Page images
PDF
EPUB

Uebereinstimmung noch grösser sei mit den neuesten noch nicht veröffentlichten Versuchen von Grassi.?)

Mit dem Factor V 3 hat es folgende Bewandtniss. Denken 113 wir uns im Innern einer nach den Richtungen der Coordinaten verschieden stark gepressten festen elastischen Masse ein Massenelement abgegrenzt durch Ebenen, welche den Coordinatenebenen parallel sind, so wird der Druck X, den es in Richtung der x ausübt, eine lineare Function der verschiedenen Compressionen nach den drei Axen sein. Ist die Längeneinheit auf der Axe der x geworden 1 – 4x, auf der der y, 1 4y, auf der der z, 1 – Az, so wird sein:

X = a? 4.x + 62 (4y + 4z)
Y = a4y + 62 (4x + 4z)

Z= aAz + 62 (4x + 4y). Entstehen nun in einer festen unbegrenzten elastischen Masse ebene Wellen normal auf der Axe der x, so werden die Massenelemente nur in der Richtung der x comprimirt und dilatirt, weil seitlich in Richtung der y und z ebenso comprimirte Theilchen danebenliegen, also werden Ay und 12 Null werden, und die Kräfte, welche die Forpflanzung der Wellen bestimmen, werden:

X = a4x. Wenn so die Dichtigkeit bezeichnet, wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit a/s. Entstehen aber in einem Stabe longitudinale Wellen, und kann sich in jedem Querschnitt nach den Seiten hin das Gleichgewicht herstellen, so dass der Druck nach den Seiten hin 0 wird, so erhalten wir aus unseren Gleichungen:

X = a? 1x + 52 (4y + 4z)
0= a? 4y + 62 (4x + 4z)

0 = aAz + 62 (4x + 4y), woraus sich ergiebt:

264

X = (a? - dr.
Poisson hatte aus theoretischen Betrachtungen hergeleitet,

1) Grassi. Note sur la compressibilité des liquides C. R. XXVII. 153*; Dingl. p. J. CX. 31*; Pol. Centrbl. 1848 p. 1335; Arch. d. sc. ph. et nat. IX. 58.

dass a2/12 = 3 sei, Wertheim) hat experimentell gefunden, 114 dass es = 2 sei; danach ergiebt sich in unseren letzten Ausdrucke:

X = į a4x und die Schallgeschwindigkeit v a/s. Dieselbe ist also um V kleiner, wenn die Masse quer gegen die Fortpflanzungsrichtung des Schalls sich frei ausdehnen kann und dadurch einen Theil ihrer Spannung verliert, als wenn dies nicht der Fall ist. Da Wertheim das Verhältniss der Schallgeschwindigkeit in einem verhältnissmässig dünnen Wassercylinder zu der im unbegrenzten Raume ebenso gross gefunden hatte, wie das derselben in einem elastischen Stabe zu der in einer Masse von drei Dimensionen, so schliesst er, dass die Flüssigkeiten während der Schallschwingungen nicht Zeit hätten, die Gleichheit des Drucks nach allen Seiten herzustellen, und deshalb sich ebenso bewegten wie feste elastische Körper. Wir können indessen diese Erklärung der Versuche nicht annehmen, weil der Unterschied der Schallgeschwindigkeit im Stabe und im unbegrenzten Körper wesentlich davon abhängt, dass sich jener nach den Seiten ausdehnen kann, was bei der von der Pfeife aus Messing oder Glas eingeschlossenen Wassermasse in den besprochenen Versuchen nicht der Fall war. Nun ist allerdings eine Messingröhre einer comprimirten Wassermasse gegenüber nicht als so absolut fest zu setzen, wie es bei den Luftschwingungen ist. Schon bei den letzteren erniedrigt sich der Ton der Pfeife, wenn sie aus Holz gefertigt wird, und noch mehr, wenn ein Theil der Wand durch eine nachgiebigere Substanz, z. B. Pergament, ersetzt wird, und etwas Aehnliches muss bei Wasserschwingungen in Messingröhren vorkommen. Indessen kann dieser Einfluss nicht von der Art der Röhre unabhängig sein, er muss proportional sein ihrem Radius, umgekehrt proportional ihrer Wanddicke und ihrem Elasticitätscoëfficenten. Ob sich die Resultate der Wertheim'schen Versuche dadurch erklären lassen, muss künftigen Untersuchungen vorbehalten bleiben.

1) C. R. XXXVI. 206.

