ner sey die Intensität der Farbe b so gewählt, dass, wenn b' die Farbe ist, die mit b Weiss giebt, die Intensität des durch diese Mischung entstandenen Lichtes gleich der Intensität des durch die Mischung von a und a' entstandenen Lichtes sey. Diefs sey bildlich dadurch dargestellt, dafs man die Strecke, welche die Farbe b ausdrückt, gleich lang macht mit a und a', während die Complementarfarbe von b, durch die mit b gleich lange aber entgegengesetzt gerichtete Strecke b' dargestellt sey. Wir wollen annehmen, dass von den beiden Farben b und b' die Farbe b diejenige sey, welche von a aus nach der positiven Uebergangsseite liegt. Es leuchtet ein, dafs wenn die Farbe a gegeben ist, dann a', b, b' durch Beobachtung zu finden sind. Ist z. B. a Gelb, so ist a' Indigo; auf dem positiven Uebergange von a zu a' liegen die verschiedenen Töne des Grünen und Blauen; das Grüngelb wird mit Gelb (a) vermischt eine sehr geringe, mit Indigo (a') vermischt eine sehr bedeutende Beimischung des Weifs geben. Schreitet man vom Grüngelb nach der positiven Seite zu fort, so wird bei der Vermischung mit Gelb die Beimischung des Weifs nach und nach zunehmen, bei der Vermischung mit Indigo abnehmen. Es wird also auf dem Uebergange ein Farbenton liegen, welcher mit dem Gelb vermischt, ebenso viel Weifs liefert, wie mit Indigo vermischt. Es sey diefs etwa Grün, so wird b Grün und b' Purpur seyn. Es leuchtet nun ein, dafs man durch Vermischung von je zweien dieser vier Farben alle Farbentöne erhalten mufs. Es seyen diese Farbentöne für alle Intensitätsverhältnisse der zu mischenden homogenen Farben a und b, b und a', a' und b', b' und a durch Beobachtungen gefunden. Wir nehmen an, es seyen die Intensitäten der beiden zu mischenden Farben durch die Längen der zugehörigen Strecken dargestellt, so dafs, wenn die eine Farbe z. B. den Farbenton a hat, und die Intensität derselben sich zu der von a wie m zu 1 verhält, dann jene Farbe durch eine Strecke dargestellt sey, welche mit a gleiche Richtung, aber die m-fache Länge hat. Nachdem man so die beiden zu mischenden Farben

geometrisch dargestellt hat, construire man aus diesen Strecken die geometrische Summe, d. h. die Diagonale des Parallelogramms, welches die beiden Strecken zu Seiten hat'), und setze fest, dafs diese Summe oder Diagonale die Farbe der Mischung darstellen soll, nämlich ihre Richtung den Farbenton und ihre Länge die Intensität der Farbe.

Ist diefs geschehen, so kann man von jetzt an den Farbenton, und die Farbenintensität jeder Mischung von Farben durch blofse Construction finden. Nämlich man braucht nur die Strecken, welche den Farbenton und die Farbenintensität der zu mischenden Farben darstellen, zu bestimmen, und diese dann geometrisch zu addiren, d. h. wie Kräfte zusammenzusetzen, so stellt die geometrische Summe (die Resultante jener Kräfte) den Farbenton und die Farbenintensität der Mischung dar. Es folgt diefs unmittelbar daraus, dafs die Ordnung, in welcher man geometrisch addirt (die Kräfte zusammensetzt), gleichgültig ist für das Resultat. In der That es seyen die durch die Strecken a, b, a', b' gemäfs der obigen Bestimmung dargestellten Farben zu Grunde gelegt, und sey unter aa, wenn a positiv ist, eine Farbe verstanden, die den Farbenton a hat, und deren Farbenintensität sich zu der von a verhält wie a zu 1, und wenn a negativ ist, sey unter aa eine Farbe verstanden, die den Farbenton der Complementarfarbe a' besitzt, und deren Farbenintensität sich zu der von a' wiederum wie a zu verhalte. Dasselbe gelte in Bezug auf die zweite zu Grunde gelegte Farbe b und deren Complementarfarbe b'. Von den beiden Farben e und e,, deren Mischungsfarbe man sucht, sey die eine darstellbar durch die Mischung der Farben a a und b, die andere durch die Mischung der Farben a, a und Bb,, so ist (immer abgeschen vom beigemischten Weifs) die Mischung von c und c darstellbar durch die Vermischung der vier Farben aa, ßb,

