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Addiren wir diese drei Gleichungen und nennen das Flächenelement der Oberfläche von S wieder do, so erhalten wir:

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so sind beide Integrale gleich 0 und die Gleichung (5b) wie die Gleichungen (2) erfüllt. Die Gleichungen (4) und (5) oder (5a) sind somit wirklich Integrale der Gleichungen (1), und (2).

Die in der Einleitung erwähnte Analogie zwischen den Fernwirkungen der Wirbelfäden und den electromagnetischen Fernwirkungen stromleitender Drähte, welche ein sehr gutes Mittel abgiebt, um die Form der Wirbelbewegungen anschaulich zu machen, ergiebt sich aus diesen Sätzen.

Wenn wir die Werthe von L, M, N aus den Gleichungen (5a) in die Gleichung (4) setzen, und diejenigen unendlich kleinen Theile von u, v und w, welche in den Integralen von dem Körperelemente da, db, de herrühren, mit Дu, ▲v, ▲w bezeichnen, ihre Resultante mit 4p, so ist:

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desselben Wirbelfadens constant. Dass es sich auch bei der Fortbewegung des Fadens nicht ändert, ist vorher schon bewiesen worden.

Es folgt hieraus auch, dass ein Wirbelfaden nirgends innerhalb der Flüssigkeit aufhören dürfe, sondern entweder ringförmig innerhalb der Flüssigkeit in sich zurücklaufen, oder 37 bis an die Grenzen der Flüssigkeit reichen müsse. Denn wenn ein Wirbelfaden innerhalb der Flüssigkeit irgend wo endete, würde sich eine geschlossene Fläche construiren lassen, für welche das Integral focos.do nicht den Werth Null hätte.

§ 3. Integration nach dem Raume.

Wenn man die Bewegung der in der Flüssigkeit vorhandenen Wirbelfäden bestimmen kann, so werden durch die hingestellten Sätze auch die Grössen, und vollständig zu bestimmen sein. Wir wollen jetzt an die Aufgabe gehen, aus den Grössen §, und die Geschwindigkeiten u, v und w zu finden. Es seien also innerhalb einer Wassermasse, die den Raum S einnimmt, die Werthe von §, und gegeben, welche drei Grössen der Bedingung genügen, dass:

η

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Es sollen gefunden werden u, v und w, so dass sie innerhalb des ganzen Raumes S den Bedingungen genügen, dass:

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Dazu kommen noch die durch die jedesmalige Natur der Aufgabe für die Grenze des Raumes S geforderten Bedingungen.

Bei der gegebenen Vertheilung von §, 7, können nun theils Wirbellinien vorkommen, welche innerhalb des Raumes S geschlossen in sich zurücklaufen, theils solche, welche die Grenze von S erreichen und hier abbrechen. Wenn letzteres

der Fall ist, so kann man jedenfalls entweder auf der Oberfläche von S oder ausserhalb S diese Wirbellinien fortsetzen und in sich zurücklaufend schliessen, so dass dann ein grösserer Raum S existirt, welcher nur geschlossene Wirbellinien enthält, und an dessen ganzer Oberfläche §,, und ihre Resultante selbst gleich Null sind, oder wenigstens:

cos an cos + cos y = o cos &

= 0.

(2b) Wie vorher bedeuten hier a, B, 7 die Winkel zwischen der 38 Normale des betreffenden Theiles der Oberfläche von S, und den Coordinataxen, den Winkel zwischen der Normale und der resultirenden Rotationsaxe.

Werthe von u, v, w, welche den Gleichungen (1), und (2) genügen, erhalten wir nun, indem wir setzen:

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und die Grössen L, M, N, P durch die Bedingungen bestimmen, dass innerhalb des Raumes S1:

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Wie diese letzteren Gleichungen integrirt werden, ist bekannt. L, M, N sind die Potentialfunctionen fingirter magnetischer Massen, die mit der Dichtigkeit - /2л,-/27, und -/27 durch den Raum S, verbreitet sind, P die Potentialfunction von Massen, die ausserhalb des Raumes S liegen. Bezeichnen wir die Entfernung eines Punktes, dessen Coordinaten a, b, c sind, von dem Punkte x, y, z mit r, und mit §a, na, Sa die Werthe von §, 7, in dem Punkte a, b, c, so ist also:

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die Integration über den Raum S1 ausgedehnt, und:

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(5 a)

39 Wo k eine willkührliche Function von a, b, c ist, und die Integration über den äusseren, S umschliessenden Raum auszudehnen ist. Die willkührliche Function k muss so bestimmt werden, dass die Grenzbedingungen erfüllt werden, eine Aufgabe, deren Schwierigkeit ähnlich denen über electrische und magnetische Vertheilung ist.

Dass die in (4) gegebenen Werthe von u, v und wo die Bedingung (1), erfüllen, ergiebt sich gleich durch Differentiation mit Berücksichtigung der vierten der Gleichungen (5).

Ferner findet man durch Differentiation der Gleichungen (4) mit Berücksichtigung der ersten drei von (5), dass:

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Die Gleichungen (2) sind also ebenfalls erfüllt, wenn nachgewiesen werden kann, dass im ganzen Raume S1:

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Dass dies der Fall sei, ergiebt sich aus den Gleichungen (5a):

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