die Bewegungen, denen ein Geschwindigkeitspotential nicht zukommt, im Allgemeinen als Wirbelbewegungen charakterisiren. § 2. Constanz der Wirbelbewegung. Wir wollen zunächst die Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeiten §, ʼn und § während der Bewegung bestimmen, wenn nur Kräfte wirken, denen ein Kräftepotential zukommt. Ich bemerke zunächst im allgemeinen, dass wenn eine Function von x, y, z, t ist, und um dy wächst, während die letzteren vier Grössen um dx, dy, oz und ot wachsen, wir haben: d¥ ax + dx dyaz. dz dy dt Soll nun die Aenderung von y während des Zeittheilchens ot für ein constant bleibendes Wassertheilchen bestimmt werden, so müssen wir den Grössen dx, dy und öz dieselben Werthe geben, welche sie für das bewegte Wassertheilchen haben, nämlich: Das Zeichen dy/dt werde ich im Folgenden immer nur in dem Sinne gebrauchen, dass (w/ot) dt die Aenderung von y während der Zeit dt für dasselbe Wassertheilchen bezeichnet, dessen Coordinaten zu Anfang der Zeit dt x, y und z waren. Indem wir aus den ersten der Gleichungen (1) mit Hülfe von Differentiationen die Grösse p eliminiren, und dabei die Bezeichnungen der Gleichungen (2) einführen, und für die Kräfte X, Y, Z die Gleichungen (1a) als erfüllbar betrachten, erhalten wir folgende drei Gleichungen: Wenn in einem Wassertheilchen §, ʼn und gleichzeitig gleich Null sind, sind auch: Diejenigen Wassertheilchen also, welche nicht schon Rotationsbewegungen haben, bekommen auch im Verlaufe der Zeit keine Rotationsbewegungen. Bekanntlich kann man Rotationen nach der Methode des Parallelogramms der Kräfte zusammensetzen. Sind &, n, die Rotationsgeschwindigkeiten um die Coordinataxen, so ist die Rotationsgeschwindigkeit q um die augenblickliche Axe der Rotation: q = V §2 + n2 + 52, und die Cosinus der Winkel, welche diese Axe mit den Coordinaten bildet, sind beziehlich §/q, n/q und /q. Wenn wir nun in Richtung dieser augenblicklichen Drehungsaxe, das unendlich kleine Stück qɛ abschneiden, so sind die Projectionen dieses Stückes auf die drei Coordinataxen beziehlich §, an und &. Während im Punkte x, y, z εξ, εη εξ. die Componenten der Geschwindigkeit u, v und w sind, sind sie am anderen Endpunkte von qɛ beziehlich: Nach Verlauf der Zeit dt haben also die Projectionen der Entfernung der beiden Wassertheilchen, welche zu Anfang von dt das Stück qɛ begrenzten, einen Werth erlangt, welchen man mit Berücksichtigung der Gleichungen (3) folgendermassen schreiben kann: Links stehen hier die Projectionen der neuen Lage der Verbindungslinie qe, rechts die mit dem constanten Factor ɛ multiplicirten Projectionen der neuen Rotationsgeschwindigkeit; es folgt aus diesen Gleichungen, dass die Verbindungslinie der beiden Wassertheilchen, welche zu Anfang der Zeit dt das Stück ge der augenblicklichen Rotationsaxe begrenzten, auch nach Ablauf der Zeit dt noch mit der jetzt geänderten Rotationsaxe zusammenfällt. Wenn wir eine Linie, deren Richtung überall mit der Richtung der augenblicklichen Rotationsaxe der dort befindlichen Wassertheilchen zusammentrifft, wie oben festgesetzt ist, eine Wirbellinie nennen, so können wir den eben gefundenen Satz so aussprechen: Eine jede Wirbellinie bleibt fortdauernd aus denselben Wassertheilchen zusammengesetzt, während sie mit diesen Wassertheilchen in der Flüssigkeit fortschwimmt. Die rechtwinkligen Componenten der Rotationsgeschwindigkeit nehmen in demselben Verhältnisse zu, wie die Projectionen des Stückes &q der Rotationsaxe; daraus folgt, dass die Grösse επ der resultirenden Rotationsgeschwindigkeit in einem bestimmten Wassertheilchen in demselben Verhältnisse sich verändert, wie der Abstand dieses