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fläche, demzufolge sind die verschiedenen Wellen Parallelflächen, und die gemeinsame Evolute der letzteren ist die Brennfläche des Strahlencomplexes. In Krystallen aber ändert sich die Neigung der Strahlen gegen ein und dieselbe Wellenfläche von einem Punkte der letzteren zum andern. In der That, es sey WW, Fig. 13 Taf. I, die Wellenfläche eines ausserordentlichen Strahlencomplexes für die Zeit t. Man construire um ihre einzelnen Punkte o, o's o" gleiche und gehörig gelegene Wellenflächen, wie sie der Zeit ī entsprechen. Ihre Enveloppe W'W' ist die Lage der Welle WW zur Zeit t +-t, und es besteht der zu WW und W'W' gehörige Strahlencomplex aus den Strahlen op, o'p', o"p", wenn p,p', p" die Berührungspunkte der Elementarwellen und ihrer Enveloppe sind. Man sieht aber leicht ein, dass die Tangentialebenen der Fläche WW in den Punkten o, o', o" parallel sind den Tangentialebenen der Fläche W'W' in den Punkten p, p, p", und dass die Strahlen op, o'p', o"p" nichts Anderes sind, als die jenen Tangentialebenen conjugirten Radien der ellipsoïdischen Elementarwellen. Wollen wir hiernach die zu der oben gefundenen Fläche F zugehörigen Strahlen erhalten, so ziehen wir an F alle möglichen Tangentialebenen t,, t2.. und mit ihnen parallel die Tangentialebenen Tie Tz... an die Wellenfläche des krystallinischen Mittels. Ferner ziehen wir die Radien der letzten Fläche, welche in den Berührungspunkten von Tig T2... auslaufen. Endlich legen wir durch die Berührungspunkte der Ebenen t,, t, ... gerade Linien mit je einem entsprechenden Radius parallel. Die so gewonnenen Geraden machen den verlangten Strahlencomplex aus, und der Inbegriff der Durchschnitte von je zwei nächst aneinander gelegenen Strahlen ist die Brennfläche des Complexes; letztere ist keineswegs die Evolute der Wellenfläche.

Um auch noch einen Einblick in die Verhältnisse des vom Mittel II ordentlich gebrochenen Lichtes, also auch in den Fall der einfachen Brechung zu gewinnen, brauchen wir bloss in den obigen Eutwicklungen v2=0, zu setzen. Für die Wellenfläche der ordentlichen Strahlen zur Zeit - ergiebt sich dann:

F=r?

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Die Wellenfläche der ordentlich gebrochenen Strahlen für die Zeit - ist hiernach, je nachdem o, grösser oder kleiner als v ist, ein verlängertes Rotations - Ellipsoid oder. ein verlängertes zweischaaliges Rotations - Hyperboloïd, dessen Axe das Loth Pp, dessen Mittelpunkt der Fusspunkt p dieses Lothes ist, und von dessen Brennpunkten einer in den leuchtenden Punkt P fällt. Da nun weiter die Elementarwellen sphärisch sind, so folgt noch, dass die Wellenfläche während der Fortpflanzung stets der erwähnten Fläche zweiten Grades parallel bleibt, sowie endlich dass die Diakaustika der Strahlen die Evolute jener Fläche ist. Das letzte Ergebniss ist längst bekannt; wir sind aber hier zu demselben auf einem viel kürzeren Wege gelangt, als es möglich ist, wenn man

– wie diess gewöhnlich geschieht — von dem Descartes'schen Gesetze ausgeht. Vergl. Magnus, Sammlung von Aufgaben aus der analyt. Geometrie, $. 101.

3. Diakaustika für homocentrisches Licht beim Uebergange

aus einem einaxigen Mittel in ein isotropes durch eine
zur optischen Axe senkrechten Ebene.

In Fig. 14 sey jetzt I das krystallinische, II das isotrope Mittel. Indem wir wie in der vorigen Nummer die Zeit rechnen und auch eine analoge Bezeichnung anwenden, erhalten wir für die kugelige Welle, welche, durch die ellipsoïdische Welle E angeregt, nach der Zeit t sich um den Punkt q gebildet hat, die Gleichung:

x' +(r—htanga)?=o? [t ]*, wenn u die Geschwindigkeit des Strahles Ps im Mittel I ist. Nun ist aber, wenn wir Ps=setzen:

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98

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O ļ 0, cosa Die allgemeine Gleichung der gebrochenen Elementarwellen für die ausserordentlichen Strahlen ist hiernach:

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0.

