Gauss hat gezeigt 1), dass, wenn Elektricität, (oder Magnetismus) in einer Fläche verbreitet ist, und zwar die Menge k auf der Flächeneinheit, die Potentialfunction auf beiden Seiten einer solchen Fläche keine verschiedenen Werthe habe, wohl aber ihr Differentialquotient, in der Richtung senkrecht gegen 226 die Fläche genommen. Nennen wir diesen du dn, auf der einen, und du dn, auf der anderen Seite der Fläche, wobei vorausgesetzt wird, dass die Normalen der Fläche von ihrem Fusspunkte in dieser nach entgegengesetzten Richtungen hin gemessen werden, so ist nach Gauss:

Ein solcher Fall kommt gemäss Kirchhoff's zweiter Bedingung für das dynamische Gleichgewicht der Elektricität in durchströmten Leitersystemen an den Berührungsflächen zweier Leiter von verschiedenem Widerstande und gleicher elektromotorischer Kraft vor. Hier ist die Potentialfunction auf beiden Seiten der Fläche von gleichem Werthe, aber ihr Differentialquotient verschieden.

Denken wir uns dagegen eine Fläche auf einer Seite mit positiver Elektricität, auf der anderen mit einer gleichen Quantität negativer belegt, beide Schichten in verschwindend kleiner Entfernung von einander, so werden, der Gleichung (1) entsprechend, die Differentialquotienten der Potentialfunction auf beiden Seiten der belegten Fläche gleich, die Werthe dieser Function selbst aber verschieden sein. Nehmen wir an, um die Grösse ihres Unterschiedes zu bestimmen, dass zunächst nur eine solche Schicht da sei, welche in der Fläche selbst liege. Ihre Potentialfunction in einem Punkte der Oberfläche von der Dichtigkeit x sei u, deren Differentialquotienten nach der einen Seite du dn,, nach der anderen du/dn. Verlegen wir nun die elektrische Schicht in die verschwindend kleine Entfernung & von der Fläche 2 nach der Seite der Normale n1 hin, so entsteht dadurch eine verschwindend kleine Variation der Potentialfunction. Der Werth dieser Function in der elektrischen

1) Result. d. magnet. Vereins, 1839, S. 27.

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Schicht selbst wird also nun u+ɛdu, und in einer unendlich kleinen Entfernung An, von der Fläche

der elektrischen Schicht):

(oder ▲n1 — ɛ von

in der unendlich kleinen Entfernung An, nach der anderen Seite von 2 dagegen:

Nehmen wir nun die gleichzeitige Existenz von zwei Schichten an, eine von der Dichtigkeit +x in der Entfernung +, die andere von der Dichtigkeit in der Entfernung z — ε von der Fläche 2, so wird mit Weglassung der unendlich kleinen Glieder höherer Ordnung:

und wenn wir nach Analogie der Magneten die Grösse 2ɛx = m das elektrische Moment der Flächeneinheit nennen, wird:

Ist also der Unterschied der Potentialfunctionen gegeben, so ist dadurch auch das elektrische Moment des betreffenden Theiles der Fläche gegeben.

Ein entsprechender Fall tritt in durchströmten Leitersystemen an solchen Flächen ein, wo sich Leiter von gleichem Widerstande und verschiedener elektromotorischer Kraft berühren. Hier hat die Potentialfunction nach Kirchhoff's dritter Bedingungsgleichung auf beiden Seiten verschiedene Werthe, und die Grösse ihres Unterschiedes ist gleich der

elektromotorischen Kraft der betreffenden Stelle. Diese letztere muss also gleich 47m sein. Dagegen ist der Differential- 228 quotient der Spannung, nach beliebiger Richtung genommen, auf beiden Seiten gleich.

Wo sich Leiter von ungleicher elektromotorischer Kraft und ungleichem Leitungsvermögen berühren, müssen dagegen sowohl die ganze Function als ihr Differentialquotient auf beiden Seiten der Fläche verschiedene Werthe haben, was sich erreichen lässt, wenn an die entgegengesetzten Seiten der Fläche Schichten von entgegengesetzten Elektricitäten und ungleicher Dichtigkeit angelagert werden.

Ich werde im Folgenden unter einer elektrischen Doppelschicht stets nur solche zwei Schichten verstehen, welche an den entgegengesetzten Seiten einer Fläche in unendlich kleiner Entfernung vor ihr liegen, und deren eine ebenso viel positive Elektricität enthält, als die andere negative.

In durchströmten zusammengesetzten Leitersystemen sind also alle Grenzflächen zwischen Theilen von verschiedenem Widerstande und alle zwischen ihnen und dem äusseren nicht leitenden Raume mit einer einfachen Schicht Elektricität, ausserdem alle elektromotorischen Flächen mit einer Doppelschicht belegt. Hat man die Aufgabe zu lösen, die Stromvertheilung zu finden, wenn die elektromotorischen Kräfte P gegeben sind, so giebt die Gleichung:

P = 4πm

sogleich das Moment m der Doppelschichten, welche den elektromotorischen Flächen entsprechen, und die Aufgabe reducirt sich darauf, zu diesen Doppelschichten die einfachen zu finden, sodass die Potentialfunctionen von ihnen allen zusammengenommen den Bedingungsgleichungen Kirchhoff's genügen.

