den Telephons durch den einen Draht einer aus zwei nebeneinander liegenden Drähten gewundenen Spirale geschlossen wird, der zweite von jenem ersten vollkommen isolirte Draht dagegen entweder direct mit dem Telephon des Beobachters, oder auch wohl wieder mit einem Drahte einer anderen doppeldrähtigen Spirale verbunden wird, deren zweiter Draht dann zu dem Telephon des Beobachters geht. In diesem Falle werden die elektrischen Bewegungen im zweiten und eventualiter dritten Stromkreise durch elektrodynamische Induction zwischen den Drahtpaaren der angewendeten Spiralen erregt. Man kann alsdann die Worte, die in das erste Telephon gesprochen werden auch im letzten ohne auffallende Aenderung der Klangfarbe hören und verstehen. Da nun nach dem bekannten und wohl geprüften Gesetze der elektrodynamischen Induction deren elektromotorische Kraft dem Differentialquotienten der Stromintensität proportional ist, und beim Differentiiren einer Sinusfunction:

J = Asin (2лnt + c),

die Schwingungszahl n als Factor zur Amplitude tritt:

aJ
θε

= 2лn А cos (2 ï nt + c),

so würden nach Hrn. Hermann's Meinung bei dieser Uebertragung der elektrischen Oscillationen durch Induction in jeder der Doppelspiralen die Amplituden der den höheren Partialtönen jedes Klanges entsprechenden elektrischen Oscillationen im Verhältnisse ihrer grösseren Schwingungszahlen gegen die der tieferen zunehmen, und so würde das Verhältniss der In150 tensitäten der aus dem zweiten Telephon herausdringenden Partialtöne erheblich verändert werden müssen.

Die Erklärung der Hermann'schen Versuche aus den bekannten Gesetzen ergiebt sich aber leicht, wenn man nicht blos die Induction jedes Stromkreises auf den benachbarten, sondern auch die jedes Stromkreises auf sich selbst berücksichtigt.

I. Beginnen wir mit dem Falle zweier Stromkreise, die ich durch die Indices 1 und 2 bezeichnen will. J und J, seien die Intensitäten, w, und w, die Widerstände, P sei das elektro

w1

dynamische Potential der beiden verflochtenen Spiralen aufeinander für die Stromeinheit berechnet, dagegen Q, und Q2 die Potentiale jeder Spirale auf sich selbst genommen mit Einschluss des Potentials der von jeder Spirale magnetisirten Eisenstücke auf diese Spirale selbst,d agen M das elektromagnetische Potential des von aussen erregten Magnetismus auf die erste Spirale im Telephon des Sprechers. Dann sind nach den bekannten Gesetzen der Induction folgende beide Gleichungen aufzustellen:

Ist nun M von der Form einer einfachen harmonischen Schwingung, so können wir setzen:

M== A e2aint,

wobei sich auch die Werthe von J, und J2 in imaginäre und reelle Theile scheiden, von denen die ersteren dem imaginären, die letzteren dem reellen Theile von M angehören werden.

Setzen wir dem entsprechend:

J1 = B1 e2xint, J2 = B2 e2 int,

1

2

so werden die obigen Gleichungen:

2

B1 [w1+Q1.2ain] + В, P. 2лin = 2лin A

B2

В1 P.2лin + В2 [w2 + Q2 2′′in] = 0,

woraus sich ergiebt:

(2)

(2a)

[B2 {4x2n2 P2 + [w, + Q, 2лin] [w2+ Q22xin]} = 4ñ2n2 AP,

oder:

B2

= A.

2

(3)

w1 w2 +2πin (w1 Q2 + w2 Q1) + 4π2 n2 ( P2 − Q1 Q2) Den entsprechenden Fall von nur einem Kreise, der beide. Telephone enthält, vom Widerstande w und Potentiale Q erhalten wir, wenn wir in Gleichung (1) Po setzen. In diesem Falle ist:

Die Gleichungen (3) und (3a) zeigen zunächst, dass für sehr grosse Werthe von ", d. h. für sehr hohe Töne, die

Helmholtz, wissensch. Abhandlungen.

30

451

2

Werthe von B und von B, unabhängig von n werden, da die höchste Dimension des n in Zähler und Nenner beider Ausdrücke dieselbe ist. Dabei ist zu bemerken, dass die

welche in (3) vorkommt, immer positive Werthe haben muss, selbst wenn keine weiteren Spiralen in den beiden Stromkreisen vorkommen, als die ineinander gewundenen. Dies ergiebt sich aus der Bildungsweise der Werthe von P und Q. P wird um so grösser, je näher sich die beiden Spiralen rücken. Den grössten Werth erhält es also, wenn beide zusammenfallen. Dann wird es aber Q, falls beide gleiche Zahl von Windungen haben.

wird hierbei jede Combination ds. do zweimal gerechnet, nämlich so oft sie vorkommt, wenn man, wie bei der Bildung von P, unabhängig voneinander sowohl ds als do seinen ganzen Stromkreis durchlaufen lässt.

