+K,, Vm (cos3 ε + §,, — d)

K sin (38 +8,7-8) sin(e + 8, -18) Mm sin 4 ε

C

sin (ɛ + d1 — d)

"

(9b)

Auf der rechten Seite sind nun noch näher die von der Luftreibung herrührenden mit K,, multiplicirten Ausdrücke zu bestimmen. In solchen Räumen, gegen deren Dimensionen die Wellenlänge der vorhandenen Luftschwingungen sehr gross ist, unterscheiden sich die Bewegungen der Luft nicht von denen einer incompressiblen Flüssigkeit. Die Luftreibung wird also im Innern der Kugel auf die schwingende Kugel einen ganz ähnlichen Einfluss haben, wie die Bewegung der eingeschlossenen Flüssigkeiten. Da übrigens ihr Einfluss sehr klein ist, und nur eine Correction für die Werthe der Wasserreibung bildet, so wird es genügen, wenn wir das grösste Glied ihres Einflusses allein berücksichtigen, indem wir 1/60, welches für die beweglichen Flüssigkeiten eine kleine Grösse ist, auch für die Luftreibung als eine solche annehmen. Dann reducirt sich in den Versuchen mit leerer Kugel der Werth von an der inneren Oberfläche auf:

Da wir nun weiter für diesen Fall gesetzt haben:

647 so wird in diesem Falle d = d1 = 0 und:

Für die Luftreibung ist nun weiter die Constante λ der Oberflächenreibung nach den Untersuchungen von Stokes über den Luftwiderstand bei Pendelschwingungen gleich Null zu

setzen. Wenn diese gleich Null ist, wird auch 0 und BC und man erhält aus (7a):

Es findet sich also für diese Reibung das Verhältniss K1B der Grösse Vm proportional, und nicht proportional m, wie es sein würde, wenn man, wie gewöhnlich bisher geschehen ist, die Reibung einfach der Winkelgeschwindigkeit proportional setzen würde. Die Constante K,,, welche wir gleich K,/BV m gesetzt haben, wird also unabhängig von der Schwingungsdauer. Dieselbe Annahme wird nun für die Luftreibung im allgemeinen zu machen sein, denn sie bestätigt sich sowohl, wenn man aus den Gleichungen (3b) sich das zweite Integral für die Reibung an der äusseren Fläche der Kugel herleitet, als auch in den von Stokes ausgeführten Untersuchungen über die Luftreibung an Pendeln, sobald wie in unserem Falle die Dimensionen des schwingenden Körpers und seines Gehäuses gross gegen die Wellenlänge der bei der Reibung entstehenden transversalen Wellen sind. Der von der Reibung der Luft unabhängige Theil des Luftwiderstandes erscheint, wie schon bemerkt wurde, nur als eine Vergrösserung des Trägheitsmomentes.

Die Constante K,, müssen wir aus den Schwingungsversuchen an der leeren Kugel bestimmen. Es werden für diese Versuche die Gleichungen (8), indem wir den Winkel d,,, der dem bei der Wasserreibung entspricht, gleich Null

setzen:

η

2

Mm2 cos (48) +ƒo2 = - K,,m. Vm cos (3ε)

Es sind hier die Grössen, deren Werth bei den Schwingungen der gefüllten Kugel ein anderer ist, durch den Index o unterschieden. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich:

Aus diesen beiden Gleichungen sind die Grössen Mund K,, zu finden, und ist in (9b) ebenfalls der Winkel d,, zu vernachlässigen.

649

Bezeichnen wir nun der Abkürzung wegen die bekannten. auf der rechten Seite der Gleichung (9b) stehenden Grössen durch besondere Buchstaben, setzen also:

Hierbei ist zu bemerken, dass der Werth von F,, aus den Versuchen mit ziemlicher Genauigkeit zu finden ist, da er hauptsächlich von m und ɛ, d. h. den ganzen Werthen der Schwingungsdauer und des logarithmischen Decrements abhängt, und beide sehr genau bestimmt werden konnten.

In dem Ausdrucke, welcher F, gleichgesetzt ist in (9e), hat der Winkel einen verhältnissmässig geringen Einfluss, weil 28 nahehin gleich einem Rechten ist, und daher nahehin: sin (3ɛ + d1 - n d) sin (ɛ + d1

-

Wenn nun aber die Winkel & 8 und ʼn klein sind, wie es bei beweglichen Flüssigkeiten mit den beiden ersten wenigstens der Fall ist, so ist der doppelte Winkel rechts nahehin gleich einem Rechten, und der Sinus eines solchen Winkels ist immer wenig von Eins unterschieden.

