erste Integral rechts ist das Arbeitsäquivalent der bei der Strömung aufgebrauchten chemischen Kräfte in hydroelektrischen Erregern, beziehlich der durch das Peltier'sche Phänomen aufgebrauchten Wärme in thermoelektrischen Erregern, wie ich dies schon in meinem Büchlein über die Erhaltung der Kraft entwickelt habe. Das zweite Integral links ist das durch die elektrischen Strömungen verloren gegangene Arbeitsäquivalent elektrostatischer Kräfte, wie die zur Gleichung (5a) meiner Abhandlung im 72. Bande dieses Journals (oben S. 580) gegebenen Erläuterungen mit Berücksichtigung von (4b) ebendaselbst zeigen.

Daraus folgt, dass das dritte Integral der rechten Seite, welches wir mit QSt bezeichnen wollen,

Q = ƒfƒ(Xu + Yv + 3w)dx.dy.dz

(6b)

dasjenige Arbeitsäquivalent darstellt, welches die inducirten elektromotorischen Kräfte zur Wärmeentwickelung in der Leitung beigetragen haben. Ausserdem haben die ponderomotorischen Kräfte der elektrischen Ströme mechanische Arbeit erzeugt, deren Betrag St ist,

B = ƒfƒ(Xu + Y3 + Z7)dx.dy.dz,

(6c)

worin a, ß, y, wie im vorigen Paragraphen, die Geschwindigkeitscomponenten des materiellen Volumenelements dx.dy.dz in Richtung der a, y und z bezeichnen.

Diese letzten beiden Arbeitsäquivalente Qdt und Wst sind nun zu leisten auf Kosten des Arbeitswerthes der elektrischen Strömungen, den wir in Gleichung (4a) meiner ersten 313 Abhandlung mit P, bezeichnet haben:

} Æaƒƒƒ {U...u + V. v +W.w)dx.dy.dz; (6d)

und wir haben also:

Q + W

=

d Po
dt

(6e)

als Ausdruck des Gesetzes von der Erhaltung der Kraft.

Wenn wir in den Werth von 2 der Gleichung (6c) ( von uns aus dem Potentialgesetz hergeleiteten Werthe

Kräfte X, Y, Z der Gleichung (3) setzen, darin aber die Grösse de dt durch ihren Werth ersetzen, nämlich in Volumenelementen :

endlich die Differentialquotienten von u, v, w durch partielle Integration beseitigen, so erhalten wir einen Ausdruck von der Form:

worin:

W = 42 SSS [P. u + Q. v + R.w] dx.dy.dz, (6f)

Damit die hier vorgenommene partielle Integration ausführbar sei, muss wieder vorausgesetzt werden, dass die Grössen La, VB und Wy continuirliche Functionen der Coordinaten seien. In dieser Beziehung müssen also Gleitstellen bei Berechnung der elektromotorischen Kräfte ebenso behandelt werden, wie bei Berechnung der ponderomotorischen Kräfte in § 17 geschehen ist. Die Grösse o ist (wie die in (1a) und (1b) des § 2 [S. 568 oben] meiner ersten Abhandlung für U, V, W gegebenen Ausdrücke zeigen:

0

WO 1, 1, W1 die Werthe von u, v, w im Punkte §, 1, Š sind) eine vollkommen symmetrisch gebaute Function der 314 Werthe u, v, w in x, y, z und der Werthe u1, v1, w1 in §, ,, und jedes Raumelement kommt darin einmal als influirtes in dx.dy.dz und einmal als influirendes in d§.dn.d¿ vor; da demnach jedes Paar doppelt vorkommt, so ist der Factor vorgesetzt. Die Aenderung von P wird also ganz gefunden, wenn wir jedes Leiterelement, sofern es als influirendes in, n, vorkommt, sich nach Lage und Stromintensität ändern, sofern es als influirtes in x, y, z vorkommt, unverändert beharren lassen und den Factor beseitigen. Dies

Setzt man in Gleichung (6 e) die Werthe aus (6b), (6f), (6g)

Diese Gleichung ist durch die oben in (5 d) gegebenen Werthe von X, 9, 3 wirklich erfüllt, und somit den Forderungen des Gesetzes von der Erhaltung der Energie Genüge geleistet.

