der die vorher schon angezeigte Vertauschung der betreffenden Coordinaten und Massen vorzunehmen. So findet man, dass:

Aehnliche Summen wie (8) und (8 a) lassen sich für eine beliebig grosse Anzahl von Wirbelringen bilden. Ich bezeichne für den nten derselben das Product odg de mit mn, die Componenten der Geschwindigkeit, welche ihm von den übrigen Wirbelringen mitgetheilt werden, mit τn und un, wobei aber vorläufig abgesehen wird von den Geschwindigkeiten, die jeder Wirbelring sich selbst mittheilen kann. Ich nenne ferner den Radius des Ringes on und die Entfernung von einer gegen die Axe senkrechten Fläche 2, welche beiden letzteren Grössen zwar der Richtung nach mit z und z übereinstimmen, aber als zu dem bestimmten Wirbelringe gehörig Functionen der Zeit, und nicht unabhängige Variable sind, wie z und z. Schliesslich 52 sei der Werth von y, so weit dieser von den anderen Wirbelringen herrührt . Es ergiebt sich aus (8) und (8a), indem man die entsprechenden Gleichungen für jedes einzelne Paar von Wirbelringen aufstellt und alle addirt:

χ

[mn On Yn].

So lange man in diesen Summen noch eine endliche Zahl getrennter und unendlich dünner Wirbelringe hat, darf man unter w, τ und nur diejenigen Theile dieser Grössen verstehen, welche von der Anwesenheit der anderen Ringe herrühren. Wenn man aber eine unendlich grosse Anzahl solcher Ringe den Raum continuirlich ausfüllend denkt, ist die Potentialfunction einer continuirlichen Masse, w und 7 sind Differentialquotienten dieser Potentialfunction, und es ist bekannt, dass sowohl in einer solchen Function wie in ihren Differentialquotienten die Theile der Function, welche von der Anwesenheit von Masse in einem unendlich kleinen den betreffenden Punkt, für den die Function bestimmt ist, umgebenden Raum herrühren, unendlich klein sind gegen die von endlichen Massen in endlicher Entfernung herrührenden. 1)

1) S. Gauss in Resultate des magnetischen Vereins im Jahre 1839, S. 7.

Verwandeln wir also die Summen in Integrale, so können wir unter w, und die ganzen in dem betreffenden Punkte geltenden Werthe dieser Grössen verstehen, und:

setzen. Die Grösse m ersetzen wir zu diesem Zwecke durch

Da das Product odo di gemäss § 2 nach der Zeit constant ist, so kann die Gleichung (9) nacht integrirt werden, und wir erhalten:

Denkt man den Raum durch eine Ebene getheilt, die durch die z-Axe geht und daher alle vorhandenen Wirbelringe schneidet, betrachten wir dann o als die Dichtigkeit einer Massenschicht, und nennen M die ganze in dieser Schicht der Ebene anliegende Masse, also:

M = ffo do dk,

und R2 den mittleren Werth von o2 für sämmtliche Massenelemente genommen, so ist:

ffoo.ododh = M R2,

und da dieses Integral und der Werth von M der Zeit nach constant sind, so folgt, dass auch R bei der Fortbewegung unverändert bleibt.

Existirt also in der unbegrenzten Flüssigkeitsmasse nur ein kreisförmiger Wirbelfaden von unendlich kleinem Querschnitte, so bleibt dessen Radius unverändert.

Die Grösse der lebendigen Kraft ist nach Gleichung (6 c) in unserem Falle:

=-2лh ff yo.ododh.

Sie ist ebenfalls der Zeit nach constant.

53

Indem wir ferner bemerken, dass, weil odo dλ nach der Zeit constant ist:

so wird die Gleichung (9a), wenn wir mit den Werth von 2 für den Schwerpunkt des Querschnittes des Wirbelfadens bezeichnen, damit (9) multipliciren und addiren:

Wenn der Querschnitt des Wirbelfadens unendlich klein ist, und eine unendlich kleine Grösse derselben Ordnung wie 7-2 und die übrigen Lineardimensionen des Querschnittes, o do dy aber endlich ist, so ist und auch K von derselben Ordnung unendlich grosser Quantitäten, wie logs. Für sehr kleine Werthe des Abstandes v vom Wirbelringe wird nämlich:

