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VIII.

Réponse à la Note de M. S. Bertrand dn 19 octobre.

Comtes rendus de l'Acad. de sciences de Paris. T. 67. p. 1034—1035. (1868.)

„Dans sa dernière Note, M. Bertrand ne conteste plus l'exactitude de mes théorèmes sur l'hydrodynamique, mais il se borne à en blâmer l'énoncé, qui, selon lui, ne serait pas conforme à l'usage, où conduirait le lecteur à croire la solution plus complète qu'elle ne l'est. Puisque nous sommes parvenus à ce point, il me semble qu'une discussion ultérieure sur l'objet en litige ne saurait présenter qu'un intérêt personel, de sorte que, de mon côté, je la terminerai par cette dernière réponse.

„Du reste, je n'ai jamais voulu exprimer le moindre doute touchant la sincérité de mon savant adversaire, ni dans mes Notes insérées aux Comptes rendus, ni dans la Lettre que j'ai écrite à M. le rédacteur du journal les Mondes, en réponse à une question concernant la traduction de mon Mémoire. Dans le seul passage de ma dernière Note qui puisse avoir donné lieu à une telle interprétation, j'ai cht expressément que je ne supposais qu'une erreur de la part de M. Bertrand, et je regrette sincèrement que les expressions que j'ai employées aient pu donner heu à une interprétation différente.

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IX.
Ueber discontinuirliche Flüssigkeitsbewegungen.

Aus dorn „Monatsberichte der Königl. Akademie der Wissenschaften" zu
Berlin vom 23. April 1868. S. 215—228.

2i6 Die hydrodynamischen Gleichungen ergeben bekanntlich

für das Innere einer incompressiblen Flüssigkeit, die der Reibung nicht unterworfen ist, und derenTheilchen keine RotationsBewegung besitzen, genau dieselbe partielle Differentialgleichung, welche für stationäre Ströme von Elektricität oder Wärme in Leitern von gleichmässigem Leitungsvermögen besteht. Man

«8 könnte also erwarten, dass bei gleicher Form des durchströmten Raumes und gleichen Grenzbedingungen die Strömungsform der tropfbaren Flüssigkeiten, der Elektricität und Wärme bis auf kleine von Nebenbedingungen abhängige Unterschiede die gleiche sein sollte. In Wirklichkeit aber bestehen in vielen Fällen leicht erkennbare und sehr eingreifende Unterschiede zwischen der Stromvertheilung einer tropfbaren Flüssigkeit und der der genannten Imponderabilien.

Solche Unterschiede zeigen sich namentlich auffallend, wenn die Strömung durch eine Oeffnung mit scharfen Rändern in einen weiteren Raum eintritt. In solchen Fällen strahlen die Stromlinien der Elektricität von der Oeffnung aus sogleich nach allen Richtungen auseinander, während eine strömende Flüssigkeit, Wasser sowohl wie Luft, sich von der Oeffnung aus anfänglich in einem compacten Strahle vorwärts bewegt, der sich dann in geringerer oder grösserer Entfernung in Wirbel aufzulösen pflegt. Die der Oeffnung benachbarten, ausserhalb des Strahles liegenden Theile der Flüssigkeit des grösseren Behälters können dagegen fast vollständig in Ruhe bleiben. Jedermann kennt diese Art der Bewegung, wie sie namentlich ein mit Rauch imprägnirter Luftstrom sehr anschaulich zeigt. Iu der That kommt die Zusammendrückbarkeit der Luft bei diesen Vorgängen nicht wesentlich in Betracht, und Luft zeigt lnerbei mit geringen Abweichungen dieselben Bewegungsformen, wie Wasser.

Bei so grossen Abweichungen zwischen der Wirklichkeit und den Ergebnissen der bisherigen theoretischen Analyse mussten die hydrodynamischen Gleichungen den Physikern als eine praktisch sehr unvollkommene Annäherung an die Wirklichkeit erscheinen. Die Ursache davon mochte man in der inneren Reibung der Flüssigkeit vermuthen, obgleich allerlei seltsame und sprungweise eintretende Unregelmässigkeiten, mit denen wohl Jeder zu kämpfen hatte, der Beobachtungen über Flüssigkeits-Bewegungen anstellte, nicht einmal durch die jedenfalls stetig und gleichmässig wirkende Reibung erklärt werden konnten.

Die Untersuchung der Fälle, wo periodische Bewegungen durch einen continuirlichen Luftstrom erregt werden, wie zum Beispiel in den Orgelpfeifen, liess mich erkennen, dass eine 217 solche Wirkung nur durch eine discontiuuirliche, oder wenigstens einer solchen nahe kommende Art der Luftbewegung hervorgebracht werden könne, und das führte mich zur Auffindung einer Bedingung, die bei der Integration der hydrodynamischen Gleichungen berücksichtigt werden muss, und bisher, so viel ich weiss, übersehen worden ist; bei deren Berücksichtigung dagegen in solchen Fällen, wo die Rechnung durchgeführt werden kann, sich in der That Bewegungsformen ergeben, wie wir sie in Wirklichkeit beobachten. Es ist dies folgender Umstand.

