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lebendigen Kraft sagt nun bekanntlich aus: Wenn sich eine beliebige Zahl beweglicher Massenpunkte nur unter dem Einflusse solcher Kräfte bewegt, welche sie selbst gegen einander ausüben, oder welche gegen feste Centren gerichtet sind: so ist die Summe der lebendigen Kräfte aller zusammen genommen zu allen Zeitpunkten dieselbe, in welchen alle Punkte dieselben relativen Lagen gegen einander und gegen die etwa vorhandenen festen Centren einnehmen, wie auch ihre Bahnen und Geschwindigkeiten in der Zwischenzeit gewesen sein mögen. Denken wir die lebendigen Kräfte angewendet, um die Theile des Systems 10 oder ihnen äquivalente Massen auf gewisse Höhen zu heben, 50 folgt aus dem, was wir eben gezeigt haben, dass auch die so dargestellten Arbeitsgrössen unter den genannten Bedingungen gleich sein müssen. Dieses Princip gilt aber nicht für alle möglichen Arten von Kräften; es wird in der Mechanik gewöhnlich angeknüpft an das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten, und dies kann nur für materielle Punkte mit anziehenden und abstossenden Kräften bewiesen werden. Wir wollen hier zunächst zeigen, dass das Princip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte ganz allein da gilt, wo die wirkenden Kräfte 1) sich auflösen lassen in Kräfte materieller Punkte, welche in der Richtung der Verbindungslinie wirken, und deren Intensität nur von der Entfernung abhängt; in der Mechanik sind solche Kräfte gewöhnlich Centralkräfte genannt worden. Es folgt daraus wiederum auch rückwärts, dass bei allen Wirkungen von Naturkörpern aufeinander, wo das besprochene Princip ganz allgemein auch auf alle kleinsten Theilchen dieser Körper angewendet werden kann, als einfachste Grundkräfte solche Centralkräfte anzunehmen seien.

Betrachten wir zunächst einen materiellen Punkt von der Masse m, der sich bewegt unter dem Einfluss der Kräfte von mehreren zu einem festen System A verbundenen Körpern, so zeigt uns die Mechanik die Mittel an für jeden einzelnen Zeitpunkt die Lage und Geschwindigkeit dieses Punktes bestimmen zu können. Wir würden also die Zeit t als die Urvariable betrachten, und von ihr abhängen lassen die Ordinaten x, y, z

1) D. h. „ihre Auflösbarkeit in Punktkräfte vorausgesetzt“ (1881).

von m in Beziehung auf ein gegen das System A festbestimmtes

Coordinatensystem, seine Tangentialgeschwindigkeit g, die den 11 Axen parallelen Componenten derselben u=dx/dt, v= dy/dt, w = dz/dt, und endlich die Componenten der wirkenden Kräfte:

X=mail Ymai 2= mange Unser Princip fordert nun, dass fmq?, also auch q’, stets dasselbe sei, wenn m dieselbe Lage gegen A hat, also nicht allein als Function der Urvariablen t, sondern auch als blosse Function der Coordinaten x, y, z hingestellt werden könne, d. h. dass :

d(69) = det + den dy + de 9 dz. (1) Da q2 = u? + 02 + wa, so ist d (93) = 2udu + 2vdv + 2 wdw. Wird statt u hier dx/dt, statt du aber Xdt/m aus den oben hingestellten Werthen gesetzt, eben so für v und w die analogen Werthe, so erhalten wir:

2(99) = 3,4 do + 37 dy + zdz. Da die Gleichungen 1 und 2 für jedes beliebige dx, dy, dz zusammen stattfinden müssen, so folgt, dass auch einzeln:

ay

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die ? und damit = 22:1)

Ist aber q? blosse Function von x, y, 2, so folgt hieraus, dass auch X, Y und 2, d. h. Richtung und Grösse der wirkenden Kraft nur Functionen der Lage von m gegen A seien.

Denken wir uns nun auch statt des Systems A einen ein12 zelnen materiellen Punkt a, so folgt aus dem oben bewiesenen,

dass die Richtung und Grösse der Kraft, welche von a auf m einwirke, nur bestimmt werde durch die relative Lage von m gegen a. Da nun die Lage von m durch seine Beziehung zu dem einzelnen Punkt a nur noch der Entfernung ma nach bestimmt ist, so würde in diesem Falle das Gesetz dahin zu modificiren sein, dass Richtung und Grösse der Kraft Functionen dieser Entfernung r sein müssen. Denken wir uns die Coor

1) Dieser Schluss erfordert eine Beschränkung (1881). S. Zusatz 3. dinaten auf irgend ein beliebiges Axensystem bezogen, dessen Anfangspunkt in a liegt, so muss hiernach:

md (93) = 2 Xdx + 2 Ydy + 2 Zdz = 0 (3) sein, so oft:

d(72) = 2 x dx + 2ydy + 2zdz = 0 ist, d. h. so oft:

dz= - dx + ydy. Dieser Werth in Gleichung 3 gesetzt, giebt:

(x - 2)dx + (Y – ! 2)dy = 0 für jedes beliebige dx und dy, also auch einzeln:

X = Z und Y = y 2, d. h. die Resultante muss nach dem Anfangspunkte der Coordinaten, nach dem wirkenden Punkte a, gerichtet sein.