54 In dem Werthe von K wird y noch mit ୧ oder g multiplicirt.

Ist

9 endlich und v von der gleichen Ordnung mit ε, so ist K von der Ordnung log ɛ. Nur wenn g unendlich gross von der Ordnung 1/ε ist, wird K unendlich gross, wie (1/8) log ɛ. Dann geht der Kreis in eine gerade Linie über. Dagegen wird do dt, welches gleich dy/dz ist, von der Ordnung 1/ɛ, das zweite Integral also endlich und bei endlichem o verschwindend klein gegen K. In diesem Falle können wir im ersten Integrale das constante statt 2 setzen, und erhalten:

Da M und R constant sind, kann sich nur 7 proportional der Zeit ändern. Wenn D positiv ist, ist die Bewegung der Wassertheilchen auf der äusseren Seite des Ringes nach der Seite. der positiven z, auf der inneren nach der negativen z gerichtet; K, h und R sind ihrer Natur nach immer positiv.

Daraus folgt also, dass bei einem kreisförmigen Wirbelfaden von sehr kleinem Querschnitt in einer unendlich ausgedehnten Wassermasse der Schwerpunkt des Querschnittes eine der Axe des Wirbelringes parallele Bewegung hat von annähernd constanter und sehr grosser Geschwindigkeit, die nach derselben Seite hin gerichtet ist, nach welcher das Wasser durch den Ring strömt. Unendlich dünne Wirbelfäden von endlichem Radius würden unendlich grosse Fortpflanzungsgeschwindigkeit erhalten. Ist aber der Radius des Wirbelringes unendlich gross von der Ordnung 1/ε, so wird R2 unendlich gross gegen K, und wird constant. Der Wirbelfaden, welcher sich nun in eine gerade Linie verwandelt hat, wird stationär, wie wir für geradlinige Wirbelfäden schon früher gefunden haben.

Es lässt sich nun auch im allgemeinen übersehen, wie sich zwei ringförmige Wirbelfäden, deren Axe dieselbe ist, gegeneinander verhalten werden, da jeder, abgesehen von seiner eigenen Fortbewegung, auch der Bewegung der Wassertheilchen folgt, die der andere hervorbringt. Haben sie gleiche Rotationsrichtung, so schreiten sie beide in gleichem Sinne fort, und es wird der vorangehende sich erweitern, dann langsamer fortschreiten, der nachfolgende sich verengern und schneller fortschreiten, schliesslich bei nicht zu differenten Fortpflanzungsgeschwindigkeiten den anderen einholen, durch ihn hindurch- 55 gehen. Dann wird sich dasselbe Spiel mit dem anderen wiederholen, sodass die Ringe abwechselnd einer durch den anderen hindurchgehen.

Haben die Wirbelfäden gleiche Radien, gleiche und entgegengesetzte Rotationsgeschwindigkeiten, so werden sie sich einander nähern und sich gegenseitig erweitern, sodass schliesslich, wenn sie sich sehr nah gekommen sind, ihre Bewegung gegeneinander immer schwächer wird, die Erweiterung dagegen mit wachsender Geschwindigkeit geschieht. Sind die beiden Wirbelfäden ganz symmetrisch, so ist in der Mitte zwischen beiden die der Axe parallele Geschwindigkeit der Wassertheilchen gleich Null. Man kann sich hier also eine feste Wand angebracht denken, ohne die Bewegung zu stören, und erhält so den Fall eines Wirbelringes, der gegen eine feste Wand anläuft.

Ich bemerke noch, dass man diese Bewegungen der kreisförmigen Wirbelringe in der Natur leicht studiren kann, indem man eine halb eingetauchte Kreisscheibe, oder die ungefähr halbkreisförmig begrenzte Spitze eines Löffels schnell eine kurze Strecke längs der Oberfläche der Flüssigkeit hinführt, und dann schnell herauszieht. Es bleiben dann halbe Wirbelringe in der Flüssigkeit zurück, deren Axe in der freien Oberfläche liegt. Die freie Oberfläche bildet also eine durch die Axe gelegte Begrenzungsebene der Wassermasse, wodurch an den Bewegungen nichts wesentliches geändert wird. Die Wirbelringe schreiten fort, erweitern sich, wenn sie gegen eine Wand laufen, und werden durch andere Wirbelringe erweitert oder verengert, ganz wie wir es aus der Theorie abgeleitet haben.