In den hydrodynamischen Gleichungen werden die Geschwindigkeiten und der Druck der strömenden Theilchen als continuirliche Functionen der Coordinaten behandelt. Andererseits liegt in der Natur einer tropfbaren Flüssigkeit, wenn wir sie als vollkommen flüssig, also der Reibung aicht unterworfen betrachten, kein Grund, -dass nicht zwei dicht aneinander grenzende Flüssigkeitsschichten mit endlicher Geschwindigkeit aneinander vorbeigleiten könnten. Wenigstens diejenigen Eigenschaften der Flüssigkeiten, welche in den hydrodynamischen Gleichungen berücksichtigt werden, nämlich die Constanz der Masse in jedem Raum dement und die Gleichheit des Druckes nach allen Richtungen hin, bilden offenbar kein Hindemiss dafür, dass nicht auf beiden Seiten einer durch das Innere gelegten Fläche tangentielle Geschwindigkeiten von endlichem Grössenunterschiede stattfinden könnten. Die senkrecht zur Fläche gerichteten Componenten der Geschwindigkeit und der Druck müssen dagegen natürlich an beiden Seiten einer solchen Fläche gleich sein. Ich habe schon in meiner Arbeit über die Wirbelbewegungen1) darauf aufmerksam gemacht, dass ein solcher Fall eintreten müsse, wenn zwei vorher getrennte und verschieden bewegte Wassermasseu mit ihren Oberflächen in Berührung kommen. In jener Arbeit wurde ich auf den Begriff einer solchen Trennungsfläche oder Wirbelfläche, wie ich sie dort nannte, dadurch geführt, dass ich Wirbelfäden zw längs einer Fläche continuirlich angeordnet dachte, deren Masse verschwindend klein werden kann, ohne dass ihr Drehungsmoment verschwindet.

Nim wird in einer zu Anfang ruhenden oder continuirlich bewegten Flüssigkeit eine endliche Verschiedenheit der Bewegung unmittelbar benachbarter Flüssigkeitstheilchen nur durch discontinuirlich wirkende bewegende Kräfte hervorgebracht werden können. Unter den äusseren Kräften kommt hierbei müder Stoss in Betracht.

Aber es ist auch im Innern der Flüssigkeiten eine Ursache vorhanden, welche Discontinuität der Bewegung erzeugen kann. Der Druck nämlich kann zwar jeden beliebigen positiven Werth annehmen, und die Dichtigkeit der Flüssigkeit wird sich mit ihm immer continuirlich ändern. Aber so wie der Druck den Werth Null überschreiten und negativ werden sollte, wird eine discontinuirliche Veränderung der Dichtigkeit eintreten; die Flüssigkeit wird auseinander reissen.

Nun hängt die Grösse des Druckes in einer bewegten Flüssigkeit von der Geschwindigkeit ab, und zwar ist in in

1) Journal für reine und angewandteMathematik. Bd.LX. (S. oben Nr.V.)

eompressibeln Flüssigkeiten die Verminderung des Druckes unter übrigens gleichen Umständen der lebendigen Kraft der bewegten Wassertheilchen direct proportional. Uebersteigt also die letztere eine gewisse Grösse, so muss in der That der Druck negativ werden und die Flüssigkeit zerreissen. An einer solchen Stelle wird die beschleunigende Kraft, welche dem DifferentialQuotienten des Druckes proportional ist, offenbar discontinuirlich und dadurch die Bedingung erfüllt, welche nöthig ist um eine discontinuirliche Bewegung der Flüssigkeit hervorzubringen. Die Bewegung der Flüssigkeit an einer solchen Stelle vorüber kann nun nur so geschehen, dass sich von dort ab eine Trennungsfläche bildet.

Die Geschwindigkeit, welche das Zerreissen der Flüssigkeit herbeiführen muss, ist diejenige, welche die Flüssigkeit annehmen würde, wenn sie unter dem Drucke, den die Flüssigkeit am gleichen Orte im ruhenden Zustande haben würde, in den leeren Raum ausflösse. Dies ist allerdings eine verhältnismässig bedeutende Geschwindigkeit; aber es ist wohl zu bemerken, dass, wenn die tropfbaren Flüssigkeiten continuirlich wie Elektricität fliessen sollten, die Geschwindigkeit an jeder 219 scharfen Kante, um welche der Strom herumbiegt, unendlich gross werden müsste.1) Daraus folgt, dass jede geometrisch vollkommen scharf gebildete Kante, an welcher Flüssigkeit vorbeifliesst, selbst bei der massigsten Geschwindigkeit der übrigen Flüssigkeit, dieselbe zerreissen und eine Trennungsfläche herstellen muss. An unvollkommen ausgebildeten, abgerundeten Kanten dagegen wird dasselbe erst bei gewissen grösseren Geschwindigkeiten stattfinden. Spitzige Hervorraguugen an der Wand des Strömungscanales werden ähnlich wirken müssen.

Was die Gase betrifft, so tritt bei ihnen derselbe Umstand wie bei den Flüssigkeiten ein, nur dass die lebendige Kraft der Bewegung eines Theilchens nicht direct der Verminderung des Druckes /j, sondern mit Berücksichtigung der Abkühlung der

1) In der sehr kleinen Entfernung Q von einer scharfen Kante, deren Flachen unter dein Winkel « zusammenstossen, werden die Geschwindigkeiten unendlich wie p—«, wo m = (jt n)l(2n a).

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