α, α,

1) Der Begriff dieser geometrischen Summe ist von mir in meiner Ausdehnungslehre (Leipzig 1844) und von Möbius in seiner Mechanik des Himmels (Leipzig 1843) zuerst entwickelt.

aa, B, b. Aber aa giebt mit a, a vermischt (a+α ̧) a und b mit ẞ, b vermischt (ß+ß,) b. Also ist die Mischung von c und c, auch darstellbar durch die Mischung der beiden Farben (a+a,) a und (+B,) b. Da diese letzteren aber die zu Grunde gelegten Farbentöne a, b oder a', b' haben, so wird ihre Mischung dargestellt durch die geometrische Summe der Strecken, also durch die Strecke (a+α1)a+(+ß,) b d. h. durch (a a+b)+(a ̧ a+ß,b) d. h. durch die geometrische Summe zweier Strecken, welche einzeln genommen die zu vermischenden Farben darstellen.

Wir können diefs Gesetz, welches aus den drei zu Grunde gelegten Voraussetzungen mit Nothwendigkeit folgt, und welches zur Bestimmung der Farbenreihe nur eine einfache, aber vollständige Beobachtungsreihe erfordert, auch noch in anderer Weise ausdrücken. Nämlich wenn man um den Anfangspunkt der Strecken mit dem Radius a einen Kreis schlägt, und statt jeder Strecke den Punkt setzt, in welchem sie die Peripherie trifft, versehen mit einem Gewicht, welches der Länge jener Strecke proportional ist, so kann man die Mischfarbe aus 2 gegebenen Farben auf folgende Weise finden: Man stellt jede der zu mischenden Farben durch einen solchen schweren Punkt der Peripherie dar, so nämlich, dafs der zugehörige Radius den Farbenton anzeigt, und das zugehörige Gewicht die Farbenintensität ausdrückt, und bestimmt den Schwerpunkt. Dann zeigt die Strecke, welche vom Mittelpunkte nach diesem Schwerpunkt gezogen ist, den Farbenton an, und, nachdem sie mit der Summe der Gewichte multiplicirt ist, auch die Farbenintensität. Die Identität dieser Bestimmung mit der früheren ergiebt sich leicht aus folgender, in meiner Ausdehnungslehre erwiesenen Construction des Schwerpunktes: Den Schwerpunkt der Punkte A, B, C...., welche beziehlich mit den Gewichten a, B, y,... versehen sind, findet man, indem man von einem beliebigen Punkte O die Strecken OA, OB, OC... zieht, diese beziehlich mit a, ß, y,... multiplicirt d. b. ihre Länge, ohne ihre Richtung zu ändern, im Verhältnifs 1: a, 1:ß, 1:7,... ändert, aus den so gePoggendorff's Annal. Bd. LXXXIX.

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wonnenen Strecken die geometrische Summe bildet, und diese durch a+ß+y+... dividirt, so ist der Endpunkt der so gewonnenen Strecke der gesuchte Schwerpunkt.

