung der Kraft bezeichnen.

In der gegebenen Ableitung des Gesetzes ändert sich nichts, wenn ein Theil der Puncte, welche wir mit dem durchlaufenden Buchstabend bezeichnen wollen, fest gedacht wird, so dass q constant = 0; es ist dann die Form des Gesetzes:

[Pat drab]+[Pav drav]

=

·Σ[źmyd (q})]. 5)

Es bleibt noch übrig zu bemerken, in welchem Verhältniss das Princip von der Erhaltung der Kraft zu dem allgemeinsten Gesetze der Statik, dem sogenannten Princip der virtuellen Geschwindigkeiten steht. Dieses folgt nämlich unmittelbar aus unseren Gleichungen 3 und 5. Soll Gleichgewicht stattfinden bei einer bestimmten Lagerung der Puncte ma, d. h. soll für den Fall, dass diese Puncte 2

Helmholtz üb. Erhalt. d. Kraft.

ruhen, also a = 0, dieser Zustand der Ruhe auch bestehen bleiben, also alle dya= 0, so folgt aus der Gleichung 3 Σ[ab drab] = 0, 6)

oder wenn auch Kräfte von Puncten m, ausserhalb des Systems einwirken, aus Gleichung 5

In diesen Gleichungen sind unter dr Aenderungen der Entfernung zu verstehen, welche bei beliebigen, durch die anderweitigen Bedingungen des Systems zugelassenen, kleinen Verschiebungen der Puncte ma eintreten. Wir haben in den früheren Deductionen gesehn, dass eine Vermehrung der lebendigen Kraft, also auch ein Uebergang aus Ruhe in Bewegung, nur durch einen Verbrauch von Spannkraft erzeugt werden kann; die letzten Gleichungen sagen dem entsprechend aus, dass unter solchen Bedingungen, wo durch keine einzige der möglichen Bewegungsrichtungen in dem ersten Augenblicke Spannkraft verbraucht wird, das System, wenn es einmal in Ruhe ist, auch in Ruhe bleiben muss.

Dass aus den hingestellten Gleichungen sämmtliche Gesetze der Statik hergeleitet werden können, ist bekannt. Die für die Natur der wirkenden Kräfte wichtigste Folgerung ist diese: Denken wir uns statt der beliebigen kleinen Verschiebungen der Puncte m solche gesetzt, wie sie stattfinden könnten, wenn das System in sich fest verbunden wäre, so dass in Gleichung 7 alle drab = 0, so folgt einzeln [Pav drav] = 0 und [Pab drab] = 0.

Dann müssen also sowohl die äussern, wie die inneren Kräfte für sich der Gleichgewichtsbedingung genügen. Wird demnach ein beliebiges System von Naturkörpern durch äussere

Kräfte in eine bestimmte Gleichgewichtslage gebracht, so wird das Gleichgewicht nicht aufgehoben, 1) wenn wir die einzelnen Puncte des Systems in ihrer jetzigen Lage unter sich fest verbunden denken, und 2) wenn wir dann die Kräfte wegnehmen, welche dieselben gegen einander ausüben. Daraus folgt nun aber weiter: Werden die Kräfte, welche zwei Massenpuncte aufeinander ausüben, durch zwei an dieselben angebrachte äussere Kräfte in Gleichgewicht gesetzt, so müssen sich diese auch das Gleichgewicht halten, wenn statt der Kräfte der Puncte gegeneinander eine feste Verbindung derselben substituirt wird. Kräfte, welche zwei Puncte einer festen geraden Linie angreifen, halten sich aber nur im Gleichgewicht, wenn sie in dieser Linie selbst liegen, gleich und entgegengesetzt gerichtet sind. Es folgt also auch für die Kräfte der Puncte selbst, welche den äusseren gleich und entgegengesetzt sind, dass dieselben in der Richtung der verbindenden Linie liegen, also anziehende oder abstossende sein müssen.

Wir können die aufgestellten Sätze folgendermaassen zusammenfassen:

1) So oft Naturkörper vermöge anziehender oder abstossender Kräfte, welche von der Zeit und Geschwindigkeit unabhängig sind, auf einander einwirken, muss die Summe ihrer lebendigen und Spannkräfte eine constante sein; das Maximum der zu gewinnenden Arbeitsgrösse also ein bestimmtes, endliches.

2) Kommen dagegen in den Naturkörpern auch Kräfte vor, welche von der Zeit und Geschwindigkeit abhängen, oder nach anderen Richtungen wirken als der Verbindungslinie je zweier wirksamer materieller Puncte, also z. B. rotirende, so würden Zusammenstellungen solcher Körper