sammengesetzt aus zwei geraden Linien ac und bc, die sich in dem Punkte schneiden. Man lasse diesen Schnittpunkt mit gleichbleibender Geschwindigkeit sich längs zweier flacher kreisförmiger Bogen fortbewegen, die zu beiden Seiten der Saite symmetrisch liegen und durch deren Enden gehen, wie Fig. 9 zeigt. So erhält man eine Bewegung, die der der wirklichen Saite entspricht. с Fig. 9. Die Bewegung jedes einzelnen Punktes betreffend, so kann aus Gleichung (1) hergeleitet werden, dass die zwei Theile a b und he (Fig. 7) der Zeitdauer jeder Schwingung proportional sind den zwei Theilen, in die die Saite durch den beobachteten Punkt getheilt wird. Die beiden Geschwindigkeiten sind natürlich umgekehrt proportional zu den Zeiten ab und b c. In derjenigen Hälfte der Saite, welche vom Bogen berührt wird, hat die kleinere Geschwindigkeit dieselbe Richtung, als der Bogen; in der anderen Hälfte der Saite hat sie die entgegengesetzte Richtung: Indem ich die Geschwindigkeit des Bogens mit der Geschwindigkeit des von ihm berührten Punktes verglich, fand ich, dass dieser Punkt der Saite ganz fest am Bogen haftet und der Bewegung des letztern während der Zeitdauer a b vollständig folgt; dann reisst er sich los und kehrt zu seiner ersten Stellung b c zurück, bis der Bogen ihn wieder packt und festhält. Mit dieser Hauptschwingungsform setzen sich, wie schon erwähnt, kleinere Schwingungen zusammen, deren Art ich nur in dem Falle genau anzugeben vermag, wenn der Bogen einen Punkt berührt, dessen Entfernung vom nächsten Ende der Saite, oder seiner ganzen Länge, allgemein also 1/m ist, wenn m eine ganze Zahl bezeichnet. Da der Punkt, wo der Bogen angesetzt wird, nicht durch irgend welche Schwingung, die zum mten, 2mten etc. Oberton gehört, in Bewegung gesetzt wird, so ist es ganz gleichgültig für die Bewegung dieses Punktes und für die Anstösse, die der Bogen der Saite mittheilt, ob Schwingungen, die den mten Oberton entsprechen, existiren oder nicht. Th. Young hat bewiesen, dass wenn wir die Schwingungen einer Saite dadurch hervorrufen, dass wir sie mit dem Finger zupfen, wie bei der Harfe, oder sie mit einem Schlage treffen, wie beim Clavier, in der darauf folgenden Bewegung alle diejenigen Obertöne fehlen, welche an dem berührten Punkte einen Knoten haben. Ich schloss also daraus, dass auch der Bogen diejenigen Obertöne nicht erregen kann, welche einen Knotenpunkt an der Stelle haben, wo er angesetzt wird; und ich fand in der That, dass das Ohr, wenn der Punkt 1/m vom Ende entfernt ist, den mten Partialton nicht hört, selbst wenn es sehr wohl alle anderen Obertöne unterscheidet. Deshalb werden in der Gleichung (1) alle diejenigen Bestandtheile der Summe fehlen müssen, in denen n gleich m oder 2m oder 3m etc. ist. Diese Glieder zusammengenommen, bilden eine Schwingung der Saite mit m schwingenden Abtheilungen. Jede dieser Abtheilungen schwingt in derselben Weise, wie ich es für die Hauptschwingung der ganzen Saite vorher beschrieben habe. Diese kleinen Schwingungen müssen von der Hauptschwingung der ganzen Saite abgezogen werden, um die wirkliche Schwingung zu erhalten. Curven, die nach dieser theoretischen Ansicht gebildet werden, entsprechen sehr gut den wirklich beobachteten Curven. Wenn m 5 und der beobachtete Punkt der Saiten = Fig. 10. länge vom anderen Ende der Saite entfernt ist, so entsteht die in Fig. 101) dargestellte Form der Bewegung. Nahe dem Ende 1) Die Figur ist neu construirt, um sie deutlicher und richtiger zu machen (1881). der Saite, da wo die Geiger gewöhnlich den Bogen ansetzen, liegen die Knotenpunkte der verschiedenen Obertöne sehr nahe beisammen, sodass der Bogen fast immer auf oder doch ganz nahe an einem solchen Knoten ist. Wenn ich die Saite in der Mitte zwischen zwei Knoten anschlug, so konnte ich keine Curve hervorbringen, die genügend constant für sichere Beobachtung gewesen wäre. Wenn ich sehr nahe an dem Ende streiche, so wechselt der Ton sehr oft zwischen dem Grundton und dem zweiten und dritten Oberton, was sich durch allmählige und entsprechende Veränderungen an der Curve zeigt. Zusatz (1881). Vollständigere Behandlung desselben Themas findet sich. in meiner „Lehre von den Tonempfindungen" Abth. I. Absch. 5. Nr. 4 und Beilage VI. Aus letzteren ergänze ich im Folgenden die in der vorstehenden Abhandlung fehlende mathematische Behandlung des Problems: Rechnen wir die Zeit in Fig. 7 von der Abscisse des Punktes a ab, sodass für a t = 0, setzen wir ferner für den Punkt bt: T, und für den Punkt c t = T, sodass letzteres die Dauer einer ganzen Periode bezeichnet, dann ist der Werth von y zu setzen: und dies giebt folgende Werthe von A, und B„: In der Gleichung (2) bedeutet y nur die Entfernung eines bestimmten Saitenpunktes von der Gleichgewichtslage. Wenn x die Entfernung dieses Punktes vom Anfang der Saite bezeichnet, und L die Länge der Saite, so ist die allgemeine Form des Werthes von y: Die Vergleichung der Gleichungen (2) und (3) zeigt unmittelbar, dass alle: D1 = 0 und Dn 1 und n = = 2 und Hierin sind g+f und T abhängig von x aber nicht von Nimmt man die Gleichungen für n = dividirt sie durch einander, so giebt es: n. Daraus folgt für x = L/2, wie auch die Beobachtung lehrt, T=T/2. Wenn aber = 0; so wird nach den Beobachtungen auch = 0; es folgt also: und daraus, dass g +f unabhängig von a sei. Nennen wir p die Amplitude der Schwingung des Saitenpunktes a, so ist: ƒT = g(T − T) = 2p Und da gf von x unabhängig ist, muss sein: wo P die Amplitude in der Mitte der Saite bezeichnet. Aus der Gleichung (3b) folgt, dass die Abschnitte ab und be der Schwingungsfigur, Fig. 7 (S. 412), sich verhalten müssen wie die entsprechenden Theile der Saite auf beiden Seiten des beobachteten Punktes. Daraus folgt schliesslich, dass: als vollständiger Ausdruck für die Bewegung der Saite. Setzt man t-T/2 = 0, so wird y für jeden Werth von a gleich Null, also gehen alle Theile der Saite gleichzeitig durch die Gleichgewichtslage der Saite. Von da ab ist die Geschwindigkeit ƒ des Punktes æ: Diese Geschwindigkeit bleibt aber nur während der Zeit T: Von da ab geht y mit der Geschwindigkeit g=2p/(T-T) = 8 Px LT zurück. Es ist also y nach der Zeit t=+t1: |