die Geschwindigkeiten der Wassertheilchen gleich zu setzen den auf ein magnetisches Theilchen ausgeübten Kräften geschlossener elektrischer Ströme, welche theils durch die Wirbelfäden im Innern der Masse, theils in ihrer Oberfläche fliessen, und deren Intensität dem Product aus dem Querschnitt der Wirbelfäden und ihrer Rotationsgeschwindigkeit proportional ist. Ich werde mir deshalb im Folgenden öfter erlauben, die Anwesenheit von magnetischen Massen oder elektrischen Strömen zu fingiren, blos um dadurch für die Natur von Functionen einen kürzeren und anschaulicheren Ausdruck zu gewinnen, die eben solche Functionen der Coordinaten sind, wie die Potentialfunctionen oder Anziehungskräfte, welche jenen Massen oder Strömen für ein magnetisches Theilchen zukommen. Durch diese Sätze wird die Reihe der Bewegungsformen, welche in der nicht behandelten Klasse der Integrale der hydrodynamischen Gleichungen verborgen sind, wenigstens für die Vorstellung zugänglich, wenn auch die vollständige Ausführung der Integration nur in wenigen einfachsten Fällen möglich ist, wo nur ein oder zwei geradlinige oder kreisförmige Wirbelfäden vorhanden sind in unbegrenzten oder durch eine unendliche Ebene theilweis begrenzten Wassermassen. Es lässt sich nachweisen, dass geradlinige parallele Wirbelfäden in einer Wassermasse, die nur durch senkrecht gegen 28 die Fäden gestellte Ebenen begrenzt ist, um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt rotiren, wenn man zur Bestimmung dieses Punktes die Rotationsgeschwindigkeit gleich der Dichtigkeit einer Masse betrachtet. Die Lage des Schwerpunkts bleibt unverändert. Bei kreisförmigen Wirbelfäden dagegen, die alle auf einer gemeinsamen Axe senkrecht stehen, bewegt sich der Schwerpunkt ihres Querschnitts parallel der Axe fort. § 1. Definition der Rotation. Es sei innerhalb einer tropfbaren Flüssigkeit in dem Punkte, der durch die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z bestimmt ist, zur Zeit t der Druck gleich p, die den drei Coordinataxen parallelen Componenten der Geschwindigkeit u, v, w, die Componenten der auf die Einheit der flüssigen Masse wirkenden äusseren Kräfte X, Y und Z, und die Dichtigkeit, deren Aenderungen als verschwindend klein angesehen werden, gleich h, so sind die bekannten Bewegungsgleichungen für die inneren Punkte der Flüssigkeit: Man hat bisher fast ausschliesslich nur solche Fälle behandelt, wo nicht nur die Kräfte X, Y und Z ein Potential V haben, also auf die Form gebracht werden können: sondern auch ausserdem ein Geschwindigkeitspotential funden werden kann, so dass: (1 a) ge (1 b) Dadurch vereinfacht sich die Aufgabe ausserordentlich, indem die drei ersten der Gleichungen (1) eine gemeinsame Integralgleichung geben, aus der p zu finden ist, nachdem man der vierten Gleichung gemäss bestimmt hat, welche in diesem Falle die Gestalt annimmt: also mit der bekannten Differentialgleichung für das Potential 29 magnetischer Massen übereinstimmt, welche ausserhalb des Raumes liegen, für den diese Gleichung gelten soll. Auch ist bekannt, dass jede Function, welche die obige Differentialgleichung innerhalb eines einfach zusammenhängenden 1) Rau mehrdeutig 1) In mehrfach zusammenhängenden Räumen kann werden, und für mehrdeutige Functionen, die der obigen Differentialgleichung Genüge thun, gilt der Fundamentalsatz von Green's Theorie der Elektricität (dieses Journal Bd. XLIV, S. 360) nicht, und demgemäss auch ein grosser Theil der aus ihm herfliessenden Sätze nicht, welche Gauss und Green für die magnetischen Potentialfunctionen aufgestellt haben, die ihrer Natur nach immer eindeutig sind. mes erfüllt, als das Potential einer bestimmten Vertheilung magnetischer Massen an der Oberfläche des Raumes ausgedrückt werden kann, wie ich schon in der Einleitung angeführt habe. Damit die in der Gleichung (1 b.) verlangte Substitution gemacht werden könne, muss sein: Um die mechanische Bedeutung dieser letzteren drei Bedingungen zu verstehen, können wir uns die Veränderung, welche irgend ein unendlich kleines Wasservolum in dem Zeittheilchen dt erleidet, zusammengesetzt denken aus drei verschiedenen Bewegungen: 1) einer Fortführung des Wassertheilchens durch