periodischer Kräfte Integrale der Bewegungsgleichungen hergestellt werden können, welche stets endlich bleibenden Bewegungen entsprechen, aber es kann in diesem Falle nicht unterschieden werden, ob diese Bewegungen durch die betreffenden äusseren Kräfte hervorgerufen werden können, oder nur durch sie in ihrem Ablauf verändert sind, eine Unterscheidung, die in diesem Falle wesentliche Bedeutung hat.

Ich wurde zu den Untersuchungen, deren Resultate ich hier mittheilen will, geführt durch die Frage, wie elektrische Ströme im Innern von leitenden Körpern anheben zu fliessen, da ihre physiologische Wirkung wesentlich auf der Plötzlichkeit ihres Eintrittes beruht. Dabei zeigte sich, dass die auf das Weber'sche Gesetz gegründeten Bewegungsgleichungen der Elektricität einer Revision bedürfen.

Es lassen sich alle bisher aufgeführten Formen des Inductionsgesetzes auf eine gemeinsame Form zurückführen, in welcher sie nur durch die verschiedenen Werthe einer darin 86 enthaltenen Constanten verschieden sind.

Nennen wir i die Intensität in einem Stromelement Ds, und j in einem anderen Do, positiv gerechnet, wenn die positive Elektricität in Richtung der wachsenden oder o strömt, r die Entfernung zwischen Ds und Do, ferner (Ds, Do) den Winkel zwischen den Richtungen von Ds und Do, (r, Ds) und (r, Do) die Winkel, welche die Richtung von r mit Ds und Do macht, so ist der allgemeinste Ausdruck p für das elektrodynamische Potential der Stromelemente De und Do auf einander, wenn wir nur die Voraussetzung festhalten, dass die Wirkungen ungeschlossener Ströme nicht von einer anderen Function der Entfernung abhängen, als die geschlossener, folgender:

p = − 1 ) {(1 + k) cos (D s, Do) + (1 − k) cos (r, D ;) cos (r, Do).}

Darin ist k eine Constante von unbekanntem Werthe. Der mit k multiplicirte Theil dieses Ausdruckes ist gleich:

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und verschwindet also, so oft s oder eine geschlossene Strombahn ist, und wir über die geschlossene Bahn integriren. Es hat also der Werth von k keinen Einfluss auf alle diejenigen elektrischen Bewegungen, bei denen alle Ströme geschlossen sind.

Die Werthe von k sind:

bei F. E. Neumann k = 1

bei Cl. Maxwell

bei W. Weber

k = 0

k

= - 1.

Aus diesem Werthe von p habe ich also, wie Herr Kirchhoff aus dem Weber'schen Gesetze, die Bewegungsgleichungen der Elektricität in einem körperlich ausgedehnten Leiter entwickelt.

Diese Gleichungen lassen sich auf folgende Form bringen: Es seien U, V, W die Werthe des elektrodynamischen Potentials für die Einheit des Stromes, die an einem gegebenen Orte, beziehlich den x, y oder z parallel fliesst, die elektrostatische Potentialfunction ebendaselbst, t die Zeit. Die Bewegung der Elektricität soll im Innern eines Leiters S bestimmt werden, dessen specifischer Widerstand x sei; den äusseren Raum bezeichnen wir mit S1, die Grenzfläche zwischen S und S mit 2, und die nach aussen gerichtete Normale derselben mit N.

Die Werthe der Functionen U etc. in S1 bezeichnen wir mit U etc. Wir setzen ferner voraus, dass die etwa vorhandenen Stromcomponenten, welche Bewegungen elektrischer Massen im äusseren Raume entsprechen, u', vl, wl gegeben seien. Dann sind die Bedingungen des Problems folgende: A) Im Innern von S und S1:

In B und C ist mit dem Zeichen 4U u. s. w. gemeint

D) Grenzbedingungen an der Fläche 2:

U - U1 = V — V1 = W — W1 = 0

E) Grenzbedingungen für unendliche Entfernung:

U1 = V1 = W' = 1 = 0.1)

Die Geschwindigkeiten u, v, w der strömenden Elektricität im Innern von S werden durch Gleichungen, die ganz von der Form wie C sind, erhalten.

