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R= VX + Y? + Z? = am Die Gleichungen 1, 2 und 3 sagen aus, dass die Kraft nach der Richtung der Verbindungslinie wirke, die Gleichung 4, dass ihre Grösse Function der Entfernung r sei; q.e.d.

Clausius stellt meinen Sätzen die Möglichkeit entgegen, dass bei den Bewegungen eines beweglichen Punktes b um einen festen a die lebendige Kraft eine beliebige Function der Coordinaten sei. Eine solche Annahme würde zunächst der oben gegebenen Formulirung des Principes von der Erhaltung der Kraft nicht gemäss sein; sie würde also rein logisch genommen kein Gewicht gegen die Folgerung enthalten, die ich daraus gezogen habe. Aber es ist dagegen auch zu erinnern,

dass wenn diese Annahme auch zuweilen bei mathematischen 250 Untersuchungen auf dem Papiere, wo man sich die Coordinat

axen hinzeichnen kann, eine erlaubte und nützliche Vereinfachung der Vorstellung sein kann, sie sich doch nicht auf die physikalische Wirklichkeit übertragen lässt, so lange wir dem Grundsatze treu bleiben wollen, für reelle Wirkungen den vollständigen Grund auch nur in den Beziehungen reeller Dinge zueinander zu suchen. Denn wenn der feste Punkt a irgendwo im Raume gegeben wäre, müssten doch auch unmittelbar dadurch, dass er gegeben ist, diejenigen Richtungen gegeben sein, in denen die lebendige Kraft um ihn herum die grösste oder die kleinste ist, und diese Richtungen können ersichtlich durch die blosse Lage des Punktes nicht gegeben sein. Wir müssen hier scharf zwischen einem Punkte und einem körperlichen Elemente unterscheiden. Ein körperliches Element hat drei Dimensionen und durch seine Lage sind deshalb auch Richtungen bestimmt. Sobald uns z. B. die Lage eines körperlichen Elementes eines Krystalles vollständig gegeben ist, sind uns auch die Richtungen der Krystallaxen gegeben. Demgemäss liegt auch kein Widerspruch darin, dass ein solches Element nach verschiedenen Richtungen verschiedene Kräfte

ausübe, wie es z. B. die Elemente eines magnetisirten Körpers

thun. Aber innerhalb eines solchen Elementes können wir uns auch eine unendliche Verschiedenheit von wirkenden Punkten denken. Körperliche Elemente sind deshalb noch nicht das letzte gleichartigste, bei dem unsere Analyse der Kräfte aufhören müsste.

Wenn also die Mechaniker in einem beweglichen Systeme von Massenpunkten die lebendige Kraft als Function der Coordinaten der Punkte betrachten, so dürfen sie hier statt der Punkte nicht körperliche Elemente substituiren, denn dann würde die lebendige Kraft auch noch von den Richtungen dreier fester Axen in jedem Elemente abhängen. Dem entsprechend müssen wir auch in dem Beispiele von Clausius statt des festen Punktes a ein körperliches Element setzen. Wenn nun die lebendige Kraft des bewegten Punktes b eine beliebige Function der Coordinaten p ist, so kann gefragt werden, ob in jedem Falle eine Anordnung von wirkenden Punkten mit Centralkräften innerhalb des Volumenelementes a möglich sei, welche die lebendige Kraft op hervorbringen könnte.

Es lässt sich nun einsehen, dass dies für Entfernungen, gegen welche die Grösse des Elementes verschwindet, stets möglich sei, und auch, dass sogar jedesmal unendlich viele verschiedene Anordnungen dieser Art existiren werden. Unter ihnen ist für den zu führenden Beweis diejenige die bequemste, wo wir uns die wirkenden Punkte auf der Oberfläche einer unendlich kleinen Kugel vom Radius g vertheilt denken. Die Function g sei nach den Kugelfunctionen von Laplace entwickelt. Wenn p, wie wir hier annehmen müssen, continuirlich ist, so giebt diese Entwickelung bekanntlich stets eine convergirende Reihe, und indem wir eine gewisse endliche Anzahl ihrer Glieder benutzen, können wir dadurch die Function p mit jedem beliebigen Grade von Genauigkeit darstellen. Der Mittelpunkt des Coordinatensystems sei im Mittelpunkte der Kugel. Die Coordinaten eines äusseren Punktes seien:

ar=r cOS oo, y =r sino sin Ö, z=r sino cos G.

