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2.

keiten der Wassertheilchen so variirt, wie sie verändert werden würden, wenn eine der verschiedenen möglichen Bewegungen des Körpers factisch einträte. Dieser letzte Satz erlaubt nun leider keine directe Anwendung auf die von Hrn. Schklarewsky beobachteten Erscheinungen, wie ich gehofft hatte, vielmehr habe ich mich später überzeugt, dass dieselben ohne Berücksichtigung der quadratischen Glieder der Geschwindigkeiten nicht zu erklären seien. Da jedoch die eben hingestellten Sätze an sich von Interesse sind, erlaube ich mir hier ihren Beweis zu veröffentlichen. § 1. Es seien die den rechtwinkeligen Coordinaten r, y, z parallelen Componenten der Geschwindigkeit des im Punkte (r, y, z) befindlichen Flüssigkeitstheilchens beziehlich u, v, w, der Druck ebenda p, die Dichtigkeit h. Die Componenten der äusseren im Punkte (r, y, z) auf die Einheit der Flüssigkeitsmasse wirkenden Kräfte seien d V/dr, dV/dy, dV/dz. Wir nehmen an, dass die Flüssigkeit incompressibel sei, und dass die Geschwindigkeiten der Flüssigkeit und ihre Differentialquotienten hinreichend klein seien, um ihre Quadrate und Producte in den Bewegungsgleichungen vernachlässigen zu können. Die hydrodynamischen Gleichungen mit Berücksichtigung der Reibung nehmen dann folgende Gestalt an:

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An der Oberfläche der Flüssigkeit wollen wir die Winkel, welche die nach aussen gerichtete Normale dieser Fläche mit den positiven Coordinataxen bildet, mit a, 3, y bezeichnen, und die Kräfte, welche die Flüssigkeit auf das Flächenelement dao ihrer Grenzfläche ausübt, beziehlich mit: (p cosa + X)do, (pcos 3+ F)do, (p cosy + Z) do.

Helmholtz, wissensch. Abhandlungen. 15

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Diese letzteren Grössen haben folgende Werthe:

*- - ** [2 £00. u + (g + £)«./» + (£+£)o«r]

(3-:+r;)«»-+»g«-/»+(£+S)Hab)

Wo die Flüssigkeit feste Körper berührt, die sie vollkommen benetzt, haftet sie an diesen fest, und die oberflächlichen Flüssigkeitstheilchen theilen dann die Bewegung dieser Körper. Wir wollen uns im folgenden auf die Betrachtung dieses Falles beschränken, weil er der gewöhnlichere und einfachere ist. Die Componenten der äusseren Kräfte, welche die festen Körper zu bewegen streben, seien X, ty, 3, und die unendlich kleinen Verschiebungen ihrer Angriffspunkte parallel den x, y, z, welche bei irgend einer möglichen Bewegung des Systems eintreten können, seien du, dti, d\o, die entsprechenden Verschiebungen der Oberflächenpunkte des Körpers Su Sv, Sw, so ist die Bedingung des Gleichgewichtes für die den festen Körper berührenden Theile der Oberfläche:

2[Xdü + g)£t> + &St0] +j{XSn + YSv + Z8w)da +

+ fp (cos aSu + cosßSv + cosydw)dm 0> (lc)

worin die Summe auf alle Angriffspunkte der Kräfte X, % 3> und das Integral auf die ganze Oberfläche des betreffenden Körpers zu beziehen ist.

Wenn die Grenzfläche irgend wo durch die Flüssigkeit selbst gezogen gedacht ist, sind unter X, D und 3 die Kräfte zu verstehen, welche die jenseits hegende Wassermasse auf die Grenzfläche ausübt.

An einer freien Oberfläche sind: X=-<ßcosa, ?)=-^cos^, 3=-«ßcosy,

wo $ den ausserhalb der Flüssigkeit herrschenden Druck bezeichnet.

§ 2. Wir wollen zunächst den Verlust an lebendiger Kraft bestimmen, den die Reibung herbeiführt in einem von Flüssigkeit erfüllten Raume S. Zu dem Ende multipliciren wir die erste der drei Gleichungen (1) mit u, die zweite mit v, die dritte mit w, addiren sie alle drei, und addiren schliesslich zur Summe noch die Gleichung welche aus (1a) fliesst:

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Die so gewonnene Gleichung integriren wir über den Raum S nach den von Green und Gauss für solche Fälle angewendeten partiellen Integrationsmethoden und mit Berücksichtigung der Gleichungen (1b). Wir erhalten:

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worin Q folgendes über den Raum S ausgedehntes Integral bezeichnet:

