einfach fortströmenden Wasserbewegungen und den magnetischen Kräften dagegen haben wir es mit eindeutigen Potentialfunctionen zu thun, ebenso wie bei der Gravitation, den electrischen Anziehungskräften, den constant gewordenen electrischen und thermischen Strömungen.

Diejenigen Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, in denen ein eindeutiges Geschwindigkeitspotential existirt, können wir Integrale erster Klasse nennen. Diejenigen dagegen, bei welchen Rotationen eines Theils der Wassertheilchen und demgemäss in den nicht rotirenden Wassertheilchen ein mehrdeutiges Geschwindigkeitspotential vorkommt, Integrale zweiter Klasse. Es kann vorkommen, dass im letzteren Falle nur solche Theile des Raumes in der Aufgabe zu berücksichtigen sind, welche keine rotirenden Wassertheile enthalten, z. B. bei Bewegungen des Wassers in ringförmigen Gefässen, wobei ein Wirbelfaden durch die Axe des Gefässes gehend gedacht werden kann, und wo also die Aufgabe doch noch zu denen gehört, die mittels der Annahme eines Geschwindigkeitspotentials gelöst werden können.

In den hydrodynamischen Integralen erster Klasse sind die Geschwindigkeiten der Wassertheilchen gleich gerichtet und proportional den Kräften, welche eine gewisse ausserhalb 43 der Flüssigkeit befindliche Vertheilung magnetischer Massen auf ein am Orte des Wassertheilchens befindliches magnetisches Theilchen hervorbringen würde.

In den hydrodynamischen Integralen zweiter Klasse sind die Geschwindigkeiten der Wassertheilchen gleich gerichtet und proportional den auf ein magnetisches Theilchen wirkenden Kräften, welche geschlossene electrische, durch die Wirbelfäden fliessende Ströme, deren Dichtigkeit der Rotationsgeschwindigkeit dieser Fäden proportional wäre, vereint mit ausserhalb der Flüssigkeit befindlichen magnetischen Massen hervorbringen würden. Die electrischen Ströme innerhalb der Flüssigkeit würden mit dem betreffenden Wirbelfaden fortfliessen und constante Intensität behalten müssen. Die angenommene Vertheilung magnetischer Massen ausserhalb der Flüssigkeit oder auf ihrer Oberfläche muss so bestimmt werden, dass den Grenzbedingungen Genüge geschieht. Jede

magnetische Masse kann bekanntlich auch durch electrische Strömungen ersetzt werden. Statt also in den Werthen für u, v und w noch die Potentialfunction P einer ausserhalb liegenden Masse k hinzuzufügen, erhält man eine ebenso allgemeine Lösung, wenn man den Grössen, und ausserhalb oder selbst nur an der Oberfläche der Flüssigkeit beliebige Werthe ertheilt, aber so, dass nur geschlossene Stromfäden entstehen, und dann die Integration in den Gleichungen (5 a) über den ganzen Raum ausdehnt, in welchem , und von 0 verschieden sind.

§ 4. Wirbelflächen und Energie der Wirbelfäden.

In den hydrodynamischen Integralen erster Art genügt es, wie ich oben gezeigt habe, die Bewegung der Oberfläche zu kennen. Dadurch ist die Bewegung im Innern der Flüssigkeit ganz bestimmt. Bei den Integralen zweiter Art ist dagegen noch die Bewegung der innerhalb der Flüssigkeit befindlichen Wirbelfäden unter ihrem gegenseitigen Einflusse und mit Berücksichtigung der Grenzbedingungen zu bestimmen, wodurch die Aufgabe viel verwickelter wird. Indessen lässt sich für gewisse einfache Fälle auch diese Aufgabe lösen, namentlich für solche, wo Rotation der Wassertheilchen nur in gewissen Flächen oder Linien vorkommt, und die Gestalt dieser Flächen und Linien bei der Fortbewegung unverändert bleibt.

Die Eigenschaften von Flächen, welchen eine unendlich dünne Schicht rotirender Wassertheilchen anliegt, ergeben sich leicht aus den Gleichungen (5 a). Wenn §, und nur in einer unendlich dünnen Schicht von 0 verschieden sind, so werden ihre Potentialfunctionen L, M und N nach bekannten Sätzen auf beiden Seiten der Schicht gleiche Werthe haben, aber ihre Differentialquotienten, in Richtung der Normale der 44 Schicht genommen, werden verschieden sein. Denken wir uns die Coordinataxen so gelegt, dass an der von uns betrachteten Stelle der Wirbelfläche die z-Axe der Normale der Fläche, die x-Axe der Rotationsaxe der Wassertheilchen in der Fläche entspricht, so dass an dieser Stelle == 0, so werden die Potentiale M und N, so wie ihre Differentialquotienten auf beiden Seiten der Schicht dieselben Werthe haben, ebenso L

