der Fall ist, so kann man jedenfalls entweder auf der Oberfläche von S oder ausserhalb S diese Wirbellinien fortsetzen und in sich zurücklaufend schliessen, so dass dann ein grösserer Raum S existirt, welcher nur geschlossene Wirbellinien enthält, und an dessen ganzer Oberfläche,, und ihre Resultante selbst gleich Null sind, oder wenigstens:

cos a + cos + cos y = σ cos & = 0.

(2b) Wie vorher bedeuten hier a, B, 7 die Winkel zwischen der 38 Normale des betreffenden Theiles der Oberfläche von S1 und den Coordinataxen, den Winkel zwischen der Normale und der resultirenden Rotationsaxe.

Werthe von u, v, w, welche den Gleichungen (1), und (2) genügen, erhalten wir nun, indem wir setzen:

und die Grössen L, M, N, P durch die Bedingungen bestimmen, dass innerhalb des Raumes S1:

9

Wie diese letzteren Gleichungen integrirt werden, ist bekannt. L, M, N sind die Potentialfunctionen fingirter magnetischer Massen, die mit der Dichtigkeit - §/2л, —ŋ/2л, und -/27 durch den Raum S, verbreitet sind, P die Potentialfunction von Massen, die ausserhalb des Raumes S liegen. Bezeichnen wir die Entfernung eines Punktes, dessen Coordinaten a, b, c sind, von dem Punkte, y, z mit r, und mit §a, na, Sa die Werthe von §, 7, in dem Punkte a, b, c, so ist also:

die Integration über den Raum S, ausgedehnt, und:

P = SSS / da db de,

(5 a)

39 Wo k eine willkührliche Function von a, b, c ist, und die Integration über den äusseren, S umschliessenden Raum auszudehnen ist. Die willkührliche Function k muss so bestimmt werden, dass die Grenzbedingungen erfüllt werden, eine Aufgabe, deren Schwierigkeit ähnlich denen über electrische und magnetische Vertheilung ist.

Dass die in (4) gegebenen Werthe von u, v und wo die Bedingung (1), erfüllen, ergiebt sich gleich durch Differentiation mit Berücksichtigung der vierten der Gleichungen (5).

Ferner findet man durch Differentiation der Gleichungen (4) mit Berücksichtigung der ersten drei von (5), dass:

Die Gleichungen (2) sind also ebenfalls erfüllt, wenn nachgewiesen werden kann, dass im ganzen Raume S1:

d L d M
+ +
dx dy

d N

dz

= 0.

(5b)

Dass dies der Fall sei, ergiebt sich aus den Gleichungen (5a):

1

1

dna

ጥ db

1 da

.

da db de,

d-2-SS da db - 2 SSS da db de

N

dz

=

2π

Addiren wir diese drei Gleichungen und nennen das Flächenelement der Oberfläche von S wieder do, so erhalten wir:

so sind beide Integrale gleich 0 und die Gleichung (5b) wie die Gleichungen (2) erfüllt. Die Gleichungen (4) und (5) oder (5a) sind somit wirklich Integrale der Gleichungen (1), und (2).

Die in der Einleitung erwähnte Analogie zwischen den Fernwirkungen der Wirbelfäden und den electromagnetischen Fernwirkungen stromleitender Drähte, welche ein sehr gutes Mittel abgiebt, um die Form der Wirbelbewegungen anschaulich zu machen, ergiebt sich aus diesen Sätzen.

Wenn wir die Werthe von L, M, N aus den Gleichungen (5a) in die Gleichung (4) setzen, und diejenigen unendlich kleinen Theile von u, v und w, welche in den Integralen von dem Körperelemente da, db, de herrühren, mit Au, 4v, Aw bezeichnen, ihre Resultante mit 4p, so ist:

Aus diesen Gleichungen geht hervor, dass:

Au (x-a)+4v (y—b) + ▲w (z—c) = 0,

41

d. h. die Resultante 4p von 4u, 4 und 4w macht mit r einen rechten Winkel. Ferner:

a4u + a 4v + Cadw = 0,

d. h. dieselbe Resultante 4p macht auch mit der resultirenden Rotationsaxe in a, b, c einen rechten Winkel. Endlich:

dadbdc Ap=V Au2 + Av2 + Aw2

=

2712

σ sin v,

wo die Resultante von §a, na, a und der Winkel zwischen ihr und ist, welcher durch die Gleichung bestimmt wird: or cos (-a) a + (y—b) ja + (~—c) a.

