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VI.

Snr le mouvement le pins général d'nn flnide.

Réponse à une communication précédente de JMT. Ä. üevtratld,.

Comtes rendus de l'Académie des sciences de Paris. T.67. p.221—225.(1868.)

Dans la séance du 22 juin, M. S. Bertrand a communiqué à l'Académie un théorème très-intéressant, concernant le mouvement infiniment petit le plus général, qu'un volume infiniment petit d'un fluide puisse prendre. H finit sa Note en disant que le résultat auquel il est arrivé est en désaccord avec les vues sur lesquelles j'ai établi mes théorèmes, concernant le mouvement tournant des fluides; c'est pourquoi M. Bertrand révoque en doute aussi toutes les conséquences que j'ai fait sortir de ces prémisses.

Je ne puis m'exphquer les objections de l'illustre géomètre, qu'en supposant qu'il s'est trompé sur le sens de mes théorèmes, ayant lu peut-être une traduction défectueuse de mon Mémoire. Car, autant que je puis en juger moi-même, les résultats de M. Bertrand sont dans l'accord le plus parfait avec ceux de mon Mémoire, et il est facile de les faire dériver tous de l'expression que j'ai donnée pour représenter le mouvement le plus général d'un particule fluide.

On sait que, dans la mécanique analytique, il est permis de décomposer un mouvement compliqué, en plusieurs partiels plus simples. La règle d'après laquelle on le décompose est arbitraire, jusqu'à un certain point; on est libre de choisir la manière qui convient le mieux à la solution du problème, pourvu qu'elle soit assez générale et parfaitement déterminée. La question soulevée par M. Bertrand, si j'ai bien compris le sens de sa critique, se rapporte à la générante de la méthode que j'aie choisie dans mon Mémoire. H croit avoir trouvé une espèce de mouvement possible, qui n'est pas compris dans les termes que j'ai employés.

J'ai représenté le mouvement d'un élément de volume du fluide comme la somme de cinq mouvements simples, c'està-dire:

1° D'un mouvement du centre de gravité;

2°, 3°, 4° De trois mouvements de dilatation (ou contraction), dirigés parallèlement à trois axes orthogonaux.

5 ° D'un mouvement rotatoire autour d'un axe de rotation temporaire.

La direction des trois axes de dilatation et de l'axe de rotation est déterminée, pour chaque point du fluide et pour chaque instant, par les valeurs des différentielles partielles des vitesses, prises par rapport aux coordonnées.

Nous pouvous laisser ici de côté la première espèce de mouvement, le mouvement du centre de gravité. La deuxième espèce de mouvement, que je nomme mouvement à dilatations orthogonales, prise isolément, fait en sorte qu'un parallélipipède rectangle et infiniment petit, dont les arêtes ont une certaine direction, se transforme en un autre parallélipipède dont les arêtes ont la même direction que celles du premier, mais une longueur différente.

Par la méthode de décomposition choisie par moi, j'ai aussi fixé, comme on voit, le sens dans lequel il faut prendre le tenue rotation dans mon Mémoire.

Nommous v, v, w les composantes de la vitesse parallèles aux axes des coordonnées x, y, z. Alors le résultat de mon analyse préliminaire, qui semble être l'objet de la critique de M. Bertrand, est celui-ci.

Si l'expression (udx + vdy + wdz) est une différentielle exacte, il n'y a pas de rotation dans la partie du fluide correspondant. Si cette expression n'est pas une différentielle exacte, il y a rotation.

M. Bertrand, au contraire, a démontré que, dans un nombre très-considérable de cas, on peut construire des parallélipipèdes obliques ayant une direction déterminée pour leurs arètes, qui se transforment en d'autres parallélipipèdes dont les arètes restent parallèles à celles des premiers; et l'illustre géomètre suppose que j'ai omis ce cas dans mon analyse, parce que je n'ai parlé que des parallélipipèdes rectangles.

Mais on peut voir aisément que le mouvement défini par M. Bertrand peut être représenté aussi comme la combinaison d'une rotation avec trois dilatations rectangulaires. Il me suffira de donnerici un exemple des plus simples pour rendre clair lesens de cette assertion.

