1 - 2 SS/ da de- 24 SSS da db de, d M 1 = dy dN dz = 1 π 1 4 SS da db - 2 SSS 2π 2π 1 db 1 Addiren wir diese drei Gleichungen und nennen das Flächenelement der Oberfläche von S wieder do, so erhalten wir: so sind beide Integrale gleich 0 und die Gleichung (5b) wie die Gleichungen (2) erfüllt. Die Gleichungen (4) und (5) oder (5a) sind somit wirklich Integrale der Gleichungen (1), und (2). Die in der Einleitung erwähnte Analogie zwischen den Fernwirkungen der Wirbelfäden und den electromagnetischen Fernwirkungen stromleitender Drähte, welche ein sehr gutes Mittel abgiebt, um die Form der Wirbelbewegungen anschaulich zu machen, ergiebt sich aus diesen Sätzen. Wenn wir die Werthe von L, M, N aus den Gleichungen (5a) in die Gleichung (4) setzen, und diejenigen unendlich kleinen Theile von u, v und w, welche in den Integralen von dem Körperelemente da, db, de herrühren, mit 4u, 4v, 4w bezeichnen, ihre Resultante mit 4p, so ist: Aus diesen Gleichungen geht hervor, dass: Au (x-a)+4v (y—b) + Aw (z— c) = 0, mes erfüllt, als das Potential einer bestimmten Vertheilung magnetischer Massen an der Oberfläche des Raumes ausgedrückt werden kann, wie ich schon in der Einleitung angeführt habe. Damit die in der Gleichung (1 b.) verlangte Substitution gemacht werden könne, muss sein: Um die mechanische Bedeutung dieser letzteren drei Bedingungen zu verstehen, können wir uns die Veränderung, welche irgend ein unendlich kleines Wasservolum in dem Zeittheilchen dt erleidet, zusammengesetzt denken aus drei verschiedenen Bewegungen: 1) einer Fortführung des Wassertheilchens durch den Raum hin, 2) einer Ausdehnung oder Zusammenziehung des Theilchens nach drei Hauptdilatationsrichtungen, wobei ein jedes aus Wasser gebildete rechtwinklige Parallelepipedon, dessen Seiten den Hauptdilatationsrichtungen parallel sind, rechtwinklig bleibt, während seine Seiten zwar ihre Länge ändern, aber ihren früheren Richtungen parallel bleiben, 3) einer Drehung um eine beliebig gerichtete temporäre Rotationsaxe, welche Drehung nach einem bekannten Satze immer als Resultante dreier Drehungen um die Coordinataxen angesehen werden kann. Sind in dem Punkte, dessen Coordinaten x, y und z sind, die unter (1 c) aufgestellten Bedingungen erfüllt, so wollen wir die Werthe von u, v, w und ihren Differentialquotienten in jenem Punkte folgendermassen bezeichnen: 30 und erhalten dann für Punkte, deren Coordinaten x, y, z un endlich wenig von x, y, z verschieden sind: oder wenn wir setzen: q = A ( x − x) + B (y − y) + C(z − 3) + §a (x − x)2 ф + §b (y − y)2 + {c (z − z)2 + a (y − 1)) (z − 3) + ß (x − x) (≈ — z) so ist: Es ist bekannt, dass man durch eine geeignete Wahl anders gerichteter rechtwinkliger Coordinaten x1, y1, z1, deren Mittelpunkt im Punkte x, y, z liegt, den Ausdruck für Form bringen kann: auf die &= · Д1 ×1 + B1 î1 + С1 z1 + § α1 x2 + 1b1 y} + {c1 z}, wo dann die nach diesen neuen Coordinataxen zerlegten Geschwindigkeiten u1, v1, w1 die Werthe erhalten: = Ալ = Ą1 + α11‚ v1 = В12 + b1 Y1, w1 = C1 + c1 z1• Die der -Axe parallele Geschwindigkeit u, ist also gleich für alle Wassertheilchen für welche 1 denselben Werth hat, oder Wassertheilchen, welche zu Anfang des Zeittheilchens dt in einer den y11 parallelen Ebene liegen, sind auch am Schlusse des Zeittheilchens dt in einer solchen. Dasselbe gilt für die xy, und 1 z1 Ebene. y1 Wenn wir also ein Parallelepipedon durch drei den letztgenannten Coordinatebenen parallele und ihnen unendlich nahe Ebenen begrenzt denken, so bilden die darin eingeschlossenen Wassertheilchen auch nach Ablauf des Zeitheilchens dt ein rechtwinkliges Parallelepipedon, dessen Flächen denselben Coordinatebenen