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Die Gleichung (2) entspricht also, wenn wir op als Ausdruck der Stromescurven betrachten, der Strömung aus einem durch zwei parallele Ebenen begrenzten Canal in den unendlichen Raum hinein. Am Rande des Canals aber, wo r = – A und y = + A 7 wo ferner: q= o und "p = + T

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Elektricität und Wärme können so strömen; tropfbare Flüssigkeit muss aber zerreissen.

Sollen vom Rande des Canales stationäre Trennungslinien ausgehen, welche natürlich Fortsetzungen der längs der Wand verlaufenden Strömungslinien p = + t werden, und soll ausserhalb dieser Trennungslinien, die die strömende Flüssigkeit begrenzen, Ruhe stattfinden, so muss der Druck auf beiden Seiten der Trennungslinien gleich sein. Das heisst, es muss längs derjenigen Theile der Linien p = + t, welche den freien Trennungslinien entsprechen, gemäss 1b sein:

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Um nun die Grundzüge der in Gleichung (2) gegebenen Bewegung beizubehalten, setzen wir zu obigem Ausdrucke von a + /i noch ein Glied o + ri hinzu, welches ebenfalls eine Function von p + pi ist. Wir haben dann: r = Ap + Ae* cosp + o..... (3a) y = A p + Aer sin p + r ... ... und müssen a + ri so bestimmen, dass längs des freien Theiles der Trennungsflächen wo p = + t, werde:

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Diese Bedingung wird erfüllt, wenn wir eben daselbst machen, dass:

ist, wird:

also:

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225 226

227

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Da p längs der Wand constant ist, können wir die letzte Gleichung nach p integriren, und das Integral in eine Function von p + pi verwandeln, indem wir statt q überall setzen q + i(op + 7t). So erhalten wir bei passender Bestimmung der Integrationsconstante:

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Die Verzweigungspunkte dieses Ausdruckes liegen, wo e**** = – 2, das heisst, wo p = + (2a + 1)zt und p = log 2 ist. Also liegt keiner im Innern des Intervalles von 1 = + Tr bis p = – t. Die Function o + ri ist hier continuirlich. Längs der Wand wird:

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Wenn q < log 2, so ist dieser ganze Werth rein imaginär, also o =o, während dr/dp den oben in 3“ vorgeschriebenen Werth erhält. Dieser Theil der Linien p = + t entspricht also dem freien Theile des Strahles. Wenn p> log 2 wird der ganze Ausdruck bis auf den Summanden + Ait reell, welcher letztere sich zum Werthe von ri, beziehlich yi hinzufügt. Die Gleichungen 3“ und 3° entsprechen also der Ausströmung aus einem unbegrenzten Becken in einen durch zwei Ebenen begrenzten Canal, dessen Breite 4 Azt ist, dessen Wände von r = – oO bis r = – A (2 – log 2) reichen. Die freie Trennungslinie der strömenden Flüssigkeit krümmt sich von der Kante der Oeffnung zunächst noch ein wenig gegen die Seite der positiven r hin, wo sie für q=o, r = – A und für y = + A. ( t + 1) ihre grössten r-Werthe erreicht, um sich dann in das Innere des Canales hineinzuwenden, und zuletzt asymptotisch den beiden Linien y = + At zu nähern, sodass schliesslich die Breite des ausfliessenden Strahles nur der halben Breite des Canales gleich wird. Die Geschwindigkeit längs der Trennungsfläche und im

geraden Ende des ausfliessenden Strahles ist lj A. Längs der festen "Wand und im Innern der Flüssigkeit ist sie tiberall kleiner als \\A, sodass diese Bewegungsform bei jeder Grösse der Ausflussgeschwindigkeit stattfinden kann.

Ich hebe an diesem Beispiele namentlich hervor, wie es zeigt, dass die Form des Flüssigkeitsstromes in einer Röhre auf sehr lange Strecken hin durch die Form des Anfangsstückes bestimmt sein kann.

Zusatz, elektrische Vertheilung betreffend. Wenn man in der Gleichung (2) che Grösse W als das Potential von Elektricität betrachtet, so ergiebt sich hier die Vertheilung der Elektricität in der Nähe des Randes zweier ebener und sehr naher Scheiben, vorausgesetzt, dass ihr Abstand als verschwindend klein gegen den Krümmungshalbmesser ihrer Randcurven betrachtet werden kann. Es ist das eine sehr einfache Lösung der Aufgabe, welche Hr. Clausius1) behandelt hat. Sie ergiebt übrigens dieselbe Vertheilung der Electricität, wie er sie gefunden hat, wenigstens soweit dieselbe von der Krümmung des Randes unabhängig ist.