Hr. Seebeck hat eine Rechnungsmethode angegeben, um 115 für die Transversalschwingungen nicht gespannter Stäbe die Lage der Knoten, der Wendepunkte, der Punkte der stärksten Schwingung und Biegung nach einem gemeinsamen Verfahren für die verschiedenen Befestigungsarten der Enden bis zu beliebig genauen Näherungswerthen berechnen zu können. Die Tonhöhen waren schon aus den Untersuchungen von D. Bernoulli, Euler und Poisson bekannt, die Knoten für Stäbe mit zwei freien Enden durch ersteren, Riccati und Strehlke. Hr. Seebeck ermittelt aus der allgemeinen Gleichung für die Form eines schwingenden Stabes:

y = Aeam + Bemax + Csin ux + D cos a x mit Berücksichtigung der Bedingungen für die Enden zuerst die verschiedenen Werthe von a, verschiedenen Tönen entsprechend, und bringt dann, indem er y = 0 für die Knoten, dy dx? = 0 für die Wendepunkte setzt, die Gleichung auf die Form:

[ocr errors]

wo S=e-a* ca(1-x) + e-al (sin a x + cos ax) und für alle Töne mit Ausnahme des ersten eine sehr kleine Grösse ist. Man setzt es = 0, erhält dadurch einen ersten Näherungswerth von ax, mit diesem einen genaueren von d und so fort. Für den ersten Ton ist der erste Näherungswerth ax = 1,04. In dieser Form giebt die Gleichung die Entfernung der Knoten eines Stabes, dessen eines Ende eingeklemmt ist, das andere frei, vom freien Ende, die der Wendepunkte desselben vom festen Ende; die der Knoten eines an beiden Enden freien Stabes und die der Wendepunkte eines an beiden Enden eingeklemmten Stabes von einem beliebigen der beiden Enden. Setzt man dagegen:

S= -6-a* + e-al—) (sin ax + cos ax), so giebt die Gleichung die Wendepunkte eines freien Stabes und die Knoten eines an beiden Enden eingeklemmteil.

Ist der Stab an einem Ende angestemmt, am anderen eingeklemmt oder frei, so verhält sich sein angestemmtes Ende ganz so wie die Mitte eines an beiden Enden eingeklemmten

118 oder freien Stabes sich bei den geraden Tönen verhält, und man

führt so diese Fälle auf die vorhergehenden zurück. Ist der Stab mit beiden Enden angestemmt, so theilt er sich ganz einfach in gleiche Theile ab. Hr. Seebeck giebt dann noch eine Tafel der so berechneten Werthe für die verschiedenen Fälle.

Um die Correction zu ermitteln, welche bei Berechnung der Töne gespannter Saiten durch deren Steifheit bedingt wird, hatten Savart und Duhamel die Regel aufgestellt, dass:

n2 = n,? + n2,,, wo n die Schwingungszahl der steifen gespannten Saite, n, die derselben ungespannt, n,, die derselben gespannt und als nicht steif betrachtet. Hr. Seebeck zeigt, dass dies theoretisch nur gerechtfertigt sei, wenn beide Enden um Queraxen drehbar und nicht eingeklemmt seien. Um die Correction genauer zu ermitteln ist derselbe von der allgemeinen Bewegungsgleichung eines gespannten Stabes ausgegangen. Ist p das Gewicht der Längeneinheit des Stabes, P das spannende Gewicht, und a dạy dx? das elastische Moment, sodass bei einem cylindrischen Stabe vom Halbmesser r und dem Elasticitätsmodulus m, a = mr47/4 ist, so ist die Bewegungsgleichung:

dog _ Pg dog_ag do y

di2 = P ? dæmi Ein besonderes Integral dieser Gleichung, welches einem einzelnen Tone von der Schwingungszahl n entspricht, ist: y = A, ea x + 16 + B,e-ax+nt + C, sin (B x + nt) + D, cos (Bx + nt)

+ A,,eaz—nt+ B,,e-av-nt + C, sin (B x nt) + D,, cos (Br + nt)

[merged small][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

Die Coëfficienten A, B, C, D bestimmen sich aus den Be117 dingungen, denen die Enden unterworfen sind. Sind beide

Enden eingeklemmt, so erhält man:
tg Bl=.
=ū2-821

2 (e-2alte-hal + ....) — aleal te–Balt.

[ocr errors]

und kann daraus Näherungswerthe berechnen, indem man vorläufig setzt:

22 - 208 _ 2nap

tg Bl = ming2=PV ģ und aus dem oben angegebenen Werthe von ßfindet:

Hr. Seebeck fand die Ergebnisse der Rechnung bei einem mit den nöthigen Vorsichtsmassregeln angestellten Versuche an einer starken und kurzen Stahlsaite vollkommen genau bestätigt. Für gewöhnliche Saiten von geringer Steifheit giebt Hr. Seebeck mit Vernachlässigung der zweiten Potenzen von Va/PT? folgende Formel:

n=r,(1+27

[ocr errors]

Die Correction beträgt ungefähr die Hälfte für Saiten, deren eines Ende an einen Steg nur angelehnt frei herunterhängt, also wie das angestemmte Ende eines Stabes sich bewegt.

Fehler der harmonischen Reinheit der Obertöne treten erst auf, wenn man die zweite Potenz von Va P7berücksichtigen muss. Man erhält für die Schwingungsmenge des iten Tones in der Zeit 2n:

n=iN(1 + i28), wenn:

[merged small][ocr errors]

Bei den gewöhnlichen Monochordsaiten ist diese Abweichung 118 schon völlig unmerklich; sind die Saiten aber so stark, dass sie merklich wird, so klingt auch der Grundton unrein wegen der Beimischung unreiner Obertöne.

Die Arbeit von Hrn. Duhamel enthält Erörterungen über die Superposition der Schwingungen an tönenden festen Körpern; es ist darin nichts neues enthalten.

« ՆախորդըՇարունակել »