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so sind die Componenten der elektromotorischen Kraft, die von der Magnetisirung des Medium herrührt:

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und aus den Gleichungen (17) folgen endlich folgende Bewegungsgleichungen der Elektricität, in denen X, Y, 3 die durch andere, z. B. hydroëlektrische und thermoëlektrische Processe bedingten äusseren Kräfte bedeuten:

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215

dy d endlich, wenn wir mit E die freie Elektricität bezeichnen : ha dente + + de

(198)

Kennt man von den veränderlichen Grössen x, y, 3, , u, v, E durch den ganzen Raum, so ist aus den drei ersten u, v, w mittels der Gleichungen (18 a) zu finden, der freie Magnetismus durch (19a), und es sind alsdann 4, %, U, V, W, L, M, N

durch Quadraturen zu berechnen, so dass die sieben vorstehen122 den Gleichungen (19), (19g und (198) zur Bestimmung

der vorgenannten sieben Unbekannten als Functionen der Zeit dienen können.

Um aus diesen Gleichungen die Integrale zu entfernen, und sie in reine Differentialgleichungen zu verwandeln, erinnere ich an folgende Sätze:

Wenn man drei Functionen §, 11, Ś von x, y, z hat, und für alle Orte innerhalb eines gewissen einfach zusammenhängenden Raumes $ die drei Gleichungen erfüllt sein sollen: ś = 0, n= 0, $= 0,

(20) 80 folgt daraus, dass innerhalb des Raumes $ sei:

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Es lässt sich nun zeigen, dass das System der Gleichungen (20a) das System der Gleichungen (20) vollständig ersetzt, wenn die Bedingungen hinzugefügt werden:

1) dass §, 1Š im ganzen Raume Sendlich und stetig seien, 2, dass an der Oberfläche von S sei: f.cosa + n.cos b + $. cos c = 0,

(20b) wo a, b, c die Winkel sind, welche die Normale N der Oberfläche von S mit den Coordinatenaxen macht.

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Aus den ersten drei Gleichungen des Systems (20a) folgt nämlich direct, dass es eine Function Y von ?, y, z geben müsse, von der Beschaffenheit, dass:

$ = ren naar de i §="do Dann ergiebt die letzte der Gleichungen (20 a):

44= 0, und die Gleichung (20 b), dass an der ganzen Oberfläche des Raumes $:

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Da der Raum $ der Voraussetzung nach einfach zusam- 123 menhängend, und die Grössen g, n, Š überall endlich und stetig sein sollen, so genügen diese Bedingungen nach bekannten Gesetzen über die Potentialfunctionen, um zu zeigen, dass im ganzen Raumes:

Y = Const.,
=n=G=0.

(20)

Wenden wir diese Sätze auf das System der Gleichungen (19e), und dann auch auf das der Gleichungen (19f) an, betrachten wir dabei den unendlichen Raum als den Raum S, und berücksichtigen wir, dass aus (19c), (19 a) und (19 a*) folgt:

dL, dM, dn

aloe + + = -%, so erhalten wir folgende Systeme von Gleichungen:

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ay (6) - (%) = 40 de - 41.

(4) -1 (*) = 1. (any do - 47. 4.

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Dazu kommen noch die Bedingungen für die unendlich entfernte Grenzfläche des Raumes:

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Ferner die Bedingung, dass die in (19 e und (19f) gleich Null gesetzten Grössen überall stetig und endlich seien. Da nun

dies für die Grössen U, V, W, L, M, N und ihre Differential124 quotienten schon nach der für sie vorgeschriebenen Bildungs

weise durch Integration der Fall ist, so oft u, v, w, a, u, v überall endlich sind, so reduciren sich die Bedingungen der Stetigkeit darauf, dass die sechs Grössen:

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überall stetig seien, namentlich auch an solchen Flächen, wo , 9 und x unstetig sind. Da 7 an solchen Flächen stetig ist, so ist:

en (x – X) = cos a Lot (2 – Xa) u. s. w.

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Aus den Gleichungen (20 g) und (20h) kann x —%ı unmittelbar eliminirt werden. Dann kommt % nur noch in der Gleichung (20f) vor. Es können also aus den Gleichungen (20c), (20d), (20 e) und den Stetigkeitsbedingungen die anderen unbekannten Grössen bestimmt werden, ohne auf x Rücksicht zu nehmen.

Sind die Kräfte X, Y, 3 an der betreffenden Fläche stetig, oder ist nur ihre senkrecht zur Fläche gerichtete Resultante ß unstetig, so erhalten wir für die x, y, z ein ähnliches System von Gleichungen:

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Dass die Gleichungen (20 c) bis (20i) mit Ausschluss von (20f) 125 die Lösung eindeutig bestimmen, wenn k nicht negativ ist, ergiebt sich aus der Gleichung der lebendigen Kraft, die wir deshalb hier zunächst aufstellen wollen. Für den Fall, dass keine äusseren Kräfte wirken, also:

X = Y = 3 = 0, erhält man die Gleichung der lebendigen Kraft, indem man die Gleichungen (20 c) der Reihe nach mit à19, u/9, vig multiplicirt und addirt, dann ebenso die Gleichungen (20 e) der Reihe nach mit ț/ɛ, y/ɛ, zjɛ multiplicirt und addirt, die letztere Summe von der ersteren abzieht. Die Glieder der linken Seite lassen sich dann integriren, und ihr Integral wird wegen der Stetigkeitsbedingungen (20h) und (20i) gleich Null. Die Glie

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