1

2

Wird die Zahl der Windungen aber in der ersten Spirale auf das m fache, in der zweiten auf das n fache gebracht, so 452 wächst P auf das n. mfache, Q1 auf das m2fache, Q2 auf das n2 fache, also P2 ebenso gut wie Q.Q, auf das n2. m2 fache. In unserem Falle wird nun P2 im allgemeinen ziemlich klein gegen Q, Q2 sein, weil die letzteren Grössen durch die Spiralen und Eisenmassen der Telephone erheblich vergrössert werden.

1

2

Was die Grössenbeziehungen zwischen den Q und den w betrifft, so bekommen diese im Fall eines einfachen Kreises, auf den keine äusseren Kräfte wirken, für den also MP=0 ist, folgende Bedeutung: In einem solchen ist:

welches den Verlauf eines in dem betreffenden Kreise erlöschenden Stromes darstellt. Das heisst, Q/w ist diejenige Zeit,

innerhalb deren die Stärke des Stromes auf die Grösse 1/e = 0,36788 ihrer früheren Stärke hinabsinkt, wenn die elektromotorische Kraft zu wirken aufgehört hat. In Stromkreisen, welche Elektromagnete enthalten, ist diese Zeit kein sehr kleiner Bruchtheil einer Secunde. Ich habe sie in einem Falle an einer Drahtspirale bestimmt, welche nur eine kleine Menge dünner Eisendrähte, also viel weniger Eisen, aber allerdings mehr Kupferdraht (1 kg) enthielt, als die Telephonwindungen zu haben pflegen. Der Werth von Q/w für die leere Spirale ohne Eisen war etwa Sec., mit dem kleinen Eisenkern dagegen etwa Sec.1) Da nun Eiseneinlagen ausserordentlich viel wirksamer zu sein pflegen als Vermehrung des Kupferdrahtes, so werden wir schliessen dürfen, dass die Grösse 27 Qn/w, welche in unseren Formeln eine Rolle spielt, auch bei den tiefsten Tönen der menschlichen Stimme schon grösser als 1 sein wird, bei den höheren dagegen erheblich viel grösser, sodass wir die Quadrate und Producte der w gegen die Qua- 453 drate und Producte von Qn, beziehlich gegen n2 (2Q1 Q2 — P2) vernachlässigen können.

Um die Intensität des Stromes im Kreise des empfangenden Telephons zu finden, müssen wir, da B2 und B complexe Grössen sind, deren Modul suchen. Wir setzen:

1) Pogg. Ann. LXXXIII. S. 523-536. (Voriger Aufsatz.)

(3 b)

(3 c)

also als eine kleine Grösse, deren Quadrat zu vernachlässigen ist, sodass eben deshalb auch cos o nicht merklich von 1 unterschieden ist. Daher kann der von n unabhängige Werth von R cos auch für R selbst gesetzt werden.

Ebenso zeigt es sich, dass auch tg o eine kleine Grösse ist, dass cos o nicht von 1 unterschieden zu werden braucht, und dass also ein genügend angenäherter Werth von R, ist:

unabhängig von n.

R2 = 4π2 (4 Q1 Q2 — P2)

2

2

2

Danach ergeben sich schliesslich die Werthe von J, und J:

2

454

Die Verschiebung der Phase ist hierbei proportional der ersten Potenz der kleinen Grösse w/2лn Q, die Aenderung der Intensität dem Quadrate derselben. Beide Aenderungen verschwinden für sehr hohe Töne.

Die genauere Berechnung der Werthe von R und R zeigt dagegen, dass beide für tiefe Töne etwas grösser, also die entsprechenden Ströme im Telephon etwas schwächer werden müssen, als sie bei Vernachlässigung der w/n Q erscheinen würden. Dies entspricht in der That der Erfahrung. Die tiefen Töne der Männerstimmen erscheinen im allgemeinen in den gebräuchlichen Telephonen verhältnissmässig zu schwach. Dabei ist aber freilich auch noch zu beachten, dass die Resonanz in den vibrirenden Eisenplatten der Telephone, welche angeschlagen ziemlich hohe Geräusche geben, einen ähnlichen Einfluss auf die Intensitäten der hohen Töne haben muss.

II. Was wir hier für zwei Kreise gefunden haben, gilt nun auch für beliebig viele Stromkreise, zwischen denen in beliebiger Weise inducirende und inducirte Spiralen vertheilt sind. Bezeichnen wir mit Ja die Stromstärke in dem durch den Index a bezeichneten Kreise, mit wa seinen Widerstand, mit Qa sein elektrodynamisches Potential auf ihn selbst genommen mit Einrechnung der von ihm magnetisirten Eisenstücke, mit Pab dasselbe des aten auf den bten Stromkreis