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Dazu kommen noch die zwei Gleichungen, welche aus der letzteren durch Vertauschung der x und u, beziehlich mit y und v oder mit z und w entstehen.

Wenn nun für eine andere Flüssigkeit die Geschwindigkeiten mit U, V, W, der Druck mit P, die Coordinaten mit X, Y, Z, die Zeit mit T, die Dichtigkeit mit E, die Reibungsconstante mit K bezeichnet wird, mit q, r, n, dagegen drei Constanten und wir setzen:

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so erfüllen auch diese mit grossen Buchstaben bezeichneten Grössen die obigen Differentialgleichungen. Setzt man sie nämlich in jene Gleichungen ein, so erscheinen sämmtliche Glieder von 1 mit dem Factor rn2/q und sämmtliche Glieder von 2 mit dem Factor n3/q multiplicirt. Von den Constanten q, r, n sind zwei durch die Gleichungen 2 und 2a aus der Natur der Flüssigkeit bestimmt, die dritte n aber ist willkürlich, soweit die bis hierher berücksichtigten Bedingungen in Betracht kommen.

Ist die Flüssigkeit incompressibel, so ist als Constante zu behandeln, dɛ/dt = 0 zu setzen, und die obigen Gleichungen genügen dann, die Bewegung im Innern zu bestimmen. Ist die Flüssigkeit compressibel, so können wir setzen:

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worin c und C dem Drucke hinzuzufügende Constanten bedeuten, welche auf die Gleichungen 1a keinen Einfluss haben. Für Gase sind e und C gleich Null zu setzen, wenn die Bewegung unter solchen Umständen geschieht, dass die Temperatur con

stant bleibt. Für schnelle Dichtigkeitsveränderungen von Gasen ohne Ausgleichung der Temperatur würden allerdings die Gleichungen (3) und (3a) nur für die Fälle geringer Dichtigkeitsschwankungen anwendbar sein.

Durch die oben angegebenen Werthe für P und E ist die Gleichung (3a) nur erfüllbar, wenn:

A2 a2n2.

=

Dadurch wäre also auch die dritte Constante n fest bestimmt. Die Grössen a und A sind hier die Schallgeschwindigkeiten in den betreffenden Flüssigkeiten. Diese müssen sich in demselben Verhältnisse ändern wie die anderen Geschwindigkeiten.

Wenn die Grenzen der Flüssigkeit zum Theil unendlich entfernt, zum Theil durch bewegte oder ruhende, vollkommen benetzte feste Körper gegeben sind, und die Coordinaten und Geschwindigkeits-Componenten dieser begrenzenden festen Körper von dem einen auf den anderen Fall in derselben Weise übertragen werden, wie es eben für die Flüssigkeitstheilchen geschehen ist, so sind die Grenzbedingungen für die U, V, W erfüllt, wenn sie für die u, v, w erfüllt sind. Ich setze dabei voraus, dass an vollständig benetzten Körpern die oberflächlichen Schichten der Flüssigkeit vollkommen festhaften, also die Geschwindigkeits-Componenten der Oberfläche des festen Körpers und der anhaftenden Flüssigkeit die gleichen seien.

Für unvollkommen benetzte Körper wird der Regel nach angenommen, dass eine relative Bewegung der oberflächlichen Flüssigkeitsschichten gegen die Oberfläche des festen Körpers stattfinde. In diesem Falle würde zur Anwendung unserer Sätze ein gewisses Verhältniss zwischen den Coëfficienten der gleitenden oberflächlichen Reibung der Flüssigkeit an den betreffenden festen Körpern und der inneren Reibung der ersteren angenommen werden müssen.

Die Grenzbedingungen an der freien Oberfläche einer tropfbaren Flüssigkeit, über der der Druck constant ist, würden ebenfalls erfüllt sein, falls keine aus der Ferne wirkenden 505 Kräfte, wie die Schwere, dabei Einfluss gewinnen. Da dieser Fall aber nur bei tropfbaren Flüssigkeiten vorkommt, welche als incompressibel betrachtet werden können, so braucht man die Gleichungen (3) und (3a) nicht zu erfüllen. Dann bleibt

Helmholtz, wissensch. Abhandlungen.

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die Constante n frei, und wenn man für diesen Fall die letztere so bestimmt, dass n3/q = 1 wird, so kann in der Gleichung (1 a) auch noch die Intensität der Schwereg auf der linken Seite als Summand hinzugesetzt werden.

An Trennungsflächen ist die Grenzbedingung, dass der Druck an beiden Seiten einer solchen Fläche gleich sei, was für P ebenfalls erfüllt ist, wenn es für p gilt.

Was die Reaction der Flüssigkeit gegen einen in ihr bewegten festen Körper betrifft, so wächst der Druck gegen die Flächeneinheit der Oberfläche wie n2r. In demselben Verhältniss wachsen die Reibungskräfte, welche proportional sind dem Product aus ke mit Differentialquotienten, wie du da, und ähnlichen. Für entsprechende ähnliche Flächenstücke der begrenzenden Körper aber wachsen Druck und Reibungskräfte wie:

2..rgir.
q2r.

Die Arbeit, die zur Ueberwindung dieser Widerstände gebraucht wird von Seiten des eingetauchten Körpers, für gleiche Zeiträume genommen, wächst demnach wie nq2r.

Im allgemeinen sind also die drei Constanten n, q, r für compressible Flüssigkeiten und für schwere tropfbare Flüssigkeiten mit freier Oberfläche bei vollständig genauer Uebertragung der Bewegung durch die Natur der beiden Flüssigkeiten bestimmt. Nur für incompressible Flüssigkeiten ohne freie Oberfläche bleibt eine Constante willkürlich.