Hier ist eine Analogie hervorzuheben. Die Form der Gleichungen A und B für das Innere von S ist nämlich gleich den Gleichungen für die Bewegungen eines der Reibung unterworfenen Gases, dessen Geschwindigkeiten und Dichtigkeitsänderungen so klein sind, dass man die davon abhängenden Glieder zweiter Dimension vernachlässigen kann. Es vertreten dann in unseren Gleichungen die Componenten des elektrodynamischen Potentials U, V, W die Geschwindigkeitscomponenten des Gases, kp die Vergrösserung der Dichtigkeit des

1) In Hrn. Prof. Kirchhoff's Gleichungen werden meine übergeführt, wenn man setzt k = 1 und:

88 Gases, PA2 die Vergrössserung des durch die Dichtigkeit dividirten Druckes. Es ist ferner x/47 A2 die Constante für diejenige Reibung, die durch Verschiebung der Schichten entsteht, x(1k)/47 A2 die Constante der Reibung, welche durch Dichtigkeitsänderungen hervorgerufen wird. Diese Vergleichung ist aber direct anwendbar nur so lange, als k und 1 - k positive Werthe haben. Wenn k negativ wäre, würde ein solches Gas bei Verdichtung kleineren, bei Verdünnung grösseren Druck ausüben müssen, und deshalb labiles Gleichgewicht haben.

Art des Gleichgewichts der Elektricität. Der Gesammtbetrag P derjenigen Arbeit, welche durch Aenderung der elektrischen Strömung und Vertheilung in S verändert werden kann, lässt sich auf die Form bringen:

Darin sollen U, und U, irgend eine der Grössen U, V, W, und wie die entsprechenden Coordinaten, y oder z bedeuten. Wenn ko oder positiv ist, so ist P die Summe von lauter positiven Quadraten, und also nothwendig positiv. Wenn k negativ ist, kann P aber auch negativ werden, z. B. in dem sehr allgemeinen Falle, wo Po und U, V, W Differentialquotienten einer und derselben Function der Coordinaten nach x, y, z sind.

Aus den gegebenen Gleichungen folgt ferner, dass der Differentialquotient dP/dt nothwendig negativ ist, wenn keine äusseren Kräfte einwirken. Nämlich es ist:

Daraus folgt, dass wenn P bei negativem Werthe von k einmal negativ werden kann, es zu immer grösseren und grösseren negativen Werthen fortschreiten muss, wenn die Bewegung ohne Wirkung äusserer Kräfte vor sich geht. Auch lässt sich zeigen, dass dP/dt unter diesen Umständen nicht

unter einen gewissen endlichen Werth herabgehen kann, dass also P schliesslich negativ unendlich werden muss.

Das zeigt an, dass wenn k negativ ist, die oben aufgestellten Bewegungsgleichungen der Elektricität für diese ein labiles. Gleichgewicht ergeben1); dagegen ist das Gleichgewicht stabil, wenn k positiv oder Null ist.

Ueber die Frage, ob die zu unendlich zunehmender Störung 89 des Gleichgewichts fortschreitenden Bewegungen durch äussere inducirende Kräfte hervorgerufen werden können, habe ich erst in einem Falle 2) entscheiden können, nämlich wenn in einer unendlich ausgedehnten ebenen leitenden Platte durch Annäherung oder Entfernung ihr paralleler unendlich ausgedehnter Elektricitätsschichten elektrische Bewegungen hervorgerufen werden. Es lässt sich zeigen, dass im Allgemeinen solche Bewegungen entstehen, so oft einer der Differentialquotienten der Geschwindigkeit der inducirenden Platten, nach der Zeit genommen, discontinuirlich wird.

Ich folgere hieraus, dass die für die Elektricitätsbewegung aufgestellten Gleichungen mit der Annahme eines negativen Werthes von k nicht zulässig sind, während sie bei Annahme des Werthes Null (Maxwell) oder positiven Werthes (Neumann sen.) vollkommen entsprechende Resultate liefern.

Die auch von Herrn Lorberg acceptirte Modification der Weber'schen Annahme, wonach die Elektricität Masse und Beharrungsvermögen haben soll, ändert an diesen Resultaten nichts Wesentliches.

Fortpflanzungsweise elektrischer Bewegungen in Leitern. Die Fortpflanzung geschieht, theils in Querschwingungen, die, wie schon Herr Prof. Kirchhoff nachgewiesen hat, sich nach Art der geleiteten Wärme verbreiten, wobei

1) Dass bei gewissen Bewegungen im Innern einer leitenden Kugel sich das Gleichgewicht der Elektricität nach dem Weber'schen Gesetze als labil erweist, hatte vor mir schon Hr. Prof. Kirchhoff bemerkt, wie ich aus mündlichen Mittheilungen von ihm weiss.

2) Nachträglicher Zusatz. Es ist mir seitdem der Beweis auch für die Bewegungen in einer leitenden Kugel gelungen, in der die Elektricität durch Annäherung und Entfernung eines elektrischen Körpers in Bewegung gesetzt ist.