Betrifft die Aufgabe Verbindungen von linearen körperlichen Leitern, so kann man für die Aufsuchung der Potentialfunctionen die Einströmungspunkte der Elektricität in den körperlichen Leiter als einfache elektrische Massenpunkte betrachten; man erhält bei dieser Substitution rings um sie her dieselbe Gestalt der Potentialfunction, wie sie Smaasen in seiner Untersuchung über die Stromvertheilung im Raume

229 gefunden hat. Es sei A die elektrische Masse eines solchen Punktes, r seine Entfernung von dem Punkte, dessen Potentialfunction zu bestimmen ist, V der Theil der Potentialfunction, welcher von anderen entfernten Massen eben daselbst hervorgebracht wird, so ist die ganze Potentialfunction:

Ist nun do ein Element einer beliebigen Oberfläche, welche den Punkt A, ausser ihm aber keinen anderen elektrischen Massenpunkt einschliesst, und n die nach innen gekehrte Normale von do, so ist nach einem Satze von Gauss:1)

wo das Integral über die ganze Fläche auszudehnen ist. Bezeichnen wir die Leitungsfähigkeit des körperlichen Leiters mit k, so ist die gegen do normale Stromcomponente gleich:

folglich die ganze durch die geschlossene Oberfläche von innen nach aussen strömende Elektricität:

Da diese Elektricitätsmenge der aus dem linearen Leiter einströmenden gleich sein muss, bezeichnet sie zugleich die Stromintensität in dem letzteren. Dadurch bestimmt sich die Grösse der hypothetischen elektrischen Masse A.

Durch diese Umformung der Aufgaben über Stromvertheilung erlangt man den grossen Vortheil, ihre Lösungen auf die Betrachtung von Functionen zu reduciren, welche schon mannigfach bearbeitet und in Reihen entwickelt sind, nämlich auf die Potentialfunctionen elektrischer Körper und Flächen. Ebenso kann man auch wiederum rückwärts aus jedem Theorem über Stromvertheilung entsprechende und zum Theil neue 230 Theoreme über die Potentialfunctionen der Elektricität und

1) 1. c. § 6.

des Magnetismus herleiten, doch würde uns das hier zu weit von unserem Wege abführen.

In Verbindung mit diesen Betrachtungen eröffnet der Satz von der elektromotorischen Oberfläche uns einen neuen Weg zur Lösung der Aufgabe, die Stromvertheilung in einem begrenzten Leiter A von constantem Widerstande zu finden. Statt der elektromotorischen Kräfte in A substituiren wir nach den angegebenen Regeln elektrische Massen, und nehmen dann an, dass A mit einem ableitenden Leiter verbunden werde, und zwar sei B der unendliche äussere Raum mit derselben leitenden Masse wie A gefüllt. Da nun das zusammengesetzte System A+B nirgend freie Oberflächen, oder Begrenzungsflächen von Theilen verschiedenen Widerstandes darbietet, können die elektrischen Massen, von denen die Potentialfunction der es durchströmenden Elektricität abhängt, nur die inneren von sein. Daher ist die Spannung in dem zusammengeA setzten Systeme A + B gleich der Potentialfunction der inneren Massen von A, und somit gegeben. Nun soll auch die elektromotorische Oberfläche von A allein in B dieselben Spannungen hervorbringen, wie die inneren Kräfte von A; es muss also ihre elektrische Potentialfunction (wenn sie als Doppelschicht betrachtet wird) im äusseren Raume B der der inneren Massen von A gleich sein. Kennen wir die elektromotorische Oberfläche von A, so kennen wir in diesem Falle also auch die Spannungen und Ströme, welche sie in dem Systeme A+ B hervorbringt. Nun sind aber nach dem Satze II. 2) die Ströme, welche in dem Leiter A ohne Ableitung kreisen, gleich der Differenz derjenigen, welche einmal die inneren Kräfte von A, dann die elektromotorische Oberfläche in dem abgeleiteten System A+B hervorbringen würden. Daher reducirt sich die Aufgabe, in dem Leiter von constantem Widerstande A die Vertheilung der Ströme zu finden, auf die andere: diejenige elektrische Doppelschicht an seiner Oberfläche zu finden, welche nach aussen dieselbe Po- 231 tentialfunction giebt, welche seine inneren elektrischen Massen geben. Diese Umformung der Aufgabe ist wesentlich verschieden von der, welche aus Kirchhoff's Theoremen herfliesst. Nach der letzteren würden wir eine