und mit Ma den Einfluss des von aussen erregten Magnetismus, so gilt für den aten Kreis die Gleichung:

Solcher Gleichungen giebt es so viel, als Stromkreise da sind; bei den telephonischen Versuchen wird nur in einem dieser Kreise, in dem des erregten Telephons, Ma von Null verschieden sein. Die Gleichungen können wir auflösen für den Fall eines einfachen harmonischen Tones, indem wir setzen:

Das System der Gleichungen (4) verwandelt sich dann in folgendes System von Gleichungen:

Ba (Qa+2)+ Zb [Pab Bb] = An•

(5)

Aus diesem lassen sich die Constanten Ba finden, falls nicht 455 die Determinante ihrer Coëfficienten gleich Null ist. Dass dies für keinen reellen Werth der Zahl n und auch nicht für n = 0 der Fall ist, lässt sich zeigen, wie gleich nachher geschehen soll.

Dann ist also aus dem Systeme der Gleichungen (5) der Werth des B, welches dem Kreise des empfangenden Telephons angehört, zu finden. Wenn der Index des erregenden Kreises mit o bezeichnet wird, ist der Werth:

worin D die Determinante der Coëfficienten der B in den Gleichungen (5) bezeichnet, und Do,q diejenige, welche entsteht, wenn man die Horizontalreihe mit dem Index o, und die Verticalreihe mit dem Index q weglässt.

Beide Determinanten sind ganze Functionen von 1/n und lassen sich nach Potenzen dieser Grösse ordnen. Wenn in beiden das erste von 1/n unabhängige Glied nicht gleich Null ist, wird das Verhältniss BA für hinreichend hohe Werthe von n unabhängig von n. Dass der Modul der Grösse BA sogar nur nach Potenzen von 1/n2 sich entwickelt,

ergiebt sich dann aus ähnlichen Betrachtungen, wie sie oben für je zwei Stromkreise angestellt sind.

Dass zunächst, wie schon angeführt, die Determinante Dim Nenner nur für imaginäre Werthe von n, oder, wenn wir 2лni - 1/2 setzen, nur für reelle positive Werthe von 2 gleich Null werden kann, ergiebt sich daraus, dass zwei Spiralen mit den Indices a und b, von denen die eine α, die andere Windungen hat, einen Beitrag zur Grösse Qa liefern, welcher grösser ist als a Po,/, und einen solchen zu Q, der 456 grösser ist als Pa./a. Wenn wir also das Verhältniss Ba für die einzelnen Spiralen des aten Kreises mit εa, bezeichnen, wobei:

1

b

Eab=

Еба

und beide Grössen auch negativ sein können, so ist allgemein: Qa = aa + [εa,v. Pa‚v],

worin a, eine positive Grösse bezeichnet. Wenn wir nun die quadratischen homogenen Functionen bilden:

so sind die Werthe beider für reelle Werthe der B nothwendig immer positiv. Für , welches eine Summe von Quadraten mit den, ihrem physikalischen Sinne nach immer positiven Coëfficienten wa bildet, ist dies von selbst klar. Für q ergiebt es sich dadurch, dass man es in die Form bringen kann:

=

ф Σo [aa Ba2] + Σ [Pab (Vɛab Ba +Vεva Bb)2], (6b) welcher Ausdruck ebenfalls eine Summe von Quadraten mit positiven Coëfficienten ist. Sucht man nun nach bekannten Methoden diejenigen Werthe der B, welche bei constant bleibendem das zu einem Maximum oder Minimum machen, so erhält man das System von Gleichungen:

worin eine Constante ist, deren Werth sich ergiebt, wenn man berücksichtigt, dass die Determinante der Gleichungen

(7) gleich Null sein muss. Man erhält so viel Werthe von 2, als verschiedene Ba (d. h. Stromkreise) existiren, welche Werthe alle positiv sein müssen. Denn wenn man die Gleichung (7) mit Ba multiplicirt und alle ähnlich gebildeten Gleichungen ähnlich behandelt und addirt, so erhält man :

Ist reell, so sind, wie gezeigt, und positiv, also 2 457 positiv.

Wäre 2 complex, so würden auch die Verhältnisse zwischen den B complex sein.

Dies ist unmöglich, denn wenn man die Reihe der Gleichungen (7) mit der Reihe der conjugirten Ba (d. i. mit geänderten Vorzeichen der V-1) multiplicirte, und alle addirte, erhielte man das complexe 2, multiplicirt mit einer positiven reellen Grösse gleich einer anderen solchen Grösse, was nicht möglich ist.

Folglich kann die Determinante der Gleichungen (7) [beziehlich (5)] nur für positive Werthe 2 (beziehlich des -i/2n) gleich Null werden. Sie kann auch nicht für 2 = 0 (d. h. n) gleich Null werden, wenn nicht sämmtliche Coëfficienten. aa und Pas bis auf (p-1) derselben (p ist hier wieder Anzahl der Stromkreise) gleich Null gesetzt werden.

