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Sur le mouvement des fluides.

Deuxième réponse à M. 8. Bertrand.

Comtes rendus de l'Académie des sciences de Paris. T. 67. p. 754—757. (18G8.)

Je n'ai eu connaissance des deux nouvelles Notes, par lesquelles M. Bertrand à répondu à ma communication du 27 juillet, qu'à mon retour d'un voyage, il y a peu de jours. Je m'empresse de lui faire les observations suivantes.

Quant à la première de ses réponses, je crois pouvoir me dispenser d'entrer dans de plus amples détails, car il est évident que M. Bertrand l'a rédigée, sans avoir sous les yeux ma réplique. C'est comme cela du moins que je m'explique comment M. Bertrand substitue au terme de dilatation partout où j'en avais fait usage, celui de translation, qui ne se trouve pas une seule fois dans ma communication. Il a rendu parfaitement absurdes des théorèmes, d'ailleurs évidents, pour les présenter ensuite, ainsi défigurés, comme étant de ma façon.

Dans sa deuxième réponse du 24 août, M. Bertrand tombe enfin d'accord qu'il ne s'agit ici que d'une dénomination différente. Mais il s'attache à soutenir que j'ai donné à l'énoncé de mes théorèmes une élégance apparente, en altérant arbitrairement le sens du mot rotation. Est-il réellement nécessaire de répéter que le mouvement rotatoire (RotationsBewegung), attribué par moi aux molécules liquides, n'a jamais été défini dans mes Mémoires autrement que comme une rotation ordinaire, combinée avec d'autres formes de mouvenient [dilatation et translation]?1) Aussi cette composante du mouvement que j'ai appelée rotation se réduit-elle, prise isolément, à une rotation pure et simple, dans le sens généralement accepté de ce mot.

Du reste, cet emploi du terme de rotation n'est pas une innovation de ma part. Cinq ans avant la publication de mon Mémoire, M. Stokes2) a dit, en parlant des quantités qui, dans la théorie des solides élastiques, correspondent aux quantités |, »/, £ de mon Mémoire: „Ces quantités expriment „les rotations de l'élément du moyen .... autour des axes „qui sont respectivement parallèles aux trois axes des coordonnées."

M. Bertrand dit que j'attache une importance qu'il ne peut comprendre à l'orthogonalité des faces du parallélipipède de dilatation. Je réponds que, mécaniquement parlant, cette orthogonalité est d'une importance de premier ordre; car dans le cas d'un mouvement à dilatations orthogonales, le moment des quantités de mouvement d'une petite masse sphérique par rapport aux axes passant par son centre est égal et reste égal à zéro, tandis que, dans le cas de dilatations obliques, il est différent et reste diftérent de zéro pendant toute la durée du mouvement. C'est bien pour cette raison que, dans les savantes recherches sur la théorie des corps élastiques de M. Kirchhoff3), et de MM. Thomson et Tait4), les dilatations orthogonales jouent un rôle également prépondérant, encore que ces deux derniers savants aient très-bien connu et publié, avant M. Bertrand, les théorèmes qu'il a communiqués dans la séance du 22 juin, et qui lui ont servi de point de départ pour les attaques qu'il a dirigées contre mon Mémoire.

1) L'exemple sur lequel M. Bertrand s'appuie dans sa réponse du 3 août, et qu'il trouve si décisif, à déjà été soumis à l'analyse par la rédaction du journal les Mondes, t. XVII, p. 621; je puis donc me dispenser de revenir là-dessus.

2) On the dynamical theory of diffraction (Transactions of the Cambridge Philos. Soc, 1850; vol. IX, p. I. § 10).

3) Sur l'équilibre et le mouvement d'une plaque élastique (Journal de Crelle, t. XL, p. 59; 1850).

4) Treatise on natural Philosophy. Oxford, 1867; vol. I, p. 108—11").

Enfin, si en France ou préfère adopter le terme de rotation moyenne, proposé par A. Cauchy pour avertir le lecteur qu'il ne s'agit pas du mouvement d'un corps solide, mais de celui d'une masse à forme variable, je n'ai aucune raison pour m'y opposer.

