VI. Ueber die Herleitung der Formel für die Totalreflexion nach Fresnel und Cauchy; von Beer in Bonn.

Erstens.

Wenn wir dieselbe Bezeichnung und dieselbe Lage der

Coordinatenaxen wie in unseren letztvorhergegangenen Abhandlungen über die Reflexionsformeln beibehalten, so genügt, wie Cauchy gefunden hat, zur Begründung jener Formeln in dem Falle, wo die brechenden Mittel zu einander im Verhältnisse der Neutralität stehen, der Bestand der folgenden vier Gleichungen:

1) sd sd, 2) s(d; — d) = s (d – d),

3) sdn = sdy, 4) sdn = s;

und zwar kann man hierbei ganz von den verschwindenden Strahlen absehen und nur die drei gewöhnlichen Strahlen mit geradlinigen transversalen Schwingungen in die Betrachtung eingehen lassen. Man erhält so ohne Weiteres aus den obigen Gleichungen die Fresnel'schen Formeln für gewöhnliche Reflexion. Man überzeugt sich leicht davon, dafs die Endgleichungen, die wir in unserer Herleitung der letzteren Formeln erhalten haben, mit den obigen vier Gleichungen zusammenfallen. Jene Fresnel'schen Formeln verlieren bekanntlich ihre Gültigkeit, sobald totale Reflexion eintritt. Diefs hängt damit zusammen, dafs alsdann die Lichtbewegung im zweiten Mittel von der Natur der Bewegung in verschwindenden Strahlen wird, d. h. dass die Aethertheilchen in den gebrochenen senkrecht zur brechenden Fläche stehenden Wellen im Allgemeinen nicht mehr geradlinig und transversal oscilliren, sondern vielmehr ähnliche und ähnlich liegende Ellipsen beschreiben, deren

Ebenen auf den Wellenebenen und der brechenden Fläche senkrecht stehen, sowie ferner, dafs die Amplituden in geometrischem Verhältnisse abnehmen, wenn man sich auf einem Einfallslothe in arithmetischem Verhältnisse von der brechenden Fläche in dem zweiten Mittel entfernt. Cauchy giebt nun (Diese Ann. Bd. 39) für den Extinctionscoëfficienten der letzterwähnten Strahlen, die wir, um Verwirrung zu vermeiden, streifende Strahlen nennen werden, den Werth yn sini -1 an, wo in Uebereinstimmung mit unserer früheren Bezeichnung λ die Wellenlänge im zweiten Mittel, i die Incidenz und n den Brechungsindex für den Uebergang aus dem zweiten Mittel ins erste bedeutet. Diese Annahme genügt, um mittelst der Gleichungen 1) bis 4) die Fresnel'sche Formel für die Totalreflexion abzuleiten, wie sogleich gezeigt werden soll.

2π

2

Die Componenten des einfallenden Strahles seyen wie in unseren früheren Mittheilungen bei senkrecht zur Einfallsebene polarisirtem Lichte

2π

§, = a, cosi. sin [27 (vt — E,) +J],

5. = a, sin i . sin [2,7 (v t — E‚) +J] für E‚ =—z cosi+x sin i, die des gespiegelten Strahles seyen:

§,= a,cos i. sin [2,7 (vt — E,)+L],

π

5,—— a,sin i. sin [2,7 (vt — E,)+L] für E,=zcosi+xsin i,

endlich die des streifenden Strahles:

2π

2π

5=¿, ¿1 sin 27 (y, t — x sini,) für d=27 √n2 sin ¿2 1d

T

1.

Hiernach sind die den Gleichungen 1) und 2) entsprechenden Bedingungsgleichungen für jeden Punkt der Trennungsfläche und jede Zeit:

I. 27 sin i cos i [a, cos (V+J)+a,cos (V+L)]=dj. sin V,

II. 2/7 cos i2 [a, cos (V+J) — a,cos (V+L)]

+2 sin i2 [a, cos (V+J) — a,cos (V+L)]

Hier steht V für die nothwendig einander gleichen Ausdrücke 27 (vt — æsini), 27(y,t—x sini,). Setzen wir noch 27 cosi=μ, so lassen sich die letzten Gleichungen auch

so schreiben:

I'. usini[a, cos (V+J)+a,cos (V+L]=d¡, sin V, II'. a¡cos (V+J)—a,cos (V+L) = (2— dy,+siniz,) cos V.

Indem wir nun in diese Gleichungen der Reihe nach für V die Werthe 0 und einsetzen, finden wir, wenn

Π

2

noch zur Abkürzung a; sin J=u, a ̧ cos J=v1, a, sin L=un a,cos L=v, gesetzt wird, folgende Beziehungen:

d. h. die Intensitäten des reflectirten und einfallenden Strahles sind einander gleich.

Setzen wir a=-a;, so ist wegen 1 und 4 zu setzen:

L——J.

Mit Rücksicht auf die gefundene Gleichheit von a2 und a liefern ferner die beiden mittleren Gleichungen:

2

2 v1 = 2 dx,+siniz, = — √ n2 sin i 2 — 1 x,+sin iž....

2π

Also ist:

Ui

= tang J

=

Vi

- Vn2 sin i2 - 1 },

t, sini cosi Vn'sini2-1+n sin i cos izr

Setzt man nun x,:§,=-d: 2 sini, oder

Die Gleichung 2 bestimmt endlich noch den Werth von a,; es ist nämlich:

Indem wir die gefundenen Resultate zusammenfassen, ergeben sich uns für den einfallenden, gespiegelten und streifenden Strahl bei senkrecht zur Einfallsebene polarisirtem Lichte folgende Gleichungen:

Wenn das einfallende und somit auch das gebrochene Licht in die Einfallsebene polarisirt ist, so werden die Gleichungen jener beiden Lichter:

n‚=b,sin [27 (vt—E,)+J]

n.=b,sin [27 (vt — E,)+L],

und die Gleichung des streifenden Strahles wird die Form haben:

n‚=b,e“ sin 27 (v', t — xsin ï',).

Von unseren Bedingungsgleichungen entsprechen diesem Falle die beiden letzten; diese werden hier:

I. μ [b, cos (V+J) — b,cos (V+L)]=db,sin V,

II.

b.cos (V+J)+b,cos (V+L) = b, cos V.

Aus diesen Gleichungen folgt für bezüglich V=0 und V=2/27:

Die erste und letzte Gleichung lassen ersehen, dass auch hier das gespiegelte Licht die volle Intensität des einfallenden zeigt. Setzen wir demgemäfs b,b,, so ist ferner L-J zu setzen. Die beiden mittleren Gleichungen schreiben sich wie folgt:

Endlich findet man noch mit Rücksicht auf den Werth von tang J:

die Gleichung des einfallenden in die Einfallsebene polarisirten Strahles ist, so wird der gespiegelte und streifende Strahl durch folgende Gleichungen dargestellt: