wo links die Integration über den ganzen Raum S, rechts über die ganze Oberfläche von S, deren Flächenelement mit do bezeichnet ist, ausgedehnt werden muss. Ist nun do/dn an der ganzen Oberfläche gleich Null, so muss auch das Integral links gleich Null sein, was nur der Fall sein kann, wenn im ganzen Raume S: αφ = also gar keine Bewegung des Wassers stattfindet. Jede Bewegung einer begrenzten Flüssigkeitsmasse in einem einfach zusammenhängenden Raume, die ein Geschwindigkeitspotential hat, ist also nothwendig mit einer Bewegung der Oberfläche der Flüssigkeit verbunden. Ist diese Bewegung der Oberfläche, d. h. dq/dn vollständig gegeben, so ist dadurch auch die ganze Bewegung der eingeschlossenen Flüssigkeitsmasse eindeutig bestimmt. Denn gäbe es zwei Funktionen q, und 9,,, welche gleichzeitig im Inneren des Raumes S der Gleichung: d2q d2 op d2q + + = 0 dx2 dy dz2 genügten und an der Oberfläche die Bedingung: dq dn erfüllten, wo die durch die gegebene Bewegung der Oberfläche bedingten Werthe von dq/dn bezeichnet, so würde auch die Function (,,,) die erstere Bedingung im Innern von S erfüllen, an der Oberfläche aber: sein, woraus wie eben gezeigt ist, auch für das ganze Innere von S folgen würde: Beiden Functionen würden also genau dieselben Geschwindigkeiten auch im ganzen Innern von S entsprechen. Also nur in dem Falle, wo kein Geschwindigkeitspotential existirt, können Drehungen der Wassertheilchen, und in sich zurücklaufende Bewegungen innerhalb einfach zusammenhängen- 33 der ganz geschlossener Räume vorkommen. Wir können daher die Bewegungen, denen ein Geschwindigkeitspotential nicht zukommt, im Allgemeinen als Wirbelbewegungen charakterisiren. § 2. Constanz der Wirbelbewegung. Wir wollen zunächst die Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeiten §, n und während der Bewegung bestimmen, wenn nur Kräfte wirken, denen ein Kräftepotential zukommt. Ich bemerke zunächst im allgemeinen, dass wenn eine Function von x, y, z, t ist, und um o wächst, während die letzteren vier Grössen um da, oy, Oz und dt wachsen, wir haben: Soll nun die Aenderung von y während des Zeittheilchens ot für ein constant bleibendes Wassertheilchen bestimmt werden, so müssen wir den Grössen dx, dy und öz dieselben Werthe geben, welche sie für das bewegte Wassertheilchen haben, nämlich: Das Zeichen /ot werde ich im Folgenden immer nur in dem Sinne gebrauchen, dass (w/ot) dt die Aenderung von während der Zeit dt für dasselbe Wassertheilchen bezeichnet, dessen Coordinaten zu Anfang der Zeit dt x, y und z waren. Indem wir aus den ersten der Gleichungen (1) mit Hülfe von Differentiationen die Grösse p eliminiren, und dabei die Bezeichnungen der Gleichungen (2) einführen, und für die Kräfte X, Y, Z die Gleichungen (1a) als erfüllbar betrachten, erhalten wir folgende drei Gleichungen: Wenn in einem Wassertheilchen §, ʼn und § gleichzeitig gleich Null sind, sind auch: aş an as = = at де at Diejenigen Wassertheilchen also, welche nicht schon Rotationsbewegungen haben, bekommen auch im Verlaufe der Zeit keine Rotationsbewegungen. Bekanntlich kann man Rotationen nach der Methode des Parallelogramms der Kräfte zusammensetzen. Sind §, n, die Rotationsgeschwindigkeiten um die Coordinataxen, so ist die Rotationsgeschwindigkeit q um die augenblickliche Axe der und die Cosinus der Winkel, welche diese Axe mit den Coordinaten bildet, sind beziehlich §/q, n/q und S/q. Wenn wir nun in Richtung dieser in Richtung dieser augenblicklichen Drehungsaxe, das unendlich kleine Stück qɛ abschneiden, so sind die Projectionen dieses Stückes auf die drei Coordinataxen beziehlich §, an und &. Während im Punkte x, y, z εξ, εη εξ. die Componenten