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erzeugt werden könne, beruht auf einem Missverständniss, welches bei einem so fertigen Mathematiker überrascht. Derselbe ist von Hrn. Airy ibd. 343 zurückgewiesen, indem er erinnert, dass es nicht auf die absolute Grösse der elastischen Kräfte ankomme, sondern auf ihren Unterschied von denen des Gleichgewichtszustandes, und dass dieser Unterschied in beiden Fällen vergrössert sei. In den weiteren Aufsätzen Bd. XXXII 498 und XXXIII sucht Hr. Challis dagegen aus den Gleichungen für die Schallbewegungen mit Berücksichtigung des Einflusses der Erwärmung nachzuweisen, dass dieser Einfluss nicht blos in einer Aenderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit bestehen könne, sondern auch den Charakter der Bewegung ändere. Dagegen ist zu erinnern, dass alle unsere Theorien kleiner elastischer Schwingungen nur eine Art von Bewegung darstellen sollen, welcher sich wirklich stattfindende Bewegungen immer mehr nähern, je kleiner sie sind; deshalb sind wir berechtigt in den Gleichungen die Aenderungen der Dichtigkeit gegen die ganzeDichtigkeit, die Geschwindigkeiten der schwingenden Theile gegen die Fortpflanzungsgeschwindigkeit zu vernachlässigen, wie es auch Hr. Moon in seiner oben citirten Antwort gegen Hrn. Challis thut, und dann reducirt sich der Einfluss der Temperaturänderung wirklich auf eine blosse Aenderung der Schallgeschwindigkeit, wie es auch aus den von letzterem selbst aufgestellten Gleichungen folgt. Um eine neue Theorie des Schalles zu gründen, sucht Hr. Challis in seinem ersten Aufsatze ein particuläres Integral der hydrodynamischen Gleichungen, durch welches eine nach einer Richtung sich fortpflanzende Bewegung dargestellt wird. Wir haben bekanntlich zweierlei Systeme von hydrodynamischen Gleichungen eines für Bewegungen von endlicher Grösse, und ein zweites einfacheres für unendlich kleine Schwingungen. Nennen wir 9 die Dichtigkeit, p den Druck, u die Geschwindigkeit in Richtung der r, v die in Richtung der y, w die in Richtung der z für den Punkt dessen Coordinaten r, y, z sind zur Zeit t, ferner a” die Constante, welche der Gleichung genügt p = a”g, und betrachten wir nur Fälle, in welchen sich eine Function p von r, y, z und t so finden lässt, dass u= dp/dr, v= dp/dy, w = dp/dz, so reducirt

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104 sich bekanntlich das System der exacten Gleichungen für Be

wegungen von Gasen, welche nicht dem Einflusse äusserer Kräfte ausgesetzt sind, auf folgende zwei:

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Die Gleichung für unendlich kleine Schwingungen erhält man hieraus, wenn man die höheren Dimensionen der Ableitung von g weglässt, und e eliminirt:

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Eine ganz ähnliche existirt für :

do , dae,
2 -
a

tas
dira T doet 2,?):

Hr. Challis benutzt zunächst nur die letzteren Gleichungen, und findet als ein seiner Forderung entsprechendes particulares Integral:

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wo à die Wellenlänge bezeichnet und f irgend eine Function von x und y, welche der Gleichung entspricht:

dom+ a + 4ef = 0.

Dieses Integral zeigt also Vibrationen an, parallel der Axe der z, welche sich parallel dieser selben Axe mit der Geschwindigkeit a Vited?/n2 fortpflanzen; letztere ist, da e in der Untersuchung als Bezeichnung einer nothwendig positiven aber noch unbestimmten Grösse eingeführt ist, stets grösser als die sonst gefundene Fortpflanzungsgeschwindigkeit a. Die Function f, welche die Vertheilung der Gleichgewichtsstörungen in Ebenen darstellt, die auf der z-Axe senkrecht stehen, muss zwei willkürliche Functionen von x und y enthalten, da sie durch eine partielle Differenzialgleichung zweiten Grades gegeben ist. Als einfachsten Fall betrachtet Hr. Challis den, wo die Störungen nach allen Richtungen senkrecht auf der Axe der z 105 dieselben sind, also nur von der Entfernung von dieser Axe abhängen; er erhält so eine bestimmte Function für f, welche Verdichtungswellen bezeichnet von der Gestalt concentrischer Ringe, welche in der Richtung der z fortschreiten. Die Wellen nehmen bei wachsendem Durchmesser der Ringe an Intensität ab, die intensivste Welle aber schreitet längs der Axe dieser Ringe fort innerhalb einer cylindrischen Hülle; der Durchmesser dieser Hülle hängt von der Grösse e ab. Diese Art von Bewegung in einem cylindrischen Faden betrachtet Hr. Challis als die elementare, er nennt sie „nicht divergirende Wellen“, und bemüht sich schliesslich nachzuweisen, dass die Grösse e, welche die grössere Fortpflanzungsgeschwindigkeit bedingt, nur von der Natur des Stoffes abhängig sei, aber dies ist die schwache Stelle seiner Untersuchung.

Hr. Airy hat darauf gezeigt, dass sich die von Hrn. Challis gefundenen Bewegungen zusammensetzen lassen aus ebenen Wellen, deren Normalen gleiche Winkel mit der Axe der z bilden, und je zwei in derselben Ebene mit dieser Axe liegen. Liegen z. B. diese Normalen in der Ebene der xz, und bilden mit ihr den Winkel a, so sind die Geschwindigkeitsgleichungen für die eine:

w, = m sin {** (v sin u + z cos a at) } und für die andere:

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die letztere Gleichung kann geschrieben werden ganz übereinstimmend mit der von Hrn. Challis gefundenen:

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wo in = 1/cosa, a, = a/cosa und f = cos {21 x sin ala}. Bei einem solchen Zusammenwirken zweier ebenen Wellensysteme

laufen also die einzelnen Phasen nach der Halbirungslinie des 106 Winkels den ihre Normalen bilden mit einer grösseren Ge

schwindigkeit ab, als die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles beträgt; dieselbe hängt aber ab von der Grösse des Winkels a, und ist keine Unveränderliche. Durch Zusammensetzung verschiedener ähnlicher Paare von verschiedener Intensität, Wellenlänge und Lage, deren Normalen aber alle denselben Winkel mit der z-Axe bilden, kann man den allgemeineren von Hrn. Challis behandelten Fall darstellen, die Ringsysteme dagegen, wenn man alle diejenigen Wellensysteme zusammensetzt, welche gebildet werden, wenn man ein solches Paar um die z-Axe rotiren lässt.

Hr. Challis verwahrt sich in seinem zweiten Aufsatze gegen diese Zerlegung seiner nicht divergirenden Wellen in ebene Wellen, indem er den particulären Integralen der allgemeinen Bewegungsgleichungen, welche die Bewegung ebener und sphärischer Wellen darstellen, alle physikalische Bedeutung abspricht, weil, wie er nachzuweisen sucht, diese Gleichungen auf physikalische Vorstellungen angewendet in Widersprüche führen. Für ebene Wellen braucht er zu diesem Behufe die vollständigen Gleichungen (I). Setzt man voraus, dass die Bewegungen nur der Axe der z parallel seien, dass Druck und Geschwindigkeit in den auf z senkrechten Ebenen gleich seien, und eliminirt man e aus den Gleichungen (I), so erhält man die exacte Gleichung für ebene Wellen:

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(dx / T dx? Tadx dxdt V, und ein entsprechendes Integral derselben ist:

w = :-(a + w)t) , wo y eine willkürliche Function der in Parenthese beistehenden Grösse ist. Dieser Ausdruck bezeichnet eine Bewegung, bei welcher die Phasenpunkte ohne Bewegung mit der Geschwindigkeit a fortschreiten, diejenigen aber, in denen die Geschwindigkeit m ist, mit der a + m. Es lässt sich aus der Integralgleichung leicht der entsprechende Ausdruck für die Dichtigkeiten ableiten. Man findet:

In $ = 1w,

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wo go die Dichtigkeit in der Gleichgewichtslage bezeichnet. Den positiven Werthen von w entsprechen demnach Werthe von 9 > go, den negativen solche von 9 < go. Es schreiten also in den durch die obige Integralgleichung gegebenen Wellensystemen die Phasen der grösseren Dichtigkeit schneller fort, als die der geringeren, und die Wellen müssen im Fortschreiten ihre Gestalt ändern. Hr. Challis spricht nun der obigen Gleichung, von deren Richtigkeit man sich übrigens leicht durch Integriren überzeugen kann, alle physikalische Gültigkeit ab, weil bei diesem ungleichmässigen Fortschreiten verschiedener Phasen derselben Welle es endlich dazu kommen müsse, dass ein Punkt ohne Geschwindigkeit einen ihm voranliegenden der Verdünnungsphase einhole und überhole, und er zugleich eingeholt und überholt werde von einem der hinter ihm liegenden Verdichtungsphase, sodass nach jener Gleichung in demselben Punkte der z-Axe gleichzeitig Verdünnung, Verdichtung und normale Dichtigkeit, positive, negative und keine Geschwindigkeit vorhanden sein müsse, was in diesem Falle der physikalischen Anwendung Unsinn sei; deshalb könne diese Form des Integrals überhaupt nicht mögliche physikalische Verhältnisse aussprechen. Indessen kann dieses Princip nicht zugegeben werden. Wenn die Differenzialgleichungen alle Bedingungen der betrachteten Bewegungen enthalten, so muss auch jedes ihnen entsprechende reelle particuläre Integral einen möglichen Fall solcher Bewegung aussprechen. Führt dasselbe aber aus anwendbaren Werthen über zu nicht anwendbaren, so muss an der Grenze beider ein in den Differenzialgleichungen nicht berücksichtigtes Verhältniss vorkommen. Dieses ist in diesem Falle von Hrn. Stokes aufgefunden. Bei der Aufstellung der hydrodynamischen Gleichungen (I) muss man nämlich die Voraussetzung machen, dass die Dichtigkeits- und Geschwindigkeitsänderungen bei dem Uebergange von einem Theilchen auf die benachbarten continuirliche seien, also dg/dr und dw/dr endliche Grössen. Jene Gleichungen finden aber keine Anwendung mehr, sobald an irgend einer Stelle eins dieser Verhältnisse unendlich geworden ist. Das muss aber eintreten, sobald irgend ein Punkt der Verdichtungsphase irgend einen von geringerer Dichtigkeit erreicht. Nur bis zu diesem

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