den Raum hin, 2) einer Ausdehnung oder Zusammenziehung des Theilchens nach drei Hauptdilatationsrichtungen, wobei ein jedes aus Wasser gebildete rechtwinklige Parallelepipedon, dessen Seiten den Hauptdilatationsrichtungen parallel sind, rechtwinklig bleibt, während seine Seiten zwar ihre Länge ändern, aber ihren früheren Richtungen parallel bleiben, 3) einer Drehung um eine beliebig gerichtete temporäre Rotationsaxe, welche Drehung nach einem bekannten Satze immer als Resultante dreier Drehungen um die Coordinataxen angesehen werden kann. Sind in dem Punkte, dessen Coordinaten, und 3 sind, die unter (1 c) aufgestellten Bedingungen erfüllt, so wollen wir die Werthe von u, v, w und ihren Differentialquotienten in jenem Punkte folgendermassen bezeichnen: 30 und erhalten dann für Punkte, deren Coordinaten x, y, z unendlich wenig von x, y, z verschieden sind: u = A + a (x − x) + y (y − y) + ẞ (≈ − 3), · (z v = B+ y (x − x) + b ( y − y) + α (≈ − 3), oder wenn wir setzen: q = A ( x − x) + B (y − y) + C(z − 3) + §a (x − x)2 + §b (y − y)2 + {c (≈ − 3)2 + a (y — 19) (z − 3) + ẞ (x — x) (≈ — 3) so ist: +7(x − x) (y − y), Es ist bekannt, dass man durch eine geeignete Wahl anders gerichteter rechtwinkliger Coordinaten z1, y1, z1, deren Mittelpunkt im Punkte x, y, z liegt, den Ausdruck für & auf die Form bringen kann: ¶ = A1 x1 + B11 + С1 z1 + § α, x} + {b1 y} + {c1 z}, wo dann die nach diesen neuen Coordinataxen zerlegten Geschwindigkeiten u1, v1, w1 die Werthe erhalten: 1 wi μ1 = А1 + α1 x1, v1 = B1 + b11, w1 = C1 + c1 Z 1 Die der 1-Axe parallele Geschwindigkeit u, ist also gleich für alle Wassertheilchen für welche denselben Werth hat, oder Wassertheilchen, welche zu Anfang des Zeittheilchens dt in einer den y, z, parallelen Ebene liegen, sind auch am Schlusse des Zeittheilchens dt in einer solchen. Dasselbe gilt für die 11 und 1 z1 Ebene. x1 y1 Wenn wir also ein Parallelepipedon durch drei den letztgenannten Coordinatebenen parallele und ihnen unendlich nahe Ebenen begrenzt denken, so bilden. die darin eingeschlossenen Wassertheilchen auch nach Ablauf des Zeitheilchens dt ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Flächen denselben Coordinatebenen parallel sind. Die ganze Bewegung eines solchen unendlich kleinen Parallelepipedon ist also unter der in (1 c) ausgesprochenen Voraussetzung zusammengesetzt nur aus einer Translationsbewegung im Raume, und einer Ausdehnung oder Zusammenziehung seiner Kanten, und es ist keine Drehung desselben vorhanden. Kehren wir zurück zu dem ersten Coordinatsystem der x, y, z und denken wir nun zu den bisher vorhandenen Bewegungen der den Punkt z umgebenden unendlich kleinen Wassermasse noch Rotationsbewegungen um Axen, die denen 31 der x, y und z parallel sind, und durch den Punkt z gehen, hinzugefügt, deren Winkelgeschwindigkeiten beziehlich sein mögen §, n,, so sind die davon herrührenden Geschwindig keitscomponenten parallel den Coordinataxen der x, y, z beziehlich: Die Geschwindigkeiten des Theilchens, dessen Coordinaten x, y, z sind, werden nun also: Die Grössen der linken Seite also, welche nach den Gleichungen (1 c.) gleich Null sein müssen, wenn ein Geschwindigkeitspotential existiren soll, sind gleich den doppelten Rotationsgeschwindigkeiten der betreffenden Wassertheilchen um die drei Coordinataxen. Die Existenz eines Geschwindigkeitspotentials schliesst die Existenz von Rotationsbewegungen der Wassertheilchen aus. Als eine weitere charakteristische Eigenthümlichkeit der Flüssigkeitsbewegung mit einem Geschwindigkeitspotential soll hier ferner noch angeführt werden, dass in einem ganz von festen Wänden eingeschlossenen, ganz mit Flüssigkeit gefüllten und einfach zusammenhängenden Raume S keine solche Bewegung vorkommen kann. Denn wenn wir mit n die nach innen gerichtete Normale der Oberfläche eines solchen Raumes bezeichnen, muss die zur Wand senkrecht gerichtete Geschwindigkeitscomponente dq/dn überall gleich Null sein. Dann ist nach einem bekannten Satze1) von Green: 2 2 dq ф dn SSS [(da)2 + (dg)2 + (dz)3]dx dy dr = − fød¶ dw, 1) Der vorher schon angeführte Satz in Journ. f. r. u. a. Math. Bd. LIV. S. 108, welcher nicht für mehrfach zusammenhängende Räume gilt. |