Wassertheilchens von seinen Nachbarn in der Rotationsaxe Denken wir uns durch alle Punkte des Umfanges einer unendlich kleinen Fläche Wirbellinien gelegt, so wird dadurch aus der Flüssigkeit ein Faden von unendlich kleinem Querschnitt herausgetheilt, der Wirbelfaden genannt werden soll. Das Volumen eines zwischen zwei bestimmten Wassertheilchen gelegenen Stückes eines solchen Fadens, welches nach den eben. bewiesenen Sätzen immer von denselben Wassertheilchen angefüllt bleibt, muss bei der Fortbewegung constant bleiben, sein Querschnitt sich also im umgekehrten Verhältnisse als die Länge ändern. Danach kann man den eben hingestellten Satz auch so aussprechen: Das Product aus der Rotationsgeschwindigkeit und dem Querschnitte in einem aus denselben Wassertheilchen bestehenden Stücke eines Wirbelfadens bleibt bei der Fortbewegung desselben constant. Aus den Gleichungen (2) folgt unmittelbar, dass: Daraus weiter, dass: dE dn d dn d dy dz SSS(++) dx dy d:= 0, wobei die Integration über einen ganz beliebigen Theil S der Wassermasse ausgedehnt werden kann. integriren, folgt daraus: Wenn wir partiell ffždy dz + ff n de dz + ff ÿdx dy = 0, wobei die Integrationen über die ganze Oberfläche des Raumes S auszudehnen sind. Nennen wir do ein Flächenelement dieser Oberfläche und a, ß, y die drei Winkel, welche die nach aussen gerichtete Normale von do mit den Coordinataxen bildet, so ist: dydz = cos ado, da dz = cos ẞdw, dx dy = cosy do, also: ff (cos a + cos ẞ + cos y) do = 0, die resultirende Rotationsgeschwindigkeit den Winkel zwischen ihr und der Normale, oder wenn man nennt, und 36 die Integration über die ganze Oberfläche von S ausgedehnt. Nun sei S ein Stück eines Wirbelfadens, begrenzt durch zwei unendlich kleine senkrecht gegen die Axe des Fadens gelegte Ebenen w, und w,,, so ist cos an einer dieser Ebenen gleich 1, an der andern-1, an der ganzen übrigen Oberfläche des Fadens gleich 0, folglich wenn 6, und σ,, die Rotationsgeschwindigkeiten in ∞, und w,, sind, reducirt sich die letzte Gleichung auf: woraus folgt: Das Product aus der Rotationsgeschwindigkeit und dem Querschnitte ist in der ganzen Länge Helmholtz, wissensch. Abhandlungen. 8 desselben Wirbelfadens constant. Dass es sich auch bei der Fortbewegung des Fadens nicht ändert, ist vorher schon bewiesen worden. Es folgt hieraus auch, dass ein Wirbelfaden nirgends innerhalb der Flüssigkeit aufhören dürfe, sondern entweder ringförmig innerhalb der Flüssigkeit in sich zurücklaufen, oder 37 bis an die Grenzen der Flüssigkeit reichen müsse. Denn wenn ein Wirbelfaden innerhalb der Flüssigkeit irgend wo endete, würde sich eine geschlossene Fläche construiren lassen, für welche das Integral focos.do nicht den Werth Null hätte. § 3. Integration nach dem Raume. Wenn man die Bewegung der in der Flüssigkeit vorhandenen Wirbelfäden bestimmen kann, so werden durch die hingestellten Sätze auch die Grössen §, und vollständig zu bestimmen sein. Wir wollen jetzt an die Aufgabe gehen, aus den Grössen, und die Geschwindigkeiten u, v und w zu finden. Ľ Es seien also innerhalb einer Wassermasse, die den Raum S einnimmt, die Werthe von §, und gegeben, welche drei Grössen der Bedingung genügen, dass: Es sollen gefunden werden u, v und w, so dass sie innerhalb des ganzen Raumes S den Bedingungen genügen, dass: Dazu kommen noch die durch die jedesmalige Natur der Aufgabe für die Grenze des Raumes S geforderten Bedingungen. Bei der gegebenen Vertheilung von §, 77, können nun theils Wirbellinien vorkommen, welche innerhalb des Raumes S geschlossen in sich zurücklaufen, theils solche, welche die Grenze von S erreichen und hier abbrechen. Wenn letzteres |