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Die Wirbelfäden behalten also constante Rotationsge- 47 schwindigkeit, so wie sie auch constanten Querschnitt behalten. Die Gleichungen (4.) reduciren sich auf:

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Ich habe hier nach der am Ende des § 3 gemachten Bemerkung P0 gesetzt. Die Gleichung der Strömungslinien ist also N Const.

= =

N ist in diesem Falle die Potentialfunction unendlich langer Linien; diese selbst ist unendlich gross, aber ihre Differentialquotienten sind endlich. Sind a und die Coordinaten eines Wirbelfadens, dessen Querschnitt da db ist, so ist: dN dadb x-a d N dadby-b

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=

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dx

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dy

=

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Es folgt hieraus, dass die resultirende Geschwindigkeit q senkrecht gegen r, das auf den Wirbelfaden gefällte Loth steht, und dass:

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Haben wir in einer in Richtung der a und y unendlich ausgedehnten Wassermasse mehrere Wirbelfäden, deren Coordinaten beziehlich 1, 1, 2, y2 u. s. w. sind, während das Product aus Rotationsgeschwindigkeit und Querschnitt eines jeden derselben mit m1, m2 etc. bezeichnet wird, und bilden wir die Summen:

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so werden dieselben gleich 0, weil der Antheil an der Summe V, der aus der Wirkung des zweiten Wirbelfadens auf den ersten entsteht, aufgehoben wird durch den vom ersten Wirbelfaden auf den zweiten. Beide sind nämlich:

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und so bei allen andern in beiden Summen. Nun ist U die Geschwindigkeit des Schwerpunktes der Massen m1, m, u. s. w. in Richtung der a, multiplicirt mit der Summe dieser Massen, ebenso parallel den y genommen. Beide Geschwindigkeiten sind also gleich Null, wenn nicht die Summe der Massen gleich Null, wo es überhaupt keinen Schwerpunkt giebt. Der · 48 Schwerpunkt der Wirbelfäden bleibt also bei ihrer Bewegung umeinander unverändert, und da dieser Satz für jede beliebige Vertheilung der Wirbelfäden gilt, so dürfen wir ihn auch auf einzelne Wirbelfäden von unendlich kleinem Querschnitt anwenden.

Daraus ergeben sich nun nachstehende Folgerungen:

1) Haben wir einen einzelnen geradlinigen Wirbelfaden von unendlich kleinem Querschnitt, in einer nach allen gegen den Wirbelfaden senkrechten Richtungen unendlich ausgedehnten Wassermasse, so hängt die Bewegung der Wassertheilchen in endlicher Entfernung von ihm nur ab von dem Product dadb= m aus der Rotationsgeschwindigkeit und der Grösse seines Querschnitts, nicht von der Form seines Querschnitts. Die Theilchen der Wassermasse rotiren um ihn mit der Tangentialgeschwindigkeit m/ar, wo r die Entfernung vom Schwerpunkte des Wirbelfadens bezeichnet. Die Lage des Schwerpunktes selbst, die Rotationsgeschwindigkeit, die Grösse des Querschnitts, also auch die Grösse m bleiben unverändert, wenn auch die Form des unendlich kleinen Querschnitts sich ändern kann.

2) Haben wir zwei geradlinige Wirbelfäden von unendlich kleinem Querschnitt in einer unbegrenzten Wassermasse, so wird jeder den anderen in einer Richtung forttreiben, welche senkrecht gegen ihre Verbindungslinie steht. Die Länge der Verbindungslinie wird dadurch nicht geändert. Es werden sich also beide um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt in gleich bleibendem Abstande drehen. Ist die Rotationsgeschwindigkeit in beiden Wirbelfäden gleich gerichtet, also von gleichem Vorzeichen, so muss ihr Schwerpunkt zwischen ihnen liegen. Ist sie entgegengesetzt gerichtet, also von ungleichem Vorzeichen, so hegt ihr Schwerpunkt in der Verlängerung ihrer Verbindungslinie. Und ist das Product aus der Rotationsgeschwindigkeit und

dem Querschnitte bei beiden gleich, aber von entgegengesetztem Zeichen, wobei der Schwerpunkt in unendlicher Entfernung liegen würde, so schreiten sie beide mit gleicher Geschwindigkeit und senkrecht gegen ihre Verbindungslinie in gleicher Richtung fort.