Nun giebt es aber eine grosse Reihe von Fällen, wo die Zusammendrückbarkeit nicht blos bei tropfbaren, sondern auch bei gasigen Flüssigkeiten nur einen verschwindend kleinen Einfluss hat. Es lassen sich darüber folgende Betrachtungen anstellen. Lässt man die Constante n kleiner werden, während r und q unverändert bleiben, so heisst dies, dass in der zweiten Flüssigkeit die Schallgeschwindigkeit proportional mit n ab506 nimmt, ebenso die Geschwindigkeiten der materiellen bewegten Theile, während die Lineardimensionen dem n umgekehrt proportional zunehmen. Abnahme der Schallgeschwindigkeit entspricht bei gleichbleibendem r, das heisst bei gleichbleibender Dichtigkeit der zweiten Flüssigkeit, einer vermehrten Compressibilität derselben. Bei vermehrter Compressibilität also bleiben

sich die Bewegungen ähnlich. Daraus folgt, dass wenn wir das n verkleinern, während wir die Compressibilität der Flüssigkeit unverändert lassen, die Bewegungen derselben sich ändern und denen ähnlicher werden, welche im engeren Raume eine incompressiblere Flüssigkeit ausführen würde. Bei geringen Geschwindigkeiten also wird auch in weiten Räumen die Compressibilität ihren Einfluss verlieren; unter solchen Bedingungen werden sich auch Gase wie tropfbare incompressible Flüssigkeiten bewegen, wie das praktisch aus vielen Beispielen bekannt ist.

Sind die Geschwindigkeiten der materiellen Theile hierbei überhaupt sehr klein, wie bei den verschwindend kleinen Oscillationen, so dass der Ablauf der Bewegung bei gleichmässiger Steigerung derselben merklich unverändert bleibt, so ist es nur die Schallgeschwindigkeit, die sich hierbei ändert, und unser Satz würde dann die Form bekommen: Schallschwingungen einer compressiblen Flüssigkeit werden in weiteren Räumen mechanisch ähnlich verlaufen können, wie schnellere Oscillationen einer weniger compressiblen Flüssigkeit in engeren Räumen. Ein Beispiel für die Benutzung der besprochenen Aehnlichkeit findet sich in meinen Untersuchungen über die Schallbewegung an den Enden offener Orgelpfeiffen1). dieser Aufgabe hing die Möglichkeit, die analytischen Bedingungen der Luftbewegung durch die einfacheren der Wasserbewegung zu ersetzen, davon ab, dass die Dimensionen des betreffenden Raumes sehr klein sein mussten im Vergleich zu den Wellenlängen der vorkommenden Schallschwingungen.

Bei

Andererseits zeigt sich auch die Reibung weniger einflussreich bei Bewegungen von Flüssigkeiten in weiten Räumen. Man behält dasselbe Verhältniss zwischen den Reibungskräften und den Druckkräften, wenn man n unverändert lässt, während q wächst. Das heisst, wenn man die Dimensionen vergrössert und die Reibungsconstante in demselben Verhältnisse, so kann die Bewegung in dem vergrösserten Systeme ähnlich bleiben, 50 während sich die Geschwindigkeiten nicht ändern. Daraus folgt, dass in einem so vergrösserten Modell, wenn man die Reibungsconstante nicht in demselben Verhältniss vergrössert,

1) Borchardt's Journal für Mathematik, Bd. 57.

sondern unverändert lässt, die Reibung bei gleichbleibender Geschwindigkeit an Einfluss verliert. Was bei unveränderten Geschwindigkeiten für grössere Dimensionen gilt, gilt auch für vermehrte Geschwindigkeiten bei unveränderten Dimensionen. Denn man kann auch gleichzeitig n proportional q wachsen lassen.

In der That macht sich auch bei den meisten praktischen Versuchen in ausgedehnten flüssigen Massen derjenige Widerstand überwiegend geltend, welcher von den Beschleunigungen der Flüssigkeit herrührt, und namentlich in Folge der Bildung von Trennungsflächen entsteht. Dessen Grösse wächst dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional, während der von der eigentlichen Reibung herrührende Widerstand, der der Geschwindigkeit einfach proportional wachsen sollte, nur bei Versuchen in ganz engen Röhren und Gefässen rein heraustritt.

Sieht man von der Reibung ab, das heisst, setzt man in den obigen Gleichungen die Constanten:

k = K = 0,

so wird auch die Constante q frei verfügbar, und man kann Dimensionen und Geschwindigkeiten in beliebigem Verhältnisse ändern.

Kommt aber die Schwere mit in Betracht, wie bei den Wellen an der freien Wasseroberfläche, so muss nach der früher gemachten Bemerkung n3/q unverändert bleiben, also q=n3 gesetzt werden. Dann wird:

[blocks in formation]

Also wenn die Wellenlänge im Verhältnisse von n2 wächst, so wächst die Oscillationsdauer nur im Verhältnisse von n, was dem bekannten Gesetze der Fortpflanzungs-Geschwindigkeit für die Oberflächenwellen des Wassers entspricht, die wie die Wurzel der Wellenlänge wächst. So ergiebt sich dieses 508 Resultat sehr einfach und für alle Wellenformen, ohne dass man ein Integral der Wellenbewegung zu kennen braucht.

Dasselbe ist anwendbar auf die Widerstände, welche Schiffe von n'fachen Dimensionen und nfacher Geschwindig

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