Was die Determinante Dao im Zähler der rechten Seite von (5a) betrifft, so kann deren constantes Glied allerdings gleich Null werden, wenn die Grössen Q, P und wo eine bestimmte Beziehung gegeneinander einhalten. In diesen Falle würde die Amplitude sehr hoher Partialtöne im hörenden Telephon bei steigender Schwingungszahl unendlich klein, wie 1/n werden. Für den einen Fall, der in den oben erwähnten Versuchen von L. Hermann eingehalten ist, wo nur die Pa,a+1 von Null verschieden sind, reducirt sich die Determinante Do auf ihr constantes Glied, welches einfach das Product aller dieser Potentiale P zwischen den aufeinander folgenden Stromkreisen ist, und dasselbe könnte also Null nur dann werden, wenn eines dieser Potentiale gleich Null wird, und also überhaupt kein Zusammenhang zwischen den beiden Telephonen mehr stattfindet.

Uebrigens lässt sich auch noch die vorher an die Gleichungen (3b) und (3c) angeknüpfte Betrachtung auf beliebig 458 viele Stromkreise übertragen. Wenn wir die Determinante der Gleichungen (7) nach Potenzen der Unbekannten 2 ordnen, so sind die ersten beiden Glieder:

unter die dem System der Gleichungen (7) entsprechenden Werthe verstanden werden, so ist nach den bekannten Eigenschaften der Gleichungen:

Für den Fall aber, dass in den Gleichungen (4) alle M = 0 gesetzt werden, wir also den Ablauf von aussen nicht beeinflusster Inductionsströme in dem System untersuchen, ist das Integral dieses Systems von Differentialgleichungen:

Ja ΣBat.e

t

Das heisst die 2 sind die Zeiten, in denen die hier vorkommenden Exponentialfunctionen auf den Bruchtheil 1/e herabsinken.

Wir können also die Determinante D der Gleichung (5a) in ihren ersten Gliedern schreiben:

D=D1+) etc.).

(8a)

Nun sind die Grössen 2 durch die Gleichung (7a) bestimmt:

λψ = 9,

worin und die immer positiven Functionen sind, die durch die Gleichungen (6a) und (6b) gegeben sind. Da für jeden Werth 2 von 2 nur die Verhältnisse der Bat zu einem von ihnen durch die Gleichungen (7) bestimmt sind, so kann man diesem einen immer den Werth geben, dass:

wird. Die Grösse kann alsdann verschwindend klein nach Gleichung (6b) nur unter der Bedingung werden, dass:

1) von den Grössen Bat und a. in jedem Stromkreise mindestens eine verschwindet, also namentlich in den Kreisen 49 der beiden Telephone, wo das a erheblich grossen Werth hat, der Strom von Anfang an klein ist;

2) auch gleichzeitig in jedem Paare aufeinander inducirend wirkender Stromkreise entweder Pab oder (Vab Ba + Vɛьa Bь) verschwindet. Wenn also die Verhältnisse der Windungszahlen Ɛab in den einzelnen Paaren aufeinander wirkender Spiralen endlich sind, und man vom Kreise des ersten zu dem des letzten Telephons durch eine Reihenfolge von Kreisen fortschreiten kann, zwischen denen Pas immer endlich ist, so müssen sämmtliche Ba, endlich sein, auch die in den Telephonkreisen, und folglich kann die Function = nicht verschwindend klein werden. Folglich kann die Summe (1/2), die in den Gleichungen (8) und (8a) vorkommt, nicht sehr gross werden, und bei hinreichend grossem Werthe von n wird das Quadrat des 1/n enthaltenden Gliedes der Determinante D gegen das von 1/n unabhängige Glied zu vernachlässigen sein.

So weit der hier geführte Beweis sich auf die Voraussetzung beliebig vieler durch beliebig angeordnete Spiralen verbundener Stromkreise bezieht, kann er auch auf den in den Versuchen vorkommenden Fall ausgedehnt werden, wo in körperlich ausgedehnten Eisenmassen continuirlich gelagerte geschlossene Ströme entstehen.

Die Rückwirkung, welche von der schwingenden Eisenplatte im Telephon des Hörers ausgeht, habe ich in dieser ganzen Auseinandersetzung nicht berücksichtigt, weil deren Oscillationen jedenfalls eine sehr viel geringere Amplitude haben als die der entsprechenden Platte im Telephon des Sprechers.

Wenn also in den Telephonen, wie das bisher wohl meistens thatsächlich der Fall gewesen ist, die Bedingungen eingehalten sind, welche bewirken, dass die Dauer der ohne äussere Störung ablaufenden Inductionsströme 0,01 Secunde übertrifft, werden 450 wir zu erwarten haben, dass die den höchsten Tönen und Geräuschen entsprechenden elektrischen Oscillationen weder in