Es müssen folglich in Systemen, welche ganz allgemein dem Gesetz von der Erhaltung der lebendigen Kraft") Folge leisten, die einfachen Kräfte der materiellen Punkte Centralkräfte sein.

II. Das Princip von der Erhaltung der Kraft. 13

Wir wollen dem besprochenen Gesetze für die Fälle, wo Centralkräfte wirken, nun noch einen allgemeineren Ausdruck geben.

Ist die Intensität der Kraft, welche in der Richtung von r wirkt, wenn sie anzieht, als positiv, wenn sie abstösst, als negativ gesetzt, also:

X=- ; Y=-. ; 2=-9 (1) so ist gemäss der Gleichung 2 des vorigen Abschnittes:

md (99) = –2 . («dx + ydy + zdz); also: Imd(9%) = - odr.

1) Und der Gleichheit der Action und Reaction (1881).

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Oder wenn Q und R, q und r zusammengehörige Tangentialgeschwindigkeiten und Entfernungen vorstellen:

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Betrachten wir diese Gleichung näher, so finden wir auf der linken Seite den Unterschied der lebendigen Kräfte, welchem

bei zwei verschiedenen Entfernungen hat. Um die Bedeutung R

der Grösse s p dr zu finden, denken wir uns die Intensitäten von p, welche zu verschiedenen Punkten der Verbindungslinie von m und a gehören, durch rechtwinkelig aufgesetzte Ordinaten dargestellt: so würde die genannte Grösse den Flächeninhalt bezeichnen, den die Curve zwischen den zu R und r gehörigen Ordinaten mit der Abscissenaxe einschliesst. Wie man sich nun diesen Flächenraum als die Summe aller der unendlich vielen in ihm liegenden Abscissen vorstellen kann, so ist jene Grösse der Inbegriff aller Kraftintensitäten, welche in den zwischen R und r liegenden Entfernungen wirken. Nennen wir nun die Kräfte, welche den Punkt m zu bewegen streben, so lange sie eben noch nicht Bewegung bewirkt haben, Spannkräfte, im Gegensatz zu dem, was die Mechanik lebendige

R Kraft nennt, so würden wir die Grösses pdr als die Summe

der Spannkräfte zwischen den Entfernungen R und r bezeichnen können, und das obige Gesetz würde auszusprechen sein: Die Zunahme der lebendigen Kraft eines Massenpunktes bei seiner Bewegung unter dem Einfluss einer Centralkraft ist gleich der Summe der zu der betreffenden Aenderung seiner Entfernung gehörigen Spannkräfte. Denken wir uns zwei Punkte unter der Wirkung einer anziehenden Kraft stehend in einer bestimmten Entfernung R, so werden sie durch Wirkung der Kraft selbst nach den kleineren Entfernungen r hingetrieben, und dabei wird ihre Geschwindigkeit, ihre lebendige Kraft, zunehmen; sollen sie aber nach grösseren Entfernungen r gelangen, so muss ihre lebendige Kraft abnehmen und endlich ganz verbraucht werden; wir können deshalb bei anziehenden Kräften die Summe der Spannkräfte für die Entfernungen zwischen r = 0 und

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s odr, als die noch vorhandenen, die aber zwischen

p = R, und r = 00 als die verbrauchten bezeichnen; die ersteren können unmittelbar, die letzteren erst nach einem 15 äquivalenten Verlust an lebendiger Kraft in Wirsamkeit treten. Umgekehrt ist es bei abstossenden Kräften. Befinden sich die Punkte in der Entfernung R, so werden sie bei ihrer Entfernung lebendige Kraft gewinnen, und als die vorhandenen Spannkräfte werden die zu bezeichnen sein zwischen r=R und r=00, als die verlorenen, die zwischen r = 0 und r = R.

Um nun unser Gesetz ganz allgemein durchzuführen, denken wir uns eine beliebige Anzahl materieller Punkte von den Massen m, m,, mz u. s. w. allgemein bezeichnet mit ma, deren Coordinaten xa, Ya, za; die den Axen parallelen Componenten der darauf wirkenden Kräfte seien Xa, Ya, Za, die nach den Axen zerlegten Geschwindigkeiten Wa, Va, wa, die Tangentialgeschwindigkeiten qa; die Entfernung zwischen ma und my sei rab, die Centralkraft zwischen beiden Pab. Es ist nun für einen einzelnen Punkt mr analog der Gleichung 1.

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wo das Summationszeichen sich auf alle die Glieder bezieht, welche entstehen, wenn man nach einander für den Index a alle einzelnen Indices 1, 2, 3 etc. mit Ausnahme von n setzt.

Multipliciren wir die erste Gleichung mit dxn = Undt, die zweite mit dyn = vndt, die dritte mit dzn = wndt, und denken wir uns die drei dann entstehenden Gleichungen für alle ein- 18 zelnen Punkte mo aufgestellt, wie es hier für mn geschehen ist, und alle addirt, so erhalten wir:

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