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kann, welche alle diese Bedingungen erfüllt, so folgt, dass u=v + w diese Function sei.

Wie wir nun die Gesammtzahl der vorhandenen elektromotorischen Kräfte in zwei beliebige Gruppen A und B zerlegt haben, so können wir auch wieder A in zwei kleinere Gruppen C und D theilen, B in E und F. Durch die Kräfte der Gruppe Callein möge die Spannung q hervorgebracht werden, durch D oder E oder F beziehlich die Spannungen r oder s oder t. Wir haben dann entsprechend dem vorigen Falle:

v=q tr

w =s+t

U=u+w = 9+r+s + t. So können wir die Theilung der Kräfte offenbar beliebig weit fortsetzen.

Auch braucht man die elektromotorische Kraft U irgend eines Punktes in einer elektromotorischen Fläche nicht ganz in die eine oder andere Gruppe hineinzunehmen, sondern kann sie selbst in zwei Theile V und W theilen, sodass:

U= V + W und V in die Gruppe A, W in die Gruppe B kommt. Die dritte Bedingungsgleichung wird dann an dieser Stelle folgende:

v —= V

W W, = W, daraus folgt:

u u, = (v + w) — (v + w,) = V + W = U, wie es die Gleichung (3) verlangt.

Somit ist das Princip der Superposition für die elektrischen Spannungen vollständig erwiesen. Es darf natürlich nur bei constanten elektromotorischen Kräften angewendet werden. Hängen diese Kräfte dagegen von der Stromesdichtigkeit ab, so bekommt die dritte Bedingungsgleichung eine andere Form, welche die einfache Addition nicht mehr zulässt.

Ich bemerke noch, dass es zuweilen vortheilhaft ist zu den vorhandenen elektromotorischen Kräften eines leitenden Systems noch andere hinzuzudenken, und die vorhandenen Spannungen als die Differenz der den gesammten und der den

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hinzugesetzten Kräften zugehörigen Spannungen zu betrachten, ein Verfahren, welches nach dem bewiesenen Principe offenbar erlaubt ist.

Aus dem für die Spannungen bewiesenen Satze folgt sogleich der entsprechende für die Componenten der Stromintensität. Sind erstere u oder v oder w, so sind letztere nach der Axe der x beziehlich:

- kui et oder – kad ten oder – k do und aus:

u = v tw folgt:

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II. Die folgenden Sätze beziehen sich auf den Fall, wo constante elektromotorische Kräfte von beliebiger Zahl und

Vertheilung im Innern eines beliebig zusammengesetzten Leiter217 systems A wirksam sind, und an die Oberfläche von A ein

anderer Leiter B angelegt wird, in welchen ein Theil der A durchkreisenden Ströme abgeleitet wird. Wir können daher A den abgeleiteten und B den ableitenden Leiter nennen. Wir setzen zunächst voraus, dass in B und an seinen Berührungsstellen mit A keine elektromotorischen Kräfte vorkommen. Es wird dadurch die allgemeine Brauchbarkeit der folgenden Sätze für beliebige Fälle der Anwendung nicht beschränkt, da man nach dem Principe der Superposition die Ströme, welche von den inneren Kräften des Leiters A in dem Systeme erregt werden, erst mit Anwendung der folgenden Theoreme gesondert bestimmen, und nachher die hinzufügen kann, welche Kräften im Innern von B oder an den Berührungsstellen von A und B, wenn dort solche vorkommen, angehören.

1) Ich lasse zunächst einen Satz folgen, welchen wir wohl passend das Princip von der elektromotorischen Oberfläche nennen können:

Für jeden Leiter A, in dessen Innerem elektromotorische Kräfte beliebig vertheilt sind, lässt sich eine bestimmte Vertheilung elektromotorischer Kräfte in seiner Oberfläche angeben, welche in jedem angelegten Leiter B dieselben abgeleiteten Ströme wie die inneren Kräfte von A hervorbringen würde.

Diese Vertheilung wird folgendermassen gefunden. Man nehme den Leiter A isolirt, ohne Verbindung mit anderen Leitern, bestimme die elektrische Spannung, welche ein jeder Punkt seiner Oberfläche bei den durch seine inneren Kräfte erregten Strömen annimmt, und setze die gesuchte elektromotorische Kraft der Oberfläche, in der Richtung von innen nach aussen genommen, gleich dieser elektrischen Spannung, indem man nach Ohm's Weise die elektromotorischen Kräfte durch die zugehörigen Spannungsunterschiede gemessen denkt. Ich werde im Folgenden die Oberfläche des Leiters A, wenn sie in der angegebenen Weise elektromotorisch wirksam gedacht wird, die positiv wirksame Oberfläche nennen, negativ wirksam dagegen, wenn ihren Kräften die entgegen- 218 gesetzte Richtung bei derselben absoluten Grösse beigelegt werden soll.

