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mentarwellen, so ist deren Enveloppe K' die Wellenfläche der von K angeregten, reflectirten, aufserordentlichen Strahlen zur Zeit t. Die Fläche K' ist von einem höheren Grade als dem zweiten. Dieser Theil des reflectirten Lichtes besitzt eine eigentliche Brennfläche. Ueber die Verhältnisse seiner Strahlen und Wellen siehe die folgende Nummer.

Indem wir zusammenfassen, erhalten wir folgenden Satz: Das Licht, welches einem leuchtenden Punkte entströmt, der sich im Innern eines optisch einaxigen Mittels befindet, zerfällt, nachdem es an einer ebenen Begränzungsfläche eine Reflexion erlitten, in vier verschiedene Gruppen von Strahlen. Eine erste Gruppe besteht aus ordentlichen Strahlen, die aus dem ordentlichen Spiegelbilde des Punktes divergiren. Eine zweite Gruppe wird ebenfalls von ordentlichen Strahlen gebildet, die aber von einer Brennfläche ausgehen. Die dritte Gruppe besteht aus aufserordentlichen homocentrischen Strahlen; das Centrum dieser Strahlen ist das aufserordentliche Spiegelbild des leuchtenden Punktes. Die vierte und letzte Gruppe endlich setzt sich ebenfalls aus aufserordentlichen Strahlen zusammen; es divergiren die letzteren aber nicht aus einem eigentlichen Spiegelbilde, sondern aus einer katakaustischen Fläche. Zum Ueberflusse bemerken wir, dafs die zweite und letzte Gruppe von Strahlen gleichwohl ein Bild des leuchtenden Punktes werden erblicken lassen, so dafs im Ganzen vier Bilder zum Vorschein kommen müssen.

2. Diakaustika für homocentrisches Licht beim Uebergange aus einem isotropen Mittel in eine senkrecht zur einzigen optischen Axe geschnittene Krystallplatte.

In Fig. 12 sey P der leuchtende Punkt, TT die Trennungsfläche. Rechnen wir die Zeit von dem Momente an, wo die kugelige Welle K die Fläche TT im Punkte p berührt, so ist die Gleichung der aufserordentlichen Elementarwelle, die sich, von der Welle K angeregt, nach der Zeit tum p gebildet hat:

5+2= t2.

Es bedeutet hier z die in der Richtung des Lothes Pp gerechnete Coordinate, r die senkrechte Entfernung von dem Lothe; ferner stellt v, die Geschwindigkeit der ordentlichen Wellen, v, die davon am meisten abweichende Geschwindigkeit der aufserordentlichen Wellen dar.

2

Die Elementarwelle, welche sich zur Zeitt um einen zweiten Punkt q der Ebene TT gebildet hat, ist von diesem Punkte später ausgegangen als die ersterwähnte Welle vom Punkte p, und zwar um so viel später, als das Licht Zeit gebraucht um von s nach q zu gelangen. Diese Zeit ist aber, wenn v die Geschwindigkeit des Lichtes im Mittel I bedeutet, q8 qP-pP (-1). Die Gleichung

v

=

v

=

PP

v

der zur Zeit t um q gelegenen Elementarwelle ist hiernach, wenn wir noch p P h setzen:

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(r—h tang a)2 = (t + 1⁄2

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v

022

und diefs ist, a als variabel gedacht, die allgemeine Gleichung der Elementarwellen.

h

v

Für die Zeit t=— (dafs dieser Werth negativ ist, und die ihm entsprechenden Elementarwellen von K in Wirklichkeit nicht angeregt werden können, hat offenbar auf das Endresultat keinen Einflufs) wird die allgemeine Gleichung der Elementarwellen:

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Bilden wir die Derivirte dieser Gleichung in Bezug auf den veränderlichen Parameter a, so kommt:

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Und die Substitution dieses Werthes in die primitive Gleichung liefert für die Enveloppe der Theilwellen, also für die Wellenfläche der aufserordentlich gebrochenen Strahlen zur Zeit

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h

v

die Gleichung:

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Die Wellenfläche der aufserordentlich gebrochenen Strah

2

2

h v

len ist hiernach zur Zeit eine Rotationsfläche zweiten Grades, deren Hauptaxe in das Loth Pp, und deren Mittelpunkt in dessen Fufspunkt p fällt. Sie wird ein Ellipsoïd, wenn v, grösser, und ein zweischaaliges Hyperboloïd, wenn v kleiner als v ist. Je nachdem der absolute Werth von v grösser oder kleiner als der von v22-v2 ist, wird die Fläche in der Richtung der Rotationsaxe verlängert oder verkürzt seyn. In dem besonderen Falle, wo für den Uebergang des Lichtes aus dem Mittel I in das Mittel II der Hauptbrechungsindex der aufserordentlichen Strahlen der Einheit gleich ist, d. h. wenn v2v ist, ergiebt sich aus der primitiven und derivirten Gleichung x=ound y=h.. Alsdann geht die Diakaustika der gebrochenen Strahlen in einen Punkt über; diese Strahlen werden homocentrisch, und zwar liegt ihr Centrum senkrecht unter dem leuchtenden Punkte in einer Entfernung von der brechenden Ebene, die sich zu der des leuchtenden Punktes wie die Geschwindigkeit der ordentlichen Strahlen im Krystalle zur Geschwindigkeit des Lichtes im isotropen Mittel verhält.