Examinons maintenant la seconde objection que M.Bertrand m'a faite, dans sa communication du 24 août, objection qui concerne un passage de mon Mémoire, textuellement cité par lui. Il n'est pas difficile de se convaincre que la place occupée par le passage en question dans la suite de mes raisonnements lui donne un sens très-différent de celui que mon savant adversaire croit y avoir trouvé. Je n'y donne pas une règle pour déterminer les intégrales des équations différentielles; mais après avoir, dans ce qui précède, effectué les intégrations, ou du moins les avoir supposées effectuées, j'interprète dans le passage cité le sens mécanique des expressions analytiques obtenues par ces intégrations.

Dans ces expressions, les vitesses des molécules du liquide sont représentées comme la somme d'un nombre infini d'effets élémentaires, dérivant en partie des points situés à l'intérieur du Uquide, en partie des points de la surface ou de l'extérieur. Dans le passage cité par M. Bertrand, il n'est question que des effets dérivant directement des points situés à l'intérieur du liquide, et jamais je n'ai songé à y faire entrer autre chose. Si M. Bertrand veut porter son attention sur la solution du problème que j'ai donnée, dans quelques cas spéciaux, aux pages 49 et 55 de mon Mémoire, il comprendra que ce n'est pas moi qu'il faut accuser d'avoir mis au jour l'absurdité, qu'il a bien voulu me suggérer, savoir: de supposer la quantité h, qui détermine l'effet des points situés en dehors du liquide, indépendante des quantités g, ?/, ç.

M. Bertrand résume sa deuxième objection, en avançant que mon théorème „n'apprent absolument rien, en ne donnant „qu'une partie d'une somme, dont l'autre partie reste inconnue." Dans un grand nombre de cas spéciaux cette autre partie reste en effet inconnue jusqu'à un certain point. Du moins, il n'est guère probable qu'où piiisse jamais trouver pour cette seconde partie explicitement une expression analytique générale qui convienne à tous les cas spéciaux.

Mais j'invite mon savant critique à se rappeler que cette deuxième partie de la somme, qu'il dit être inconnue, est censée correspondre à un mouvement non rotatoire du liquide, et que par conséquent, elle possède toutes ces propriétés si remarquables des fonctions qui satisfont à l'équation différentielle:

d*P d%P d*P n

dx1 + df + dz* ~'

et qui ont été l'objet de tant de recherches profondes, recherches qui non seulement nous mettent en état de trouver l'intégrale de cette équation pour un nombre très-considérable de conditions données aux limites, mais, ce qui est plus utile encore, nous permettent, dans la plupart des cas où l'expression analytique de l'intégrale reste inconnue, d'en assigner les propriétés les plus importantes, dont la connaissance peut souvent tenir lieu de l'intégrale elle-même.

M. Bertrand aurait pu trouver, aux pages 29 et 43 de mon Mémoire, un résumé de cette partie de mon travail. Je finirai en reproduisant les résultats généraux de mes recherches, tout en évitant d'employer les dénominations nouvelles que j'ai introduites dans le texte allemand de mon Mémoire. Je ne conserverai que les lettres f, tj, f avec leur signification:

t • fdv dw\ , fdvi du\ <. . (du dv\

* ~~ * [dz ~ dj)' '' ~~ *{dx ~ di)' fe ~~ * \dy ~ di)'

Je suppose en outre, que les forces agissant sur les points situés à l'intérieur du liquide puissent être exprimées par les dérivées partielles d'une fonction des coordonnées du point sollicité. Cela posé, on a les théorèmes suivants:

On peut toujours imaginer Texistence d'un système de courants galvaniques fermés, distribués dans Tintérieur et à la surface du liquide de telle manière, qu'ils exerceraient sur le pâle d'un aimant, situé en un point du liquide, des forces égales aux vitesses qui animent la molécule liquide passant par ce point. Les composantes de ces courants, prises parallèlement aux axes des coordonnées, sont, en chaque point de Vintérieur du liquide, proportionnelles aux quantités §, r/, f.

Si Von se représente la masse du liquide composée de fils conducteurs qui contiennent chacun un de ces courants galvaniques du système susdit, dans chaque fil conducteur Vintensité du courant restera constante pendant toute la durée du mouvement, et le fil restera composé des mêmes molécules du liquide. L'intensité des courants superficiels, au contraire, pourra être variable.

M. Bertrand reconnaîtra aisément que ces résultats ne sont nullement infirmés par ses remarques, et peut-être ne les trouvera-t-il pas moins intéressants dans leur énoncé légitime que sous la forme peu exacte qu'il leur a donnée.

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