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Die eines Punktes auf der Kugel seien:

a = p cosu,
b = p sin a sin B,

c = sin a cos ß. Wir betrachten g als verschwindend klein gegen r, und nennen den reciproken Werth der letzteren Grösse e, den der Entfernung der beiden Punkte xyz und abc dagegen , sodass also:

V (x – a)+ (y 5)2 + (z — c)2 .
Wir setzen ferner:

E - e=de. 252 Bekannt ist die Entwickelung von ε nach Kugelfunctionen, deren Glieder die Form haben:

et do Pn(w) do Pn(a) Bin, m) O" en +

? sinw.sin” a cos [m (9 B)], d (cos o)" d(cosa)" wo bin, m) ein Zahlencoëfficient und Pn(w) eine ganze Function des nten Grades von cos w ist, welche entweder nur gerade oder nur ungerade Potenzen dieser Grösse enthält. Die Entwickelung von de ergiebt sich daraus sogleich, wenn man das erste Glied der Reihe für ε, welches e ist, wegnimmt. Die Entwickelung der Function g liefert dagegen eine Summe von Gliedern der Form:

oder:

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wo y eine Function von e ist, die jede mögliche Form haben kann. Wir wollen die Reihe abschliessen mit den Gliedern, für welche n= v ist.

Die Aufgabe ist also: für die Punkte der Kugeloberfläche eine Function U von €, u und B so zu bestimmen, dass wir haben:

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Wir können nun U in eine Summe von Theilen zerlegen, welche einzelnen Gliedern oder Gliedergruppen der Reihe für entsprechen. Nehmen wir aus dieser Reihe alle Glieder heraus, für welche m einen constanten Werth u, n dagegen die Werthe v, v —2, v – 4 u. s. w. bis u oder u + 1 hin hat, und welche cos (mg) als Factor enthalten, und bezeichnen wir die Summe dieser Glieder mit fru, den dazu gehörigen Theil von U mit Uxu, so lässt sich zeigen, dass der Gleichung:

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Genüge geschieht, wenn wir für U, eine ähnliche Summe 253 setzen, wie un ist, deren Glieder die Form haben:

ww, a" P., (a) sink u cos(u B),

d(cosa)" wo ebenfalls n die Werthe v, v — 2, v – 4 u. s. w. bis u oder u + 1 annimmt, und u eine Function von ε allein ist.

Setzt man nun für Uų in die Gleichung (1) diese Summe, entwickelt jedes u nach dem Taylor'schen Satze:

1,= ve + de +1.2 Chemin de + etc., setzt auch für de seine Entwickelung nach Kugelfunctionen, so kann man schliesslich alle vorhandenen Grössen als constante Factoren vor das Integralzeichen setzen, mit Ausnahme der Kugelfunctionen und trigonometrischen Functionen von a und , und die Integration dann ausführen. Wenn man weiter berücksichtigt, dass:

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so oft p kleiner als n − m ist, und behält man ferner von den Gliedern, welche als Factor dieselbe Function Uyu oder einen ihrer Differentialquotienten enthalten, nur diejenigen bei, welche mit den niedrigsten Potenzen von o multiplicirt sind, da o so

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klein gemacht werden kann als man will, so reducirt sich schliesslich die Gleichung (1) auf ein System linearer, partieller Differentialgleichungen:

to You = a, ev+100 or + a, es+3 + etc.

254

de

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u. s. w.

Die Grössen a, b, c u. s. w. sind Zahlencoëfficienten. Aus der ersten dieser Gleichungen kann man nach bekannten Integrationsregeln Uív, , aus der zweiten dann Ulv-2, x) finden u. s. w. Aus dem Verfahren, welches man bei der Integration zu befolgen hat, geht auch hervor, dass wenn die Functionen y für endliche Werthe von e endlich sind, auch die Grössen g'uru und deren Ableitungen nach e, so weit sie in unseren Reihenentwickelungen vorkommen, für endliche Werthe von e und r stets endlich sind. Sowie somit die Theile von Uyu gefunden sind, lassen sich die für jedes andere ähnliche Aggregat von Gliedern von o finden, und somit lässt sich die gestellte Aufgabe jedenfalls bis zu jedem beliebigen Grade von Genauigkeit lösen.

Von einer anderen Seite hätte ich vielleicht Einwendungen gegen meinen Satz erwarten können. Ich habe nämlich ein Princip angewendet, welches allerdings in der mathematischen Mechanik ganz allgemein gebraucht wird, nach dessen Berechtigung aber vielleicht gefragt werden könnte. Ich habe nämlich vorausgesetzt, dass die Kraft, welche ein Punkt a auf einen anderen b ausübt, unabhängig von der Anwesenheit jedes dritten Punktes c sei, so dass also die Kraft welche a und c gleichzeitig auf b ausüben, die Summe derjenigen ist, welche sie einzeln genommen ausüben würden. Nur unter dieser Vor

aussetzung bin ich berechtigt anzunehmen, wie es in dem vor255 ausgegangenen Beweise geschehen musste, dass das, was für

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