2

Da wir jetzt die Gestalt der Wellenfläche für eine bestimmte Zeit kennen, so ist es leicht, dieselbe für eine jede Zeit zu bestimmen, sowie auch den zugehörigen Strahlencomplex und die zugehörige Diakaustika. Auf die bezügliche Construction glauben wir um so eher etwas näher eingehen zu dürfen, da sie in Manchem von den gewöhnlichen Verhältnissen (in isotropen Mitteln) abweicht.

h

v

Beschreiben wir um die einzelnen Punkte der Fläche F lauter gleiche und gehörig gelegene Wellensphäroïde, wie sie der Zeit + entsprechen, so ist deren Enveloppe die Wellenfläche der aufserordentlichen Strahlen für die Zeit T. Die letzteren stehen zu ihrer Wellenfläche in einer ganz anderen Beziehung wie in einfach brechenden Mitteln. Hier nämlich verbleiben die Strahlen senkrecht zur Wellen

fläche, demzufolge sind die verschiedenen Wellen Parallelflächen, und die gemeinsame Evolute der letzteren ist die Brennfläche des Strahlencomplexes. In Krystallen aber ändert sich die Neigung der Strahlen gegen ein und dieselbe Wellenfläche von einem Punkte der letzteren zum andern. In der That, es sey WW, Fig. 13 Taf. I, die Wellenfläche eines aufserordentlichen Strahlencomplexes für die Zeit t. Man construire um ihre einzelnen Punkte o, o', o" gleiche und gehörig gelegene Wellenflächen, wie sie der Zeit entsprechen. Ihre Enveloppe W'W' ist die Lage der Welle WW zur Zeit t+r, und es besteht der zu WW und W'W' gehörige Strahlencomplex aus den Strahlen op, o'p', o'p", wenn p, p', p' die Berührungspunkte der Elementarwellen und ihrer Enveloppe sind. Man sieht aber leicht ein, dafs die Tangentialebenen der Fläche W W in den Punkten o, o', o" parallel sind den Tangentialebenen der Fläche W'W' in den Punkten p, p', p", und dafs die Strahlen op, o'p', o"p" nichts Anderes sind, als die jenen Tangentialebenen conjugirten Radien der ellipsoïdischen Elementarwellen. Wollen wir hiernach die zu der oben gefundenen Fläche F zugehörigen Strahlen erhalten, so ziehen wir an F alle möglichen Tangentialebenen t1, t... und mit ihnen parallel die Tangentialebenen T1, T... an die Wellenfläche des krystallinischen Mittels. Ferner ziehen wir die Radien der letzten Fläche, welche in den Berührungspunkten von T1, T2... auslaufen. Endlich legen wir durch die Berührungspunkte der Ebenen t,, t... gerade Linien mit je einem entsprechenden Radius parallel. Die so gewonnenen Geraden machen den verlangten Strahlencomplex aus, und der Inbegriff der Durchschnitte von je zwei nächst aneinander gelegenen Strahlen ist die Brennfläche des Complexes; letztere ist keineswegs die Evolute der Wellenfläche.

της

Um auch noch einen Einblick in die Verhältnisse des vom Mittel II ordentlich gebrochenen Lichtes, also auch in den Fall der einfachen Brechung zu gewinnen, brauchen wir blofs in den obigen Entwicklungen v2=v, zu setzen.

2

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h
v

Die Wellenfläche der ordentlich gebrochenen Strahlen für die Zeit - ist hiernach, je nachdem v, gröfser oder kleiner als v ist, ein verlängertes Rotations - Ellipsoïd oder ein verlängertes zweischaaliges Rotations - Hyperboloïd, dessen Axe das Loth Pp, dessen Mittelpunkt der Fufspunkt p dieses Lothes ist, und von dessen Brennpunkten einer in den leuchtenden Punkt P fällt. Da nun weiter die Elementarwellen sphärisch sind, so folgt noch, dafs die Wellenfläche während der Fortpflanzung stets der erwähnten Fläche zweiten Grades parallel bleibt, sowie endlich dafs die Diakaustika der Strahlen die Evolute jener Fläche ist. Das letzte Ergebnis ist längst bekannt; wir sind aber hier zu demselben auf einem viel kürzeren Wege gelangt, als es möglich ist, wenn man - wie diefs gewöhnlich geschieht von dem Descartes'schen Gesetze ausgeht. Vergl. Magnus, Sammlung von Aufgaben aus der analyt. Geometrie, §. 101.

3. Diakaustika für homocentrisches Licht beim Uebergange aus einem einaxigen Mittel in ein isotropes durch eine zur optischen Axe senkrechten Ebene.

In Fig. 14 sey jetzt I das krystallinische, II das isotrope Mittel. Indem wir wie in der vorigen Nummer die Zeit rechnen und auch eine analoge Bezeichnung anwenden, erhalten wir für die kugelige Welle, welche, durch die ellipsoïdische Welle E angeregt, nach der Zeit t sich um den Punkt q gebildet hat, die Gleichung:

wenn

ist.

x2+(r—htang a)2 =v2 [t — 2]*,

die Geschwindigkeit des Strahles Ps im Mittel I Nun ist aber, wenn wir Ps=0 setzen:

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