v =

ge

Jedes rotirende Wassertheilchen a bedingt also in jedem anderen Theilchen b derselben Wassermasse eine Geschwindigkeit, welche senkrecht gegen die durch die Rotationsaxe von a und das Theilchen legte Ebene steht. Die Grösse dieser Geschwindigkeit ist direct proportional dem Volumen von a, seiner Rotationsgeschwindigkeit und dem Sinus des Winkels. zwischen der Linie ab und der Rotationsaxe, umgekehrt proportional dem Quadrat der Entfernung beider Theilchen.

Genau demselben Gesetze folgt die Kraft, welche eine in a befindliche electrische, der Rotationsaxe parallele Strömung auf ein in b befindliches magnetisches Theilchen ausüben würde.

Die mathematische Verwandtschaft beider Klassen von Naturerscheinungen beruht darin, dass bei den Wasserwirbeln in denjenigen Theilen des Wassermasse, welche keine Rotation haben, ein Geschwindigkeitspotential q existirt, welches der Gleichung: d2q d2 q d2q + dy2 dz2

dx2

+

= 0

=

Genüge thut, welche Gleichung nur innerhalb der Wirbelfäden nicht gilt. Wenn wir uns die Wirbelfäden aber immer als geschlossen denken entweder innerhalb oder ausserhalb der Wassermasse, so ist der Raum, in welchem die Differentialgleichung für gilt, ein mehrfach zusammenhängender, denn er bleibt noch zusammenhängend, wenn man Schnittflächen durch ihn gelegt denkt, deren jede durch einen Wirbelfaden vollständig begrenzt wird. In solchen mehrfach zusammenhängenden Räumen kann nun eine Function 4, welche der obigen Differentialgleichung genügt, mehrdeutig werden, und

sie muss mehrdeutig werden, wenn sie in sich selbst zurücklaufende Strömungen darstellen soll; denn da die Geschwindigkeiten der Wassermasse ausserhalb der Wirbelfäden den Differentialquotienten von proportional sind, so muss man der Bewegung des Wassers folgend zu immer grösseren Werthen von fortschreiten. Ist die Strömung also in sich zurücklaufend, und kommt man ihr folgend schliesslich an den Ort zurück, wo man schon früher war, so findet man für diesen einen zweiten höheren Werth von q. Da man dasselbe unendlich oft ausführen kann, so muss es unendlich viel verschiedene Werthe von für jeden Punkt eines solchen mehrfach zusammenhängenden Raumes geben, welche um gleiche Differenzen von einander verschieden sind, wie die verschiedenen Werthe von Arc tang (r/y), welches eine solche mehrdeutige Function ist, die der obigen Differentialgleichung genügt.

Ebenso verhält es sich mit den electromagnetischen Wir- 42 kungen eines geschlossenen electrischen Stromes. Derselbe wirkt in die Ferne, wie eine gewisse Vertheilung magnetischer Massen auf einer von dem Stromleiter begrenzten Fläche. Ausserhalb des Stromes können deshalb die Kräfte, die er auf ein magnetisches Theilchen ausübt, als die Differentialquotienten einer Potentialfunction V betrachtet werden, welche der Gleichung genügt:

Auch hier ist aber der Raum, welcher den geschlossenen Stromleiter umgiebt, und in dem diese Gleichung gilt, mehrfach zusammenhängend, und V vieldeutig.

Bei den Wirbelbewegungen des Wassers also, wie bei den electromagnetischen Wirkungen, hängen Geschwindigkeiten oder Kräfte ausserhalb des von Wirbelfäden oder electrischen Strömen durchzogenen Raumes von mehrdeutigen Potentialfunctionen ab, welche übrigens der allgemeinen Differentialgleichung der magnetischen Potentialfunctionen Genüge thun, während innerhalb des von Wirbelfäden oder electrischen Strömen durchzogenen Raumes statt der Potentialfunctionen, die hier nicht existiren, andere gemeinsame Functionen auftreten, wie sie in den Gleichungen (4), (5) und (5 a) hingestellt sind. Bei den