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Ihre Differentiation in Bezug auf den variabeln Parameter a liefert:

- rv2

h tanga = 0,02?

woraus sich dann endlich für die Enveloppe F der Elementarwellen, oder, was dasselbe heisst, für die der einfallenden Welle E entsprechende gebrochene Welle zur Zeit t=- die Gleichung ableitet:

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Mit der Bedingung oo, wird die Wellenfläche für die Zeit ein verlängertes Rotations - Ellipsoid oder Hyperboloïd; die Hauptaxe fällt in das Loth Pp, der Mittelpunkt in den Punkt p. Für andere Zeiten ist die Wellenfläche jener Rotationsfläche stets parallel. Die Diakaustika der gebrochenen Strahlen ist die Evolute der Rotationsfläche.

In dem besondern Falle, wo 0,=v ist, werden die in das Mittel II eindringenden ausserordentlichen Strahlen ho.

mocentrisch; ihr Durchschnitt liegt auf dem Lothe Pp in der Entfernung „h von der brechenden Ebene.

Die Verhältnisse der ordentlichen Strahlen, welche vom Punkte P ausgehen, lassen sich leicht nach dem gegen Ende der vorigen Nummer Gesagten beurtheilen.

Was die innere Spiegelung in unserm Falle betrifft, so ist klar, dass von den vier im Allgemeinen zum Vorschein kommenden Strahlencomplexen nur die beiden homocentrischen auftreten. Ausserdem fallen noch das ordentliche und ausserordentliche Bild des leuchtenden Punktes zusammen.

4. Diakaustika eines homocentrischen Strahlen complexes

beim Uebergang aus einer zur einzigen optischen Axe senkrechten Krystallplatte in eine zweite ebensolche an der ersten anliegende Platte.

Wir erhalten in diesem Falle offenbar nur zwei Gruppen gebrochener Strahlen, solche nämlich, welche in beiden Mitteln den ordentlichen, und solche, welche in beiden Mitteln den ausserordentlichen Gesetzen gehorchen. Die Verhältnisse der ersten Gruppe sind durch das Vorhergehende bestimmt. Was aber die zweite Gruppe betrifft, so hat man, wenn sich dem Früheren analog v, und 0, auf das erste und o'r, o'auf das zweite Mittel beziehen, die folgende Gleichung für die Elementarwellen der Wellenfläche zur Zeit

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und diese stellt wieder, je nachdem die Differenz o', -0, positiv oder negativ ist, ein Rotations - Ellipsoid oder Hyperboloïd dar, die ähnlich wie die bereits besprochenen analogen Flächen gelegen sind. Das zugehörige Strahlen

Poggendorff's Annal. Bd. LXXXIX.

bündel weist im Allgemeinen eine verwickelte Brennfläche auf; nur wenn 0,=0, wird, d. h. wenn die Hauptbrechungsindices der ausserordentlichen Strahlen' in beiden Krystallen gleich sind, artet die Brennfläche in einen Punkt aus; dieser liegt auf dem Lothe des leuchtenden Punktes in der Entfernung o'h von der brechenden Fläche.

Aus den Ergebnissen der 2. und 3. Nummer setzen wir noch den folgenden Satz zusammen: Lässt man die Strahlen eines leuchtenden Punktes, der sich in einem isotropen Mittel befindet, auf die erste Fläche einer Krystallplatte fallen, die zu ihrer optischen Axe senkrecht geschnitten ist, so divergiren die ausserordentlichen Strahlen, welche aus der zweiten Fläche der Platte wieder in das isotrope Mittel zurückkehren, genau aus einem Punkte, wenn für die stattfindende ausserordentliche Brechung der Hauptindex der Einheit gleich ist, ein Erforderniss, dem man sich im Experimente für die einzelne Farbe beliebig nähern kann. Das durch die Brechung erzeugte Bild des leuchtenden Punktes liegt auf dem Lothe, welches man von diesem auf die Platte herablassen kann, und zwar auf der Seite des leuchtenden Punktes in einer Entfernung von der zweiten Fläche der Platte, die sich durch h+D.w ausdrückt, wenn w der Brechungsquotient der ordentlichen Strahlen, D die Dicke der Platte und h die Entfernung des leuchtenden Punktes von der ersten Fläche der Platte bedeutet.

5. Gränzfläche der totalen Reflexion im Innern einer ein

axigen Krystallplatte.

Damit die ausserordentliche ebene Welle OW, Fig. 15 Taf. I, die sich in einem einaxigen Mittel bis zur Gränzfläche JJ eines isotropen Mittels fortpflanzt, hier eine totale Reflexion erleide, muss der Radius der Elementarwelle, die sich um O bildet, während die Welle bis O'W' fortschreitet, die Länge 00' erreichen oder übertreffen. Wenn aber w die Geschwindigkeit der Welle vach der Richtung ibrer Normale und į die Neigung der Welle und der Ebene

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