Ich will noch hinzufügen, dass dieselbe Methode genügt, um auch auf zwei parallelen unendlich langen ebenen Streifen, deren vier Kanten im Querschnitte die Ecken eines Rechteckes bilden, die Vertheilung der Elektricität zu finden. Die Potentialfunction i/> derselben wird gegeben durch eine Gleichung von der Form:

x+ffi=^ + V0 + 51^ö ] W

wo H(u) die von Jacobi in den Fundamenta nova p. 172 als Zähler von sin am u entwickelte Function bezeichnet. Die belegten Streifen entsprechen nach dortiger Bezeichnung dem Werthe cp = ± 2K, wobei s = ±2 AK den halben Abstand der Streifen ergiebt, während vom Verhältniss der Constanten A und B die Breite der Streifen abhängt.

Die Form der Gleichungen 2 und 4 lässt erkennen, dass (p und \f> als Functionen von x und y nur durch äusserst complicirte Reihenentwickelungen auszudrücken sein können.

1) Poggemlorff's Annalen Bd. LXXXVI.

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Ueber ein Theorem, geometrisch ähnliche Bewegungen

flüssiger Körper betreffend, nebst Anwendung auf

das Problem, Luftballons zu lenken.

„Monatsberichte der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin" vom 26. Juni 1873. S. 501—514.

6oi Die Bewegungsgesetze der tropfbaren und gasigen Flüssig

keiten sind hinreichend gut bekannt in Form von Differentialgleichungen, welche nicht blos den Einfluss aus der Ferne wirkender äusserer Kräfte, so wie den des Druckes der Flüssigkeit, sondern auch den Einfluss der Reibung berücksichtigen. Wenn man bei der Anwendung dieser Gleichungen beachtet, dass unter Umständen, — nämlich da, wo eine continuirliche Bewegung negativen Druck geben würde, — sich Trennungsflächen mit discontinuirlicher Bewegung an beiden Seiten ausbilden müssen, wie ich dies in einer früheren Correspondenz1) der Akademie zu erweisen gesucht habe: so fallen auch die Widersprüche fort, welche bei Nichtberücksichtigung dieses Umstandes zwischen vielen scheinbaren Folgerungen der hydrodynamischen Gleichungen einerseits und der Wirklichkeit andererseits bis

«oa her zu bestehen schienen. Es liegt in der That, so weit ich sehe, zur Zeit kein Grund vor, die hydrodynamischen Gleichungen nicht für den genauen Ausdruck der wirklich die Bewegungen der Flüssigkeiten regierenden Gesetze zu halten.

Leider sind wir nur für verhältnissmässig wenige und be

1) Monatsberichte der Akademie, 23. April 18(18 (vorausgehende Aufsatz). — S. auch Kirchhoff in Borchardt's Journal für Mathematik, Bd. TO.

sonders einfache Fälle des Experiments im Stande aus diesen Differentialgleichungen die entsprechenden, den Bedingungen des gegebenen besonderen Falles angepassten Integrale herzuleiten, namentlich wenn der Natur des Problems nach die innere Reibung der Flüssigkeit und die Bildung von Trennungsflächen nicht unberücksichtigt bleiben dürfen. Die Trennungsflächen sind äusserst veränderlich, da sie eine Art labilen Gleichgewichtes besitzen und sich bei jeder Störung in Wirbel aufzurollen streben; dieser Umstand macht die theoretische Behandlung derselben sehr schwierig. So sind wir, wo wir es praktisch mit Flüssigkeitsbewegungen zu thun haben, fast ganz auf herumtastende Versuche angewiesen, und können oft nur Weniges und dies nur in unsicherer Weise über den Erfolg neuer Modificationen unserer hydraulischen Maschinen, Leitungen oder Fortbewegungs-Apparate aus der Theorie voraussagen. Bei dieser Lage der Sache wollte ich auf eine Verwendung der hydrodynamischen Gleichungen aufmerksam machen, welche erlaubt Beobachtungsresultate, die an einer Flüssigkeit und an Apparaten von gewisser Grösse und Geschwindigkeit gewonnen worden sind, zu übertragen auf eine geometrisch ähnliche Masse einer anderen Flüssigkeit und Apparate von anderer Grösse und anderer Bewegungsgeschwindigkeit.

Ich bezeichne zu dem Ende mit u, v, wo die Componenten der Geschwindigkeit der ersten Flüssigkeit, genommen nach den Richtungen der rechtwinkeligen Coordinataxen r, y, 2, mitt die Zeit, mit p den Druck, mit s die Dichtigkeit, mit k deren Reibungsconstante. Dann sind die Bewegungsgleichungen in Euler'scher Form, mit Einführung der Reibungskräfte nach Stokes, falls keine äusseren Kräfte auf die Flüssigkeit wir

ken, von folgender Form: d(v. e) , d (w.s) } (1)

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k d (du . dv . dw ++ - - - - - l (1a)

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