der Geschwindigkeit u, v und w sind, sind sie am anderen Endpunkte von qɛ beziehlich: Nach Verlauf der Zeit dt haben also die Projectionen der Entfernung der beiden Wassertheilchen, welche zu Anfang von dt das Stück qɛ begrenzten, einen Werth erlangt, welchen man mit Berücksichtigung der Gleichungen (3) folgendermassen schreiben kann: Links stehen hier die Projectionen der neuen Lage der Verbindungslinie qɛ, rechts die mit dem constanten Factor & multiplicirten Projectionen der neuen Rotationsgeschwindigkeit; es folgt aus diesen Gleichungen, dass die Verbindungslinie der beiden Wassertheilchen, welche zu Anfang der Zeit dt das Stück qɛ der augenblicklichen Rotationsaxe begrenzten, auch nach Ablauf der Zeit dt noch mit der jetzt geänderten Rotationsaxe zusammenfällt. Wenn wir eine Linie, deren Richtung überall mit der Richtung der augenblicklichen Rotationsaxe der dort befindlichen Wassertheilchen zusammentrifft, wie oben festgesetzt ist, eine Wirbellinie nennen, so können wir den eben gefundenen Satz so aussprechen: Eine jede Wirbellinie bleibt fortdauernd aus denselben Wassertheilchen zusammengesetzt, während sie mit diesen Wassertheilchen in der Flüssigkeit fortschwimmt. Die rechtwinkligen Componenten der Rotationsgeschwindigkeit nehmen in demselben Verhältnisse zu, wie die Projectionen des Stückes &q der Rotationsaxe; daraus folgt, dass die Grösse εφ der resultirenden Rotationsgeschwindigkeit in einem bestimmten Wassertheilchen in demselben Verhältnisse sich verändert, wie der Abstand dieses Wassertheilchens von seinen Nachbarn in der Rotationsaxe Denken wir uns durch alle Punkte des Umfanges einer unendlich kleinen Fläche Wirbellinien gelegt, so wird dadurch aus der Flüssigkeit ein Faden von unendlich kleinem Querschnitt herausgetheilt, der Wirbelfaden genannt werden soll. Das Volumen eines zwischen zwei bestimmten Wassertheilchen gelegenen Stückes eines solchen Fadens, welches nach den eben bewiesenen Sätzen immer von denselben Wassertheilchen angefüllt bleibt, muss bei der Fortbewegung constant bleiben, sein Querschnitt sich also im umgekehrten Verhältnisse als die Länge ändern. Danach kann man den eben hingestellten Satz auch so aussprechen: Das Product aus der Rotationsgeschwindigkeit und dem Querschnitte in einem aus denselben Wassertheilchen bestehenden Stücke eines Wirbelfadens bleibt bei der Fortbewegung desselben constant. Aus den Gleichungen (2) folgt unmittelbar, dass: wobei die Integration tiber einen ganz beliebigen Theil S der Wassermasse ausgedehnt werden kann. integriren, folgt daraus: Wenn wir partiell ff §dy dz + ff n dx dz + ff ¿dx dy = 0, wobei die Integrationen über die ganze Oberfläche des Raumes S auszudehnen sind. Nennen wir do ein Flächenelement dieser Oberfläche und α, ß, y die drei Winkel, welche die nach aussen gerichtete Normale von do mit den Coordinataxen bildet, so ist: dydz= = cos a do, dx dz = cos dw, dx dy = cos 7 do, also: ff (cos + cos + cos y) do = 0, y oder wenn man die resultirende Rotationsgeschwindigkeit nennt, und ✈ den Winkel zwischen ihr und der Normale, ffo cos &.dw = 0, die Integration über die ganze Oberfläche von S ausgedehnt. Nun sei S ein Stück eines Wirbelfadens, begrenzt durch zwei unendlich kleine senkrecht gegen die Axe des Fadens gelegte Ebenen w, und w,,, so ist cos 9 an einer dieser Ebenen gleich 1, an der andern 1, an der ganzen übrigen Oberfläche des Fadens gleich 0, folglich wenn 6, und σ,, die Rotationsgeschwindigkeiten in o, und w,, sind, reducirt sich die letzte Gleichung auf: woraus folgt: Das Product aus der Rotationsgeschwindigkeit und dem Querschnitte ist in der ganzen Länge Helmholtz, wissensch. Abhandlungen. 8 36 |