Was endlich die Beimischung des farblosen Lichtes betrifft, so ist dazu noch eine Voraussetzung erforderlich. Am einfachsten ist es, anzunehmen:

>> dafs die gesammte Lichtintensität der Mischung die Summe sey aus den Intensitäten der gemischten Lichter. « Hierbei verstehe ich unter der gesammten Lichtintensität die Summe aus der Intensität der Farbe, wie ich sie oben festgestellt habe, und aus der Intensität des beigemischten Weifs, und die Intensität des Weifsen, wie auch jeder einzelnen Farbe, setze ich dabei nicht dem Quadrat der Vibrationsintensität, sondern dieser selbst proportional, so dafs also bei der Vermischung zweier weifsen oder gleichfarbigen Lichter die Intensität der Mischung die Summe wird aus den Intensitäten der vermischten Lichter. Es ist diese vierte Voraussetzung nicht als eine so wohl begründete zu betrachten, wie die früheren, obwohl sie sich aus theoretischen Betrachtungen durchaus als die wahrscheinlichste ergiebt. Um die Folgerungen aus dieser Hypothese zu ziehen, wollen wir die Intensität der durch die Strecke a dargestellten Farbe gleich 1 setzen, und annehmen, dafs die verschiedenen homogenen Farben, deren Intensität 1 ist, durch Punkte der Peripherie dargestellt werden, so dafs das Gewicht dieser Punkte dem Obigen gemäfs gleichfalls gleich 1 gesetzt werden muss. Nun seyen (Fig. 18) A und B zwei Punkte der Peripherie, welche also homogene Farben von der Intensität 1 darstellen. Es mögen nun die Farben a A und B vermischt werden, d. h. zwei homogene Farben deren Intensitäten a und sind, und deren Farbentöne A und B sind, so ist die Summe der Intensitäten a+B. Um nun die Farbe der Mischung zu bestimmen, haben wir nach dem Obigen den Schwerpunkt der mit den Gewichten a und versehenen Punkte A und B zu suchen. Es sey derselbe C, der Mittelpunkt des Kreises sey 0, so ist, wenn der Radius des Kreises 1 gesetzt ist, nach dem Obigen die

Farbenintensität gleich (a+B) OC. Es sey der Punkt worin OC verlängert die Peripherie trifft, D, so ist die Gesammtintensität a+, oder, da der Radius 1 gesetzt ist, (a+B) OD. Diese Gesammtintensität soll nach der gemachten Voraussetzung gleich der Intensität der Farbe plus der Intensität des beigemischten Weifs seyn, also ist letztere gleich (a+ß) OD—(a+ß) OC d. h. = (a+ß) CD. Also ist die Intensität des beigemischten Weifs gleich der mit der Summe der Gewichte multiplicirten Entfernung des Schwerpunktes von der Peripherie. Hieraus folgt dann weiter, dass wenn man stets die gesammte Masse im Schwerpunkt vereinigt denkt, in welchem Falle man den mit einem solchen Gewicht versehenen Schwerpunkt die geometrische Summe der einzelnen mit ihren Gewichten behafteten Punkte nennt '), dann jeder Lichteindruck nach seinen drei Momenten genau durch einen mit einem gewissen Gewichte behafteten Punkt dargestellt wird. Die Richtung, in welcher dieser Punkt vom Centrum aus liegt, oder auch der Punkt, worin diese Richtung die Peripherie trifft, stellt den Farbenton dar, das Gewicht des Punktes die gesammte Lichtintensität; die mit diesem Gewichte multiplicirte Entfernung vom Centrum stellt die Intensität der Farbe dar, und die mit dem Gewichte multiplicirte Entfernung von der Peripherie die Intensität des beigemischten Weiss. Wenn wir unter Farbensättigung eines Lichtes die Intensität seiner Farbe, dividirt durch die ganze Lichtintensität, verstehen, so wird die Farbensättigung durch die einfache Entfernung des Punktes vom Centrum dargestellt. Hat man dann auf diese Weise zwei oder mehre zu mischende Farben dargestellt, so wird die Mischung vollständig durch die geometrische Summe der die einzelnen Farben darstellenden schweren Punkte dargestellt. Man sieht, dafs diefs hier auf rein mathematischem Wege aus vier hinreichend begründeten Voraussetzungen abgeleitete Gesetz in seinen wesentlichen Zügen mit Newton's empirischer Regel, wie er sie am angeführten Orte aufstellt, übereinstimmt. Doch 1) S. Meine Ausdehnungslehre und Möbius barycentrischen Calcul.