Der Beweis des vorstehenden Satzes ergiebt sich am leichtesten in folgender Weise. Man denke die Oberfläche des Leiters A negativ wirksam gemacht, und dann einen unwirksamen zweiten Leiter B angebracht. Aus den von Kirchhoff gegebenen drei Bedingungen der Stromvertheilung in dem Systeme A + B ergiebt sich leicht, dass bei dieser Anordnung gar keine Ströme in B entstehen, die elektrische Spannung in seinem Innern überall gleich Null bleibt, und die Ströme und Spannungen, welche vorher in A bestanden, unverändert fortbestehen. Im Innern von A und im Innern von B sind natürlich jene drei Bedingungen nach wie vor erfüllt, da daselbst alles unverändert bleiben soll. An der Berührungsfläche Helmholtz, wissensch. Abhandlungen.

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von A und B müssen die beiden Grenzbedingungen 2 und 3 des vorigen Paragraphen erfüllt sein, nämlich:

dub 20. - du at ko ang

ko ana

Wa U = U, wo wa, na, ka die Werthe der betreffenden Grössen in A, und Up, No, ky dieselben in B bezeichnen. Berücksichtigen wir nun, dass Up, also auch duy/dno, überall gleich Null sein soll, dass dua dna ebenfalls gleich Null sein muss, weil der betreffende Theil der Oberfläche von A vorher zu der freien äusseren Oberfläche gehörte, und dass U nach der Definition der negativ wirksamen Oberfläche gleich wa sein muss, so werden beide Gleichungen identisch, und es sind also in der That unter den angegebenen Umständen alle Bedingungen der Stromvertheilung erfüllt. Die negativ wirksame Oberfläche verhindert vollständig, dass die Ströme, welche im Innern des Leiters A erregt sind, und die zugehörige elektrische Spannung auf andere Leiter übergehen.

Nach dem Principe der Superposition können wir aber die Spannungen und Stromcomponenten im Inneren von B 219 (deren Grösse, wie eben bewiesen, überall gleich Null ist) an

sehen, als die algebraische Summe derjenigen Spannungen und Stromcomponenten, welche einmal die inneren Kräfte von A für sich allein und dann die negativ wirksame Oberfläche für sich allein hervorbringen würde. Da nun jene Summe im Innern von B überall gleich Null sein soll, so müssen ihre beiden Summanden dort überall gleiche absolute Grösse und entgegengesetztes Zeichen haben. Es bringt also die negativ wirksame Oberfläche für sich allein genau die entgegengesetzten Spannungen und Strömungen hervor, wie die inneren Kräfte von A. Kehren wir nun das Zeichen der elektromotorischen Kräfte in der Oberfläche um, so geschieht dasselbe mit den von ihnen abhängigen Spannungen und Strömungen in A und B. Daraus folgt, dass die positiv wirksame Oberfläche für sich allein genau dieselben Spannungen und Strömungen in B hervorbringt, wie die inneren Kräfte von A, was zu beweisen war.

2) Die Spannungen und Stromcomponenten im Innern des abgeleiteten Leiters A während der Ableitung sind gleich der Summe der ohne Ableitung in ihm stattfindenden Spannungen und Stromcomponenten, und derer, welche die positiv wirksame Oberfläche hervorbringt.

Es trete in dem durch die Coordinaten x, y, z im Innern von A gegebenen Punkte die Spannung W. ein, wenn die inneren Kräfte von A in diesem Leiter allein ohne Ableitung Ströme erregen, W, wenn sie es in dem verbundenen Leitersystem A+B thun, ferner + P, wenn die positiv wirksame Oberfläche, P, wenn die negative Ströme in dem verbundenen Leitersystem erregt. In der vorangegangenen Beweisführung ist gezeigt worden, dass die negativ wirksame Oberfläche und die inneren Kräfte von A gleichzeitig wirkend, den inneren Zustand von A bestehen lassen, welcher vor der Ableitung bestand, also seine Spannungen gleich W, machen. Betrachten wir diese nun nach dem Princip der Superposition als die Summe derer, welche die inneren Kräfte von A für sich, und die negativ wirksame Oberfläche für sich in dem System A+B 220 hervorbringt, so haben wir:

W, = W, P, was sich sogleich umschreiben lässt in:

W = W. + P. Diese Gleichung ist aber gerade das, was der obige Satz für die Spannungen aussagt. Differenziren wir sie nacheinander nach den drei Coordinataxen, so erhalten wir die entsprechenden Gleichungen für die Stromcomponenten.

3) Verschiedene Vertheilungsweisen elektromotorischer Kräfte in der Oberfläche des Leiters A, welche dieselben abgeleiteten Ströme wie seine inneren Kräfte geben sollen, können sich nur um eine, in allen Punkten der Oberfläche denselben constanten Werth habende Differenz unterscheiden.

Die Strömungen im Innern eines Leitersystems bleiben bekanntlich unverändert, wenn man die Spannungen in allen Punkten um eine constante Grösse C grösser oder kleiner

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