parallel sind. Die ganze Bewegung eines solchen unendlich kleinen Parallelepipedon ist also unter der in (1 c) ausgesprochenen Voraussetzung zusammengesetzt nur aus einer Translationsbewegung im Raume, und einer Ausdehnung oder Zusammenziehung seiner Kanten, und es ist keine Drehung desselben vorhanden. Kehren wir zurück zu dem ersten Coordinatsystem der x, y, z und denken wir nun zu den bisher vorhandenen Bewegungen der den Punkt 93 umgebenden unendlich kleinen Wassermasse noch Rotationsbewegungen um Axen, die denen 31 der x, y und z parallel sind, und durch den Punkt 3 gehen, hinzugefügt, deren Winkelgeschwindigkeiten beziehlich sein mögen §, n, s, so sind die davon herrührenden Geschwindig keitscomponenten parallel den Coordinataxen der x, y, z be Die Geschwindigkeiten des Theilchens, dessen Coordinaten x, y, z sind, werden nun also: — u = A + a (x − x) + (y + 5) (y − 1) + (8 − n) (z — 3), v = B+ (y − ?) (x − x) + b (y) − y) + (a + §) (z − 3), w = C + (B + n) (x − x) + (α − §) (y − y) + c (z — 3). Daraus folgt durch Differenziren: (2) 32 du dy Die Grössen der linken Seite also, welche nach den Gleichungen (1 c.) gleich Null sein müssen, wenn ein Geschwindigkeitspotential existiren soll, sind gleich den doppelten Rotationsgeschwindigkeiten der betreffenden Wassertheilchen um die drei Coordinataxen. Die Existenz eines Geschwindigkeitspotentials schliesst die Existenz von Rotationsbewegungen der Wassertheilchen aus. Als eine weitere charakteristische Eigenthümlichkeit der Flüssigkeitsbewegung mit einem Geschwindigkeitspotential soll hier ferner noch angeführt werden, dass in einem ganz von festen Wänden eingeschlossenen, ganz mit Flüssigkeit gefüllten und einfach zusammenhängenden Raume S keine solche Bewegung vorkommen kann. Denn wenn wir mit n die nach innen gerichtete Normale der Oberfläche eines solchen Raumes bezeichnen, muss die zur Wand senkrecht gerichtete Geschwindigkeitscomponente dq/dn überall gleich Null sein. Dann ist nach einem bekannten Satze1) von Green: 1) Der vorher schon angeführte Satz in Journ. f. r. u. a. Math. Bd. LIV. S. 108, welcher nicht für mehrfach zusammenhängende Räume gilt. wo links die Integration über den ganzen Raum S, rechts über die ganze Oberfläche von S, deren Flächenelement mit do bezeichnet ist, ausgedehnt werden muss. Ist nun do/dn an der ganzen Oberfläche gleich Null, so muss auch das Integral links gleich Null sein, was nur der Fall sein kann, wenn im ganzen Raume S: do do = = 0, dx dy dz also gar keine Bewegung des Wassers stattfindet. Jede Bewegung einer begrenzten Flüssigkeitsmasse in einem einfach zusammenhängenden Raume, die ein Geschwindigkeitspotential hat, ist also nothwendig mit einer Bewegung der Oberfläche der Flüssigkeit verbunden. Ist diese Bewegung der Oberfläche, d. h. do dn vollständig gegeben, so ist dadurch auch die ganze Bewegung der eingeschlossenen Flüssigkeitsmasse eindeutig bestimmt. Denn gäbe es zwei Funktionen, und „,, welche gleichzeitig im Inneren des Raumes S der Gleichung: erfüllten, wo y die durch die gegebene Bewegung der Oberfläche bedingten Werthe von dq/dn bezeichnet, so würde auch die Function (,,,) die erstere Bedingung im Innern von S erfüllen, an der Oberfläche aber: d(x,- 4.) sein, woraus wie eben gezeigt ist, auch für das ganze Innere von S folgen würde: Beiden Functionen würden also genau dieselben Geschwindigkeiten auch im ganzen Innern von S entsprechen. Also nur in dem Falle, wo kein Geschwindigkeitspotential existirt, können Drehungen der Wassertheilchen, und in sich zurücklaufende Bewegungen innerhalb einfach zusammenhängen- 33 der ganz geschlossener Räume vorkommen. Wir können daher |