Limitons l'analyse au cas oü l'une des composantes de la vitesse est égale à zéro, w = 0; alors le plan xy remplira la condition que M. Bertrand lui-même a posée en formant les équations qui sont contenues dans la seconde moitié de la page 1228 et à la page 1229 de sa Note. Nommons, comme lui, Ple point (r, y, z) et Q le point (r + dr, y + dy, z); enfin soit 6 l'inclinaison de la droite PQ sur l'axe des r. Alors la rotation d6/dt de cette droite sera, d'après les formules de M. Bertrand:

–coe +(– in coo – sind Regardons maintenant les vitesses u et v comme composées de deux parties, en posant: u=uo py, v=vo + par. Soient les quantitésuo et vo des fonctions des coordonnées, et soitpune constante, dont la valeur est donnée par l'équation: dar dy

qui sera satisfaite au point P. On a alors, pour ce mème point:

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duo dvo –

–, = 0. Introduisons ces valeurs du u et v dans la première équation, n0us trouVerons:

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On voit ici que les membres qui contiennent le facteur p dans nos expressions représentent une rotation à vitesse constante p, qui restera seule quand u0 et v0 s'évanouissent Introduisons maintenant, pour simplifier les expressions, deux nouvelles quantités A et du, qui sont définies par les équations suivantes:

Acos(2d0) =*£ + %%

^(w-Sî-è

Alors nous aurons:

2f-t=P + Acos2(0-6t))

Il faut que ddjdt soit égale à zéro pour les lignes qui ne changent pas de direction, c'est-à-dire:

C08 2 (0 - 0O) = - -f

Si d1 est une des valeurs qui remplissent cette condition, une autre valeur sera (2 0g Oj). La différence entre les deux est égale à 2 (0n — öx). Or cette différence ne peut être un angle droit que sous la condition p = 0.

On voit donc que le mouvement représenté par les quantités «0 et vQ est un mouvement à dilatations orthogonales, pendant que le mouvement dont les termes ont p comme facteur est une simple rotation. Ces deux mouvements combinés donnent un mouvement à dilatations obliques, comme il a été défini par M. Bertrand.

On pourra toujours trouver des valeurs réelles pour Pi uot ro> -^ e' ö0; "s on ne trouvera une valeur réelle pour 0, que sous la condition p < A. Si la vitesse de rotation devient trop grande, p > A, il n'y a plus de lignes dans le plan xy, qui ne changent pas de direction. C'est le cas où l'équation caractéristique de M. Bertrand donne deux racines imaginaires.

Il n'est pas difficile d'ailleurs d'étendre cette démonstration au cas général d'un mouvement à trois dimensions.

On voit par là que le mouvement à dilatations obliques de M. Bertrand est compris dans mon Mémoire parmi les mouvements rotatoires. J'avoue qu'au premier aspect l'emploi du terme rotation pourrait paraître hardi dans ce cas, mais je crois qu'il est amplement justifié dans le langage scientifique; car, quand on détermine le moment de rotation d'une petite sphère fluide, contenue dans une masse d'eau en mouvement, on trouve que le moment d'une telle sphère est égal à zéro dans un mouvement à dilatations rectangulaires, mais qu'il est différent de zéro dans un mouvement à dilatations obliques. On trouve ainsi, pour mesurer la rotation du fluide, exactement les expressions que j'ai employées clans mon Mémoire.

Du reste, mon savant critique, en regardant les valeurs que j'ai données à la page 31 de mon Mémoire comme l'expression la plus générale des vitesses u, v, w, décomposées d'après la règle que j'avais fixée, reconnaîtra aisément que ces valeurs contiennent le même nombre de quantités indépendantes que celles qu'il a employées lui-même dans son analyse, et que ces deux systèmes ont le même degré de généralité. Je n'ai pas donné, dans mon Mémoire, de démonstration explicite de la généralité de cette décomposition du mouvement que j'ai employée, parce que cette méthode n'était pas nouvelle; elle avait déjà été employée auparavant dans la théorie des solides élastiques, entre autres par M. Kirchhoff1), dans son Mémoire sur les plaques élastiques vibrantes.

1) Journal de Crelle, t. XL; 1850.

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