Somit verschwindet der Einfluss des Winkels fast ganz aus dieser Gleichung, und man hat Gelegenheit aus ihr die innere Reibungsconstante ziemlich genau zu finden, selbst wenn der Werth ungenau gefunden worden wäre, vorausgesetzt nur, dass klein bleibe. ท

Dagegen hängt der Werth von F, ab von den ziemlich kleinen Unterschieden der Schwingungsdauer. Nämlich wenn man die Luftreibung vernachlässigt, und & gleich 45° annimmt, ist:

3 Mf
8ah K m (M- m2 }.

Nun ist aber f/M gleich dem Werthe von m2, welcher ohne Wasserreibung eintreten würde, und der aus der Schwingungsdauer der leeren Kugel berechnet werden muss. Es haben hier Unterschiede in den Hunderttheilen der Secunde bei Bestimmung der beiden Schwingungsdauern schon einen sehr namhaften Einfluss auf die Grösse der Differenz, welche selbst nur wenige Zehntel beträgt, sodass F, und damit der Werth von 7 ziemlich unsicher wird.

Nach diesen Vorbereitungen schreiten wir zur Auflösung der Gleichungen (9e). Wir finden zunächst:

können daraus die Sinus und Cosinus desselben Winkels, und des um 2 verminderten Winkels finden, und erhalten somit einen Werth J des Ausdruckes:

welche Gleichung nur noch k als Unbekannte enthält. Wenn & R= (m/k). sin & R sehr gross ist, ist, wie wir gesehen in (9c):

woraus ein erster angenäherter Werth für k erhalten werden kann, der dann dazu dient, CC, & und 8 zu berechnen, um dann durch Gleichung (10) einen neuen genaueren Werth von k zu erhalten, und so fort, bis eine genügende Uebereinstimmung erreicht ist. Zur logarithmischen Rechnung dient folgendes System von Formeln, wenn k' den ungenaueren, k" den genaueren Werth von k bezeichnet:

Diese Formeln sind berechnet aus den Gleichungen (4d), (6) und (10) mit Berücksichtigung der in (6 e) und (6f) eingeführten Bezeichnungen. Doch sind in (4d) und (6) die mit e-R multiplicirten Glieder weggelassen, da diese bei den beweglicheren Flüssigkeiten an der Peripherie der Kugel verschwindend klein werden. Hat man endlich einen Werth von k gefunden, der beim Durchrechnen der Gleichungen (10a) kein davon verschiedenes k,, mehr liefert, so erhält man 2, den Gleitungscoëfficienten, aus (6e):

Der Winkel wird aus dem in (9f) bei der Berechnung von J gefundenen Winkel (3+ d'n) hergeleitet.

Bei den beweglicheren Flüssigkeiten kommt man mit zweibis dreimaliger Durchrechnung der Gleichungen (10a) zum Ziele. Je grösser aber der Reibungscoëfficient k ist, desto weitläufiger wird die Rechnung. Für sehr steife Flüssigkeiten würde man auch nicht mehr die mit e-e multiplicirten Glieder im Werthe von und d/do vernachlässigen dürfen. Dann würde es vortheilhafter sein, die nach Potenzen von o entwickelten Ausdrücke beider Grössen zu benutzen.

§ 5. Vergleichung mit älteren Versuchen.

Es ist von vielen Seiten die Ansicht aufgestellt worden, dass die äusserste Schicht der Flüssigkeit, welche zunächst die Gefässwand berührt, dieser fest und unbeweglich anhafte, d. h. dass unser Gleitungscoëfficient gleich Null zu setzen sei. Dass die Flüssigkeiten mit ziemlicher Kraft an benetzten festen Körpern haften und von ihnen angezogen werden, lehren die 651 Capillarerscheinungen und die Schwierigkeit, mit der sich die dünne benetzende Schicht von dem Körper trennt, dem sie anhaftet. Aber bei den Bewegungen innerhalb eines Gefässes ist der Fall doch insofern ein anderer, als die Wand fortdauernd gleichmässig mit Flüssigkeit benetzt bleibt, und durch die Bewegung die Flüssigkeit vom festen Körper nicht überhaupt getrennt wird, sondern stets neue Flüssigkeitstheile an die Stelle derer treten, welche sich von einem Flächenelemente