Auf den letzteren Fall kann man auch den zurückführen, wo ein Wirbelfaden von unendlich kleinem Querschnitte sich neben einer ihm parallelen unendlich ausgedehnten Ebene befindet. Die Grenzbedingung für die Bewegung des Wassers an der Ebene, dass sie der Ebene parallel sein müsse, erfüllt man, indem man jenseits der Ebene noch einen zweiten Wirbelfaden, das Spiegelbild des ersten, hinzugefügt denkt. Daraus folgt denn, dass der 49 in der Wassermasse befindliche Wirbelfaden parallel der Ebene fortschreitet in der Richtung, in welcher sich die Wassertheilchen zwischen ihm und der Ebene bewegen, und mit der Geschwindigkeit, welche die Wassertheilchen im Fusspunkt eines von dem Wirbelfaden auf die Ebene gefällten Lothes haben.

Bei geradlinigen Wirbelfäden führt die Annahme eines unendlich kleinen Querschnittes auf keine unzulässige Folgerung, weil jeder einzelne Faden auf sich selbst keine forttreibende Kraft ausübt, sondern nur durch den Einfluss der anderen vorhandenen Fäden fortgetrieben wird. Anders ist es bei gekrümmten Fäden.

§ 6. Kreisförmige Wirbelfäden.

In einer unendlich ausgedehnten Wassermasse seien nur kreisförmige Wirbelfäden vorhanden, deren Ebenen zur z-Axe senkrecht sind und deren Mittelpunkte in dieser Axe liegen, sodass rings um sie herum alles symmetrisch ist. Man ändere die Coordinaten, indem man setzt:

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Die Rotationsgeschwindigkeit ist nach der Annahme nur eine Function von und z oder von g und C, und die Rotationsaxe steht überall senkrecht auf z (oder g) und der z-Axe. Es sind also die rechtwinkeligen Componenten der Rotation in dem Punkte, dessen Coordinaten g, e und c sind:

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Indem man mit cos & und sin & multiplicirt und addirt, erhält man aus den Gleichungen für L und M:

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50 In beiden Integralen kommen die Winkel e und nur noch in der Verbindung (-e) vor, und diese Grösse kann deshalb als die Variable unter dem Integral betrachtet werden. In dem zweiten Integrale heben sich die Theile, in denen (ɛ − e) = e ist, gegen die auf, in denen (e) 2лe, es wird also gleich Null. Setzen wir:

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=

σ cose.gdg de de
V(c)+z+g2-2gx cos e

Mcos & L sin &=

Msine+L cos ε = 0,

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Nennen wir die Geschwindigkeit in Richtung des Radius z, und berücksichtigen, dass in Richtung der Kreisperipherie wegen der symmetrischen Lage der Wirbelringe zur Axe die Geschwindigkeit gleich Null sein muss, so haben wir:

u = T COSE, v = τ sinɛ,

und nach den Gleichungen (4):

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Wenn wir die im Werthe von angezeigte Integration zunächst für einen Wirbelfaden von unendlich kleinem Querschnitte ausführen, dabei setzen odg de m1, und den davon herrührenden Theil von y mit mi bezeichnen, so ist:

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=

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worin Fund E die ganzen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung für den Modul z bedeuten. Setzen wir der Kürze wegen:

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wo also U eine Function von x ist, so ist:

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d U Vg z dz

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Befindet sich nun in dem durch und z bestimmten Punkte ein zweiter Wirbelfaden m, und nennen wir t, die Geschwindigkeit in Richtung von g, welche er dem Wirbelfaden m1 mittheilt, so erhalten wir diese, indem wir in dem Ausdrucke für r:

statt τ x g z c mi

setzen T1g x c z m.

Dabei bleiben und U unverändert, und es wird:

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Bestimmen wir nun den Werth der der Axe parallelen Geschwindigkeit w, welchen der Wirbelfaden m1 hervorbringt, dessen Coordinaten g und c sind, so finden wir:

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%

welche der Wirbelring m, dessen Coordinaten z und sind, am Orte von m, hervorbringt, so braucht man dazu nur wie

Helmholtz, wissensch. Abhandlungen.

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