Wir haben noch den Fall zu besprechen, dass ein Magnet sich relativ zum Strome bewege, sei es ein permanenter, sei es einer, der durch die Einwirkung elektromagnetischer Kräfte aus einer magnetisirbaren Substanz erst gebildet wird. Wir wollen der einfacheren Darstellung wegen annehmen, die magnetische Substanz selbst sei nichtleitend für die Elektricität. Die Fälle der Anwendung werden dadurch nicht eingeschränkt. Denn in leitenden magnetischen Substanzen würde man sich die Elementarmagnete nur mit leitenden Hüllen umgeben zu denken und die in diesen inducirten Ströme dem System der übrigen vorhandenen elektrischen Ströme zuzurechnen

brauchen. Nun ist bekannt, dass die ponderomotorischen und inducirenden Fernwirkungen eines jeden Elementarmagneten in der magnetisirten Masse genau dieselben sein würden, wenn an Stelle des kleinen Magneten ein elektrischer Kreisstrom gesetzt würde, dessen Intensität multiplicirt mit der Fläche, die er umfliesst, gleich dem magnetischen Momente des Elementarmagneten ist.

Nehmen wir an, dass diese Kreisströme existirten an 315 Stelle der Elementarmagneten, und dass in jedem von ihnen fortdauernd eine elektromotorische (etwa hydroelektrische) Kraft wirksam gehalten würde, welche genau der zu der betreffenden Zeit und an dem betreffenden Orte eintretenden Magnetisirung entspräche, so würden die sämmtlichen Theile der ponderomotorischen Arbeit genau dieselben sein, wie für die magnetische Substanz, und die inducirenden Wirkungen in den sämmtlichen elektrischen Leitern ebenfalls. Dagegen würde in den hypothetischen Kreisströmen noch hinzukommen die chemische und thermische Arbeit dieser Ströme selbst und die inducirten elektromotorischen Kräfte in ihren Bahnen; wegfallen würde die Arbeit der Magnetisirung der Elementarmagnete. In dem hypothetischen Systeme, welches statt der Magnete nur Ströme enthält, wäre nach dem von uns geführten Beweise das Gesetz von der Constanz der Energie gültig. Es fragt sich also nur, ob diejenigen Antheile der hier betrachteten Arbeitsgrössen. die auf die Kreisströme fallen, durch die auf die Elementarmagnete fallenden ersetzt werden können. Wenn in einem solchen Kreisstrome zur Zeit keine inducirte elektromotorische Kraft wirkt, so wird die in ihm geleistete thermische Arbeit ein genaues Aequivalent der in ihm verbrauchten chemischen. Energie sein, und beide sich gegenseitig in der Berechnung aufheben. Wenn aber die elektromotorische Kraft R inducirt wird und die Stromstärke i herrscht, so wird die Wärmeentwickelung Rdt während des Zeittheilchens dt stattfinden, welche nicht durch die in dem Kreisstrome selbst wirkenden Arbeitsäquivalente gedeckt wird. Nennen wir andererseits die zur entsprechenden Magnetisirung erforderliche Arbeit S, so würde (dS/dt). dt die in demselben Theilchen aufgewendete Arbeit sein, wenn der Kreisstrom durch den Elementarmag

neten ersetzt würde. Wir würden also für jeden einzelnen Kreisstrom haben müssen:

da jeder einzelne Kreisstrom durch seinen Elementarmagneten müsste ersetzt werden können. Nun ist aber i dem magnetischen Momente proportional, und dieses ist eine Function der magnetisirenden Kraft, die wir mit o bezeichnen wollen. Das magnetische Moment des betreffenden Elementarmagneten sei 4., und da die Fläche des Kreisstromes, so ist:

Andererseits ist die inducirte Kraft R nach dem am Schluss von 18 gegebenen Nachweise bestimmt durch die Gleichung: 316

R

do
= .dw.
dt

Die obige Bedingungsgleichung wird also:

ασ ds fodt dt

=

Da wir nun über S im allgemeinen nichts weiter wissen, als dass es eine Function der Magnetisirungsstärke ., also auch eine Function von ist, so entspricht die letzte Gleichung dieser Anforderung, wenn wir setzen:

S s = fq.do.

Bei permanenten Magneten würden S, 6 und gleich Constanten zu setzen sein.

Bei magnetischen Substanzen mit Coërcitivkraft geht beim Magnetisiren und Entmagnetisiren Arbeit verloren, deren Aequivalent sich wahrscheinlich als neu entwickelte Wärme in den Magneten vorfinden wird.

§ 20. Das Inductionsgesetz unter Voraussetzung ausschliesslicher Gültigkeit des Ampère'schen Gesetzes.

Es bleibt noch die Frage übrig, ob nicht noch andere. Gesetze der ponderomotorischen und durch Bewegung indu

Helmholtz, wissensch. Abhandlungen.

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