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Wenn man beide Seiten der Gleichung (2) mit dt multiplicirt denkt, so bedeutet das Integral links vom Gleichheitszeichen die Zunahme der lebendigen Kraft in der den Raum S füllenden Flüssigkeitsmasse während des Zeittheilchens dt, das erste Integral rechts bezeichnet denjenigen Theil dieser Zunahme, welcher durch die Arbeit der äusseren Kräfte, die auf das Innere der Wassermasse wirken, geleistet worden ist. Das zweite Integral rechts, welches nach der Gleichung (1c) gleich dem Ausdrucke:

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ist, wo u, v, w die Geschwindigkeitscomponenten für die An

griffspunkte der Kräfte X, A), Z bezeichnen, misst die Arbeit,

welche die Kräfte X, A), Z, die direct oder indirect auf die Oberfläche der Flüssigkeit wirken, im Zeittheilchen dt geleistet haben. Daraus folgt, dass Q diejenige Menge lebendiger Kraft bezeichnet, welche durch die Reibung im Innern der Flüssigkeit vernichtet, das heisst in Wärme verwandelt worden ist.

Bezeichnen wir die lebendige Kraft der Flüssigkeit mit L, die Arbeit der äusseren Kräfte mit P, also:

P = hCV (« cos a + v cos ß + w cos y) doi

+ z {In + D» + 3»),

so können wir die Gleichung (2) schreiben:

%-p-<* } (2b)

§ 3. Wir wollen jetzt nachweisen, dass bei stationärem Strome der Ausdruck:

P-\Q

ein Minimum wird. Wir beschränken uns dabei auf die gewöhnlich vorkommende Form der Grenzbedingung, dass nämlich, wo die Flüssigkeit einen festen Körper berührt, ihre oberflächlichen Theilchen fest an diesem haften. Wo also die Flüssigkeit eine feste Wand berührt, sei diese nun unbewegt, oder habe sie eine vorgeschriebene Bewegung, sind die Werthe von u, v, w gegeben, und ihre Variationen gleich Null. Dasselbe wird vorausgesetzt an denjenigen Theilen der Grenzfläche des Baumes S, wo die Flüssigkeit ein- und ausströmt. Dagegen können an der Oberfläche beweglicher schwimmender Körper und an einer freien Oberfläche Variationen von a, v, w und u, », n) eintreten, welche den Bewegungsbedingungen der etwa berührenden festen Körper entsprechen.

Da die Flüssigkeit als incompressibel angenommen wird, muss ausserdem die Gleichung (la) überall erfüllt sein. Die Bedingung des Minimum wird demnach:

— ^-»*«+'///*(£+g+£)^** 1(3)

worin A eine beliebige Function der Coordinaten bezeichnet. Wenn man durch partielle Integration die Differentialquotienten von du, dv, Sw entfernt, erhält man:

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2) Für die Oberfläche mit Benutzung der in den Gleichungen (lb) gegebenen Definitionen von X, Y, Z:

o=f{[(hV + )i)cosa+X]Su ]

+ [{hV+ A)cos/? + T]dv + [(ÄV + A)cos?' + Z]öw]da }(3b)

In dieser letzteren Gleichung sind die Variationen Su, dv, 3w den vorgeschriebenen Beweguugsbedingungen der berührenden festen Körper unterworfen.

Wenn wir nun die neue Bezeichnung einführen: i=p-hV so bekommen die Gleichungen (3 a) und (3 b) genau dieselbe Form, wie die Gleichung (1) und (lc) mit Berücksichtigung von (lb). Der einzige Unterschied der bestehen bleibt, ist der, dass in den letzteren die Grösse p in (3 a) und (3 b) dagegen statt dieser die Grösse p vorkommt.

Jede Lösung der Gleichung 3 wird also Werthe von u, v, w, p geben, die, statt u, v, w, p in die Gleichungen (1), (la), (lb), (lc) gesetzt, diesen genügen.

Einen stationären Strom wird diese Art der Bewegung aber nur dann geben, wenn längs der freien und der verschiebliche Wände berührenden Theile der Oberfläche der Flüssigkeit überall:

u cos« + v cos/9 + te cos y 0,

d. h. wenn diese Theile der Oberfläche bei der Bewegung ihre Lage nicht ändern, sondern sich entweder gar nicht, oder nur in sich selbst verschieben.

Uebrigens folgt noch aus der Gleichung (2 b) für den stationären Strom, wo u, v, w von der Zeit t unabhängig sind, dass

P=Q,

und da P gleich Xull wird, wenn u, v, w rings an der Ober

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