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und dL de und dL/dy, dagegen wird dLdz zwei verschiedene Werthe haben, deren Unterschied gleich 2 ist, wenn ɛ die Dicke der Schicht bezeichnet. Demgemäss ergeben die Gleichungen (4), dass u und w auf beiden Seiten der Wirbelfläche gleiche Werthe haben, v aber Werthe, die um 2ɛ von einander verschieden sind. Es ist also auf beiden Seiten einer Wirbelfläche diejenige Componente der Geschwindigkeit, welche senkrecht gegen die Wirbellinie stehend die Fläche tangirt, von verschiedenem Werthe. Innerhalb der Schicht rotirender Wassertheilchen muss man sich die betreffende Componente der Geschwindigkeit gleichmässig zunehmend denken von demjenigen Werthe der an der einen Seite der Fläche stattfindet, zu dem der anderen Seite. Denn wenn durch die ganze Dicke der Schicht hier constant ist, und « einen ächten Bruch bezeichnet, den Werth von v auf der einen, v, auf der anderen Seite, va in der Schicht selbst um aɛ von der ersten Seite entfernt, so sahen wir, dass vv, 2ğɛ, weil zwischen beiden eine Schicht von der Dicke & und der Rotationsintensität liegt. Aus demselben Grunde muss 'va = 2 § ɛ α = v« ફ્ દ ૮ «. (v′ — v1) sein, worin der hingestellte Satz liegt. Da wir uns die rotirenden Wassertheilchen selbst als bewegt denken müssen, und die Aenderung der Vertheilung auf der Fläche von ihrer Bewegung abhängt, so müssen wir ihnen als mittlere Geschwindigkeit ihres Fortfliessens längs der Fläche für die ganze Dicke der Schicht eine solche zuertheilen, welche dem arithmetischen Mittel der an beiden Seiten der Schicht stattfindenden Geschwindigkeiten entspricht.

Eine solche Wirbelfläche würde z. B. entstehen, wenn zwei vorher getrennte und bewegte Flüssigkeitsmassen in Berührung miteinander kommen. An der Berührungsfläche würden sich die gegen diese senkrechten Geschwindigkeiten nothwendig ausgleichen müssen. Die sie tangirenden Geschwindigkeiten werden aber im Allgemeinen in den beiden Flüssigkeitsmassen verschieden sein. Die Berührungsfläche würde also die Eigenschaften einer Wirbelfläche haben.

Dagegen darf man sich im Allgemeinen vereinzelte Wirbelfäden nicht als unendlich dünn denken, weil sonst die Geschwindigkeiten an entgegengesetzten Seiten des Fadens unendlich

grosse und entgegengesetzte Werthe erhalten, und die eigene Geschwindigkeit des Fadens deshalb unbestimmt wird. Um nun doch gewisse allgemeine Schlüsse für die Bewegung sehr dünner Fäden von beliebigem Querschnitt ziehen zu können, wird uns das Princip von der Erhaltung der lebendigen Kraft dienen. Ehe wir also zu einzelnen Beispielen übergehen, wollen wir noch die Gleichung für die lebendige Kraft K der bewegten Wassermasse bilden:

K = {h SSS (u2 + v2 + w2) dx dy dz.

Indem ich in dem Integral nach den Gleichungen (4) setze:

dP d N d M

(6)

+

dx

und partiell integrire, dann mit cos a, cos, cos und cos 9 die Winkel bezeichne, welche die nach innen gerichtete Normale des Elements do der Wassermasse mit den Coordinataxen und der resultirenden Geschwindigkeit q bildet, erhalte ich mit Berücksichtigung der Gleichungen (2) und (1),:

K

=

h

do [Pqcos + L (vcos y w cos B) (6 a)

+ M (w cos au cos y) + N(u cos 3

— v cos a)]

· h SSS (L § + M1, + N2) dx dy dz.

Den Werth von dK dt erhält man aus den Gleichungen (1), indem man die erste mit ", die zweite mit e, die dritte mit w multiplicirt und addirt:

Wenn man beide Seiten mit dæ dy dz multiplicirt, dann über die ganze Ausdehnung der Wassermasse integrirt, und berücksichtigt, dass wegen (1),:

wenn

im Innern der Wassermasse eine stetige und eindeutige

46 Function bezeichnet, so erhält man:

d K
dt

=

− С dw (p − h U + } hq2) q cos &.

(6 b)

Wenn die Wassermasse ganz in festen Wänden eingeschlossen ist, muss q cos an allen Punkten der Oberfläche gleich 0 sein, dann wird also auch dK/dt = 0, d. h. K constant.

Denkt man sich diese feste Wand in unendlicher Entfernung vom Anfangspunkt der Coordinaten und alle vorhandenen Wirbelfäden in endlicher Entfernung, so werden die Potentialfunctionen L, M, N, deren Massen §, n, jede in Summa gleich Null sind, in der unendlichen Entfernung R wie R-2 abnehmen, und die Geschwindigkeiten, ihre Differentialquotienten, wie R-3, das Flächenelement do aber, wenn es immer dem gleichen Kegelwinkel im Nullpunkte der Coordinaten entsprechen soll, wie R2 zunehmen. Das erste Integral in dem Ausdrucke für K (Gleichung (6 a)), welches über die Oberfläche der Wassermasse ausgedehnt ist, wird wie R-3 abnehmen, für ein unendliches R also gleich Null werden. Dann reducirt sich der Werth von K auf:

K = − h SSS (L§ + Mn+ NG) da dy dz

--

(6 c) und diese Grösse wird während der Bewegung nicht geändert

§ 5. Geradlinige parallele Wirbelfäden.

Wir wollen zuerst den Fall untersuchen, wo nur geradlinige, der Axe der z parallele Wirbelfäden existiren, entweder in einer unendlich ausgedehnten Wassermasse, oder in einer solchen Masse, die durch zwei gegen die Wirbelfäden senkrechte unendliche Ebenen begrenzt ist, was auf dasselbe herauskommt. Alle Bewegungen geschehen dann in Ebenen, die zur Axe der z senkrecht sind, und sind in allen diesen Ebenen genau dieselben.

Dann reduciren sich die Gleichungen (2) auf: