Page images
PDF
EPUB

so ist: y=:SJ>*{T_{% + ti)} =^(T-0....(4a)

Auf dem einen Theile der Saite ist also die Ablenkung gegeben durch die Gleichung (4), auf dem anderen durch (4 a). Beide Gleichungen geben für die Gestalt der Saite eine gerade Linie, welche entweder (4) durch den Punkt x = L, oder (4a) durch den Punkt x = 0 geht. Es sind dies die beiden Endpunkte der Saite. Ihr Schneidepunkt ist gegeben durch die Bedingung:

y=^L-x)t^x{T-t).

Es muss also sein:

{L-x)t = x{T-t), Lt = xT.

Die Abscisse x des Schnittpunktes wächst also proportional der Zeit. Der Schnittpunkt, welcher zugleich der am meisten aus der Gleichgewichtslage entfernte Punkt der Saite ist, rückt also mit constanter Geschwindigkeit von einem Ende der Saite zum anderen, und während dieser Zeit hegt der Schnittpunkt selbst auf einem parabolischen Bogen, da für ihn:

8P IT \

y=P = -jix{L-x).

Die Bewegung der Saite lässt sich also kurz so beschreiben, dass in Fig. 9 der Fusspunkt d der Abscisse ihres Gipfels, mit constanter Geschwindigkeit auf der Linie ab hin-und hereilt, während der Gipfelpunkt selbst die beiden parabolischen Bögen acxb und bc2a nach einander durchläuft, und die Saite selbst in den beiden geraden Linien acx und bc1 oder ac2 und bc2 ausgespannt ist.

Die beim Anstrich in einem Knotenpunkte, Ljm vom Ende der Saite entfernt, wegfallenden Obertöne werden durch diejenigen Glieder der Reihe 3 c dargestellt, in denen n den Factor m hat. Diese bilden unter sich eine Reihe welche genau dieselbe Gestalt, wie die ganze Reihe hat, und genau dieselbe Bewegung für jeden wten Theil der Saitenlänge darstellt, vor sich gehend während des witen Theils der Schwingungsdauer, und von einer Amplitude, die der m2te Theil von der der Hauptbewegung ist. Die Geschwindigkeiten der Saitenpunkte sind dagegen ljm von den entsprechenden Geschwindigkeiten der Hauptbewegung. Mit Hülfe dieser Angaben kann man die in Fig. 10 ausgeführte Construction machen.

XXIII.
Ueber musikalische Temperatur.

Verhandlungen des naturhistorisch-medicinischen Vereins zu Heidelberg vom 23. November 1860. — Poggendorff s Annalen Bd. 113 S. 87—90.

w Jede Durtonleiter enthält in sich die Töne dreier Dur

accorde; C dur z. B. der drei Accorde

F a C, C e G, G h D. Sollen diese Accorde rein klingen, so müssen die grossen Terzen das Verhältniss der Schwingungszahlen 4:5, und die Quinten das Verhältniss 2:3 haben: innerhalb der Grenzen einer Tonart ist auch kein Hinderniss, sie so zu stimmen. "Wenn man aber in eine andere Tonart übergehen will, z. B. G dur, so giebt der neu hinzutretende Accord D, fis, A eine Quinte A, welche nicht mehr gleich dem ersten a der Terz von F ist. "Wenn wir die Schwingungszahl von F gleich 1 setzten, ist a, die grosse Terz von F = $ und A die Quinte von D = §J. Die beiden Werthe von A stehen im Verhältniss:

a:A = 80:81. Das Bedürfniss der Tastaturinstrumente hat die Musiker verleitet, statt dieser beiden Töne einen einzigen setzen zu wollen, wobei nothwendig eins beider Intervalle oder beide falsch werden müssen. Die Griechen, welche, wie es scheint, nur einstimmig oder in Octaven einhergehend ihre Musik ausführten, beobachteten richtig, dass ein Fehler in der Fortschreitung von einer Quinte viel auffallender sei, als in der Fortschreitung von einer Terz, und hielten also die Quinten rein, indem sie die Pythagoräische Terz 64:81 als Norm festsetzten.

Wenn man aber sich das auch gefallen lässt, und weiter modulirt in Quinten fortschreitend von A nach E, H, Fis, Cis, Gis, Dis, Ais, so kommt man zuletzt auf Eis, welches beinahe, aber nicht ganz mit dem F zusammenfällt, von dem man ausgegangen ist. Es ist nämlich höher im Verhältniss 531441: 524288, oder abgekürzt mittels Kettenbrüchen, im Ver- 88 hältniss 74: 73. Um nun im Interesse der Tastatur-Instrumente die beiden Töne Eis und F vereinigen zu können, mussten wieder eine oder mehrere Quinten unrein gemacht werden. Es ergab sich als das Beste, den Fehler unter alle gleichmässig zu vertheilen, indem man alle Quinten etwas zu klein macht. Die Abweichung der Quinten in diesem jetzt allgemein herrschenden Stimmungssystem ist nun in der That ausserordentlich klein, indem die reine zur temperirten Quinte sich wie 886: 885 verhält. Dabei verringert sich denn auch der Fehler in der Terz etwas, indem er von jjj auf }|S sinkt.

Die neuere Musik ist nun entschieden harmonisch, und für diesen Fall ist die Voraussetzung nicht richtig, dass Fehler der Terzen weniger schädlich sind, als Fehler der Quinten. Das "Widrige falsch gestimmter Intervalle entsteht vornehmlich durch die Schwebungen ihrer Combinationstöne und harmonischen Obertöne. Die Schwingungszahl der stärksten Combinationstöne ist gleich der Differenz der Schwingungszahlen der primären Töne. Im reinen Duraccord:

64:80:96 geben beide Terzen den Combinationston 16, die zweite Unteroctave des Grundtons. Aber im Pythagoräischen Accord:

64:81:96 geben sie die Combinationstöne 17 und 15, welche bezüglich einen halben Ton höher und tiefer sind, als der richtige Combinationston, miteinander 2 Schwebungen machen in der Zeit, wo der Grundton des Accordes 64 Schwingungen macht. Ist dieser c, mit 256 Schwingungen, so ist die Zahl der Schwebungen der Combinationstöne 8 in der Sekunde, was ein entschiedenes Knarren des Tons giebt. Ausserdem klingen jene beiden Combinationstöne, sobald man auf sie aufmerksam wird, abscheulich zur Harmonie.

Nun sind nicht alle Musikinstrumente gleich empfindlich

gegen Dissonanzen. Singstimmen sind gar nicht an eine Temperatur gebunden, auf den Streichinstrumenten sind es nur die Töne der leeren Saiten. Hier kann also ein fein geübter Musiker den grösseren Härten ausweichen. Das Ciavier ist wenig empfindlich gegen Dissonanzen, weil seine Töne zu kurz verhallen, und die Orgel ist wegen der constanten Stärke ihrer Töne zu rauschender Musik mit gehäuften Dissonanzen mehr geeignet, als für ausdrucksvolle von weichem "Wohlklange. Aus diesen Gründen konnten sich die zur künstlerischen Musik am besten geeigneten Instrumente mit den Nachtheilen der temperirten Stimmung ziemlich abfinden. Ausserdem werden die Schwebungen, wenn sie nicht sehr schnell sind, wenig fühlbar in schnell bewegter Musik, wenn die Dauer der meisten Töne kürzer ist, als die Dauer der Schwebungen.

Deutlich fühlbar werden die Mängel der Stimmung bei allen langsam sich bewegenden, aushaltenden Tönen, und desto mehr, je kräftiger diese sind. Chöre von Blasinstrumenten sind deshalb für die vollendet künstlerische Musik fast gar nicht anwendbar. Besonders auffallend sind nun die Nachtheile auch in der gegenwärtig sich sehr verbreitenden Physharmonika, um so mehr, als die Combinationstöne an diesem Instrumente wegen seiner besonderen Construction etwas stärker sind, als an anderen. Hier ist der Unterschied rein gestimmter und temperirter Accorde so gross, dass letztere nach ersteren wie Dissonanzen klingen.

Will man also reine Harmonien haben, so bleibt nichts übrig, als jedem Tone der Scala zwei verschiedene Werthe zu geben, je nachdem er Terz oder Quint beziehlich Grundton eines Duraccordes ist, welche Werthe im Verhältniss 80:81 stehen. Ich bezeichne im Folgenden die höheren Töne mit grossen Buchstaben, die niederen mit kleinen. Berücksichtigt man nun noch, dass die oben berechnete Differenz zwischen Eis und F, nämlich ^ nahehin gleich ist der zwischen F und f, welche ^ beträgt, so kann man nahehin die durch Kreuze erhöhten Töne der niederen Reihe gleich den durch b erniedrigten Tönen der oberen setzen, also eis = Des, fis = Ges u. s. w. So erhält man folgende Reihe von Duraccorden zur Verfügung:

Fes* as Ces* es Ges* b Des* f As c Es g B d w

F a C e G h D fis A eis E gis* H dis*

Fis ais* Cis eis*

Die mittleren seien mathematisch rein, in den äussersten ist bei den mit Sternchen versehenen die erwähnte Verwechslung vorgenommen worden, welche streng genommen allerdings einen Fehler giebt, der aber verschwindend klein ist In den betreffenden Accorden hat nämlich nur die Terz den kleinen Fehler, den in der gleichschwebenden Temperatur die Quinte hat; er

beträgt ^^„ • Wenn man diesen Fehler auf die verschiedenen

° otjo,b

Quinten vertheilen wollte, würde er für jede ^ dieser Grösse betragen, aber diese erhöhte theoretische Genauigkeit wäre praktisch illusorisch, da schon jetzt der ganze Fehler von gJ5 bei den Quinten an der Grenze dessen hegt, was ein geübtes musikalisches Ohr unterscheiden kann.

Für die praktische Ausführung sind entweder zwei Tastaturen nöthig, wobei es dem Spieler überlassen bleibt, die Töne des Accordes passend in der einen oder anderen Reihe zu wählen, oder man sondert die Töne in 8 Gruppen:

[table]

Alle Töne jeder dieser Gruppen werden durch einen besonderen Windkanal gespeist, und durch Pedale wird regulirt, dass der Wind entweder der rechten oder linken Gruppe jeder Linie zugeführt wird Es sind nur vier Ventile nöthig, zu stellen durch vier Pedale; dadurch kann dann das Instrument für jede Tonart, welche im Laufe des Musikstückes eintritt, in richtige Stimmung